浙江金华市2019年中考数学真题(含答案)

浙江金华市2019年中考数学真题(含答案)_【中考真题】浙江省杭州市2019年中考数学试题(Word版,含答案)

2019 年杭州市中考数学试卷一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1.计算下列各式，值最小的是（）A. 2? 0+1 9B. 2 +0? 1 9C. 2 +0 - 1? 9D. 2 +0 +1- 92.在平面直角坐标系中，点 A( m, 2) 与点 b( 3, n) 关于 y 轴对称，则（）A. m =3， n = 2B. m = - 3 ， n = 2C. m = 2 ， n = 3D. m = - 2 ， n = 33.如图，P 为 O 外一点，PA、PB 分别切 O 于 A、B 两点，若 PA = 3 ，则 PB =（）A.2B.3C.4D.54.已知九年级某班 30 位同学种树 72 棵，男生每人种 3 棵，女生每人种 2 棵，设男生 x 人，则 （ ）A. 2x +3( 72 - x) = 30 B. 3x + 2( 72 - x) = 30 C. 2x +3( 30 - x) = 72 D. 3x + 2( 30 - x) = 725.点点同学对数据 26，36，36，46，5■，52 进行统计分析，发现其中一个两位数被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A.平均数B.中位数C.方差D.标准差6.如图，在 △ABC 中，D、E 分别在 AB 边和 AC 边上， DE // BC ，M 为 BC 边上一点（不与 B、C重合），连结 AM 交 DE 于点 N，则（）A. AD = AN AN AEB. BD = MN MN CEC. DN = NE BM MCD. DN = NE MC BMA AOPBDENBMC第 3 题图第 6 题图第 9 题图7.在 △ABC 中，若一个内角等于另外两个角的差，则A.必有一个角等于 30°B. 必有一个角等于 45°C. 必有一个角等于 60°D. 必有一个角等于 90°8.已知一次函数 y2 = ax +b 和 y2 = bx + a ，函数 y1 和 y2 的图像可能是（） （）y O 1xy O 1xy1OxyO1 xA.B.C.D.9.如图，一块矩形木板 ABCD 斜靠在墙边（， OC ^ OB ，点 A、B、C、D、O 在同一平面内），已知 AB = a ，AD =b ，? BOC x .则点 A 到 OC 的距离等于（）A. asin x +bsin xB. acos x +bcos xC. asin x +bcos xD. acos x +bsin x110.在平面直角坐标系中，已知 a ? b ，设函数 y = ( x + a) ( x +b) 的图像与 x 轴有 M 个好点，函数y = ( ax +1) ( bx +1) 的图像与 x 轴有 N 个交点，则A. M = N - 1或 M = N +1 C. M = N 或 M = N +1B. M = N - 1或 M = N +2 D. M = N 或 M = N - 1（）二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）11.因式分解：1- x2 =.12.某计算机程序第一次算得 m 个数据的平均数为 x，第二次算得另外 n 个数据的平均数为 y，则这( m +n) 个数据的平均数等于.13.如图，一个圆锥形冰激凌外壳（不计厚度）.已知其母线长为12cm ，底面圆半径为 3cm ，则这个冰激凌外壳的侧面积等于cm2 （计算结果精确到个位）.A1AED1 PDBFGC14.在直角三角形 ABC 中，若 2AB = AC ，则 cosC =.15.某函数满足当自变量 x =1时，函数值 y = 0 ；当自变量 x = 0 时，函数值 y =1，写出一个满足条件的函数表达式.16.如图，把矩形纸片 ABCD 沿 EF、GH 折叠（点 E、H 在 AD 边上，点 F、G 在 BC 边上），使得点B、点 C 落在 AD 边上同一点 P 处，点 A 的对称点为 A?，点 D 的对称点为 D?，若? FPG 90? ，△A?EP的面积为 4， △D?PH 的面积为 1，则矩形的面积等于.三、解答题（本大题有 7 个小题，共 66 分） 17.（本题满分 6 分）化简： 4x - 2 - 1 x2 - 4 x - 2圆圆的解答如下：( ) 4xx2 -4-2 - 1= 4x x- 22( x + 2)-x2 - 4= - x2 +2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确答案.218.（本题满分 8 分）称重五筐水果的重量，若每筐以 50 千克为基准，超过部分的千克记为正数， 不足基准部分的千克记为负数，甲组为实际称重读数，乙组为记录数据，并把实际所得的数据整 理形成以下统计表和未完成的统计图（单位：千克）实际称重读数和记录数据统计表序号数据1 23 45甲组 48 52 47 49 54乙组 -2 2 -3 -1 4⑴补充完整乙组数据的折线统计图；质量（千克）54 53 52 51 50 49 48 47质量（千克）4 3 2 1 0 -1 -2 -31 2 3 4 5 序号 1 2 3 4 5 序号⑵①甲、乙两组数据的平均数分别为 x甲 、 x乙 ，写出 x甲 与 x乙 之间的等量关系；②甲、乙两组数据的平均数分别为 S甲2 、 S乙2 ，比较 S甲2 与 S乙2 的大小，并说明理由.19.（本题满分 8 分）如图，在 △ABC 中， AC < AB < BC . ⑴已知线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P 连结 AP，求证：? APC 2? B ； ⑵以点 B 为圆心，线段 AB 为半径画弧，与 BC 边交于点 Q，连结 AQ，若? AQC度数.3?B ，求?B 的AABCBPC Q20.（本题满分 10 分）方方驾驶小汽车匀速地从 A 地行使到 B 地，行驶里程为 480 千米，设小汽车 的行使时间为 t（单位：小时），行使速度为 v（单位：千米/小时），且全程速度不超过 120 千 米/小时. ⑴求 v 关于 t 的函数表达式； ⑵方方上午 8 点驾驶小汽车从 A 出发. ①方方需要当天 12 点 48 分至 14 点）间到达 B 地，求小汽车行使速度 v 的范围. ②方方能否在当天 11 点 30 分前到达 B 地？说明理由.321.（本题满分 10 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，正方形 CEFG 的面积为 S1 ，点 E 在 CD边上，点 G 在 BC 延长线上，设以线段 AD 和 DE 为邻边的矩形的面积为 S2 ，且 S1 = S2 .⑴求线段 CE 的长； ⑵若点 H 为 BC 的中点，连结 HD，求证： HD = HG .ADEFBGHC22.（本题满分 12 分）设二次函数 y = ( x - x1) ( x - x2) （ x1 、 x2 是实数）.⑴甲求得当 x = 0 时， y =1；当 x =1时， y = 0 ，乙求得当 x = 1 时， y = - 1 .若甲求得的结果都22正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由；⑵写出二次函数的对称轴，并求出该函数的最小值，（用含 x1 、 x2 的代数式表示）；⑶已知二次函数的图像经过 ( 0 , m) ， ( 1 , n) 两点（m、n 是实数），当 0 < x1 < x2 <1 时，求证： 0 < mn < 1 . 1623.（本题满分 12 分）如图，锐角 △ABC 内接于⊙O（ AB > AC ）， OD ^ BC 于点 D，连结 AO. ⑴若? BAC 60? . ①求证： OD = 1 OA ； 2 ②当 OA =1时，求 △ABC 面积的最大值； ⑵点 E 是 OA 上一点，且 OE =OD ，记? ABC m? OED ，? ACB n? OED （m、n 是正数）， 若 ? ABC ? ACB，求证： m - n +2 = 0AE OBDC4数学参考答案一.选择题：本大题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.题号12345678910答案ABBDBCDADC二.填空题：本大题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分.11. (1? x)(1? x)12. mx ? ny m? n13.11314. 3 ， 2 5 2515. y ? ?x ?1或 y ? ?x2 ?1或 y ? x ?1 等16.10 ? 6 5三.解答题：本大题有 7 个小题，共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分 6 分）圆圆的解答不正确.正确解答如下：原式 ?4x? 2(x ? 2) ? x2 ? 4(x ? 2)(x ? 2) (x ? 2)(x ? 2) (x ? 2)(x ? 2)? 4x ? ( 2x? 4?) x2(? 4 ) (x ? 2 )x(? 2 )? ?x(x ? 2 ) (x ? 2 )x(? 2 )?? x . x?218.（本题满分 8 分） （1）补全折线统计图，如图所示.（2）① x甲 ? x乙 ? 50 .② S甲2 ? S乙2 ，理由如下：因为S乙2?1 [(?2 5?x乙 )2?(2?x乙 )2?(?3 ?x乙 )2?(?1?x乙 )2?(4?x乙)2 ]? 1 [(48 ? 50 ? x乙)2 ? (52 ? 50 ? x乙)2 ? (47 ? 50 ? x乙)2 ? (49 ? 50 ? x乙)2 ? (54 ? 50 ? x乙)2] 5? 1 [(48 ? x甲)2 ? (52 ? x甲)2 ? (47 ? x甲)2 ? (49 ? x甲)2 ? (54 ? x甲)2 ] 5? S甲2 ，所以 S甲2 ? S乙2 .519.（本题满分 8 分）（1）证明：因为点 P 在 AB 的垂直平分线上，所以 PA=PB，所以∠PAB=∠B，所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.（2）根据题意，得 BQ=BA，所以∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，所以∠BAQ=∠BQA=2x，在△ABQ 中，x+2x+2x=180°，解得 x=36°，即∠B=36°.20.（本题满分 10 分）（1）根据题意，得 vt ? 480 ， 所以 v ? 480 ，t 因为 480 ? 0 ，所以当 v ?120 时， t ? 4 ， 所以 v ? 480 (t ? 4)t （2）①根据题意，得 4.8 ? t ? 6 ，因为 480 ? 0 ，所以 480 ? v ? 480 ，64.8所以80 ? v ?100②方方不能在 11 点 30 分前到达 B 地.理由如下：若方方要在 11 点 30 分前到达 B 地，则 t ? 3.5 ， 所以 v ? 480 ? 120 ，所以方方不能在 11 点 30 分前到达 B 地.3.521.（本题满分 10 分）根据题意，得 AD=BC=CD=1，∠BCD=90°.（1）设 CE=x（0<x<1），则 DE=1－x，因为 S1=S2，所以 x2=1－x，6解得 x= 5 ?1 （负根舍去）， 2即 CE= 5 ?1 2（2）因为点 H 为 BC 边的中点，所以 CH= 1 ，所以 HD= 5 ，22因为 CG=CE= 5 ?1 ，点 H，C，G 在同一直线上， 2所以 HG=HC+CG= 1 ＋5 ?1=5 ，所以 HD=HG2 2222.（本题满分 12 分）（1）乙求得的结果不正确，理由如下：根据题意，知图象经过点（0，0），（1，0），所以 y ? x(x ?1) ，当 x ? 1 时， y ? 1 ? (1 ?1) ? ? 1 ? ? 1 ，22242所以乙求得的结果不正确.（2）函数图象的对称轴为 x ? x1 ? x2 ， 2当 x ? x1 ? x2 时，函数有最小值 M， 2M?? ??x1? x2 2?x1? ??? ??x1? x2 2?x2? ???? (x1? x2 )2 4（3）因为 y ? (x ? x1)(x ? x2 ) ，所以 m ? x1x2 ， n ? (1? x1)(1? x2 ) ，所以 mn ? x1x2 (1? x1)(1? x2 ) ? (x1 ? x12 )(x2 ? x22 )?[?(x1?1 2)2?1 4]?[?(x2?1)2 2?1] 4因为 0 ? x1 ? x2 ? 1 ，并结合函数 y ? x(1? x) 的图象，所以0??( x1?1)2 2?1 4?1 4，0??( x2?1)2 2?1 4?1 4所以 0 ? mn ? 1 ， 167因为x1?x2，所以0?mn?1 1623.（本题满分 12 分）（1）①证明：连接 OB，OC，因为 OB=OC，OD⊥BC，所以∠BOD= 1 ∠BOC= 1 ×2∠BAC=60°，22所以 OD= 1 OB= 1 OA 22②作 AF⊥BC，垂足为点 F，所以 AF≤AD≤AO+OD= 3 ，等号当点 A，O，D 在同一直线上 2时取到由①知，BC=2BD= 3 ，所以△ABC 的面积 ? 1 BC ? AF ? 1 ? 3 ? 3 ? 3 32224即△ABC 面积的最大值是 3 3 4（2）设∠OED=∠ODE=α，∠COD=∠BOD=β，因为△ABC 是锐角三角形，所以∠AOC+∠AOB+2∠BOD=360°，即 (m ? n)? ? ? ? 180o （*）又因为∠ABC<∠ACB， 所以∠EOD=∠AOC+∠DOC? 2m? ? ?因为∠OED+∠ODE+∠EOD=180°，所以 2(m ?1)? ? ? ? 180o （**）由（*），（**），得 m ? n ? 2(m ?1) ，即m?n?2?08

浙江金华市2019年中考数学真题(含答案)_2019年浙江省金华市中考数学试题分类解析【专题12】押轴题(含答案)

数学精品复习资料金华市中考数学试题分类解析 专题 12 押轴题一、选择题 1. （2002 年浙江金华、衢州 4 分）如图，D 是△ABC 的 AB 边上一点，过 D 作 DE∥BC， 交 AC 于 E，已知 AD ? 1 ，那么 S?ADE 的值为【 】AB 2S?ABC（A） 4 9（B） 2 3（C） 1 4(D) 1 22. （2003 年浙江金华、衢州 4 分）如果用□表示 1 个立方体，用 表示两个立方体叠加，用■表示三个立 方体叠加，那么下面图是由 7 个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是【 】3. （2004 年浙江金华 4 分）下列图形中，不是立方体表面展开图的是（ ）4. （2005 年浙江金华 4 分）如图，矩形 ABCD 中，Ｅ，Ｆ分别是 AB，CD 的中点，点Ｏ1，Ｏ2 在线段 EF 上，与矩 形 ABCD 的边 DA，AB，BC 都相切，⊙O2 与⊙O2 外切，且与 DC 边相切于点Ｆ，如果⊙O1，⊙O2 的半 径分别是 4cm，2cm，那么矩形 ABCD 的面积为【 】Ａ、20 cm2Ｂ、24 cm2Ｃ、40 cm2Ｄ、96 cm2浙江金华 4 分）二次函数 y ? ax2 ? bx ? c （ a ? 0 ）的图象如图所示，则下列结论： ① a ＞0； ② c ＞0； ③ b2 ? 4ac ＞0，其中正确的个数是【 】5. （2006 年A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个6. （2007 年浙 江金华 4 分）一次函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当 x＜3 时，y1＜ y2 中，正确的个数是【 】A．0B．1C．2D．37. （2008 年浙江金华 3 分）三军受命，我解放军各部队奋力抗战地救灾一线。现有甲、乙两支解放军小 分队将救灾物资送往某重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到小镇只有唯一通道，且路程为 24km，如图 是他们行走的路线关于时间的函数图象，四位同学观察此函数图象得出有关信息，其中正确的个数是 【】A、1B、2C、3 D、48. （2009 年浙江金华 3 分）小明在一直道上骑自行车，经过起步、加速、匀速、减速之后停车.设小明骑 车的时间为 t（秒）,骑车的路程为 s（米）,则 s 关于 t 的函数图像大致是【 】9. （2010 年浙江金华 3 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AB∥CD， 对角线 AC⊥BC，∠B＝60?，BC＝2cm，则梯形 ABCD 的面积为【 】A． 3 3 cm2B．6 cm2C． 6 3 cm2D．12 cm210. （2011 年浙江金华、丽水 3 分）如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧，点 B 与下 列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是【 】A、点（0，3）B、点（2，3）C、点（5，1）D、点（6，1）11. （2012 年浙江金华、丽水 3 分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图 1 中棋子围城三角形，其棵数 3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图 2 中的 4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正 方形数的是【 】A．2010 B．2012 C．2014 D．201612. （2013 年浙江金华、丽水 3 分）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=900，点 P 以每秒 1cm 的速度从点 A 出 发，沿折线 AC－CB 运动，到点 B 停止。过点 P 作 PD⊥AB，垂足为 D，PD 的长 y（cm）与点 P 的运动 时间 x（秒）的函数图象如图 2 所示。当点 P 运动 5 秒时，PD 的长是【 】A．1.5cmB．1.2cmC．1.8cmD．2cm二、填空题 1. （2002 年浙江金华、衢州 5 分）函数 y ? ax2 ? ax ? 3x ?1 的图象与 x 轴有且只有一个交点，那么 a 的值 和交点坐标分别为 ▲ ．2. （2003 年浙江金华、衢州 5 分）CD 是 Rt△ABC 斜边上的高线，AD、BD 是方程 x2 ? 6x ? 4 ? 0 的两根， 则△ABC 的面积为 ▲ ．3. （2004 年浙江金华 5 分）△ABO 中，OA=OB=5，OA 边上的高线长为 4，将△ABO 放在平面直角坐标 系中，使点 O 与原点重合，点 A 在 x 轴的正半轴上，那么点 B 的坐标是 ▲ 。4. （2005 年浙江金华 5 分）在直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，抛物线 y=x2 ? x ? 6 与 x 轴交于 A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C。如果点M在y轴右侧的抛物线上， S?AMO?2 3S?COB那么点 M 的坐标是 ▲ 。5. （2006 年浙江金华 5 分）如图，点 M 是直线 y＝2 x ＋3 上的动点，过点 M 作 MN 垂直于 x 轴于点 N， y 轴上是否存在点 P，使△MNP 为等腰直角三角形.小明发现：当动点 M 运动到（－1，1）时，y 轴上存 在点 P（0，1）,此时有 MN=MP，能使△NMP 为等腰直角三角形.那么，在 y 轴和直线上是否还存在符合 条件的点 P 和点 M 呢？请你写出其它符合条件的点 P 的坐标 ▲ ．6. （2007 年浙江金华 5 分）如图，在由 24 个边长都为 1 的小正三角形的网格中，点 P 是正六边形的一个 顶点，以点 P 为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三 角形斜边的长 ▲ ．7.（2008年浙江金华4分）如图，第（1）个多边形由正三角形"扩展"而来，边数记为α3， .第（2）个多边 形由正方形"扩展"而来，边数记为a4，…，依此类推，由正n边形"扩展"而来的多边形的边数记为an（n≥3）.则a5的值是▲;当 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 的结果是 197 时，n的值为a3 a4 a5an600▲。8. （2009 年浙 江金华 4 分）如图，在第一象限内作射线 OC,与 x 轴的夹角为 30o,在射线 OC 上取一点 A， 过点 A 作 AH⊥x 轴于点 H.在抛物线 y=x2 (x>0)上取点 P，在 y 轴上取点 Q，使得以 P，O，Q 为顶点的三 角形与△AOH 全等，则符合条件的点 A 的坐标是 ▲ .9.（2010 年浙 江金华 4 分）如图在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，F，O 分别是 AB，CD，AD 的中点， 以 O 为圆心，以 OE 为半径画弧 EF.P 是 EF 上的一个动点，连结 OP，并延长 OP 交线段 BC 于点 K，过 点 P 作⊙O 的切线，分别交射线 AB 于点 M，交直线 BC 于点 G. 若 BG ? 3 ，则 BK﹦ ▲ .BM10. （2011 年浙江金华、丽水 4 分）如图，将一块直角三角板 OAB 放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB=60°，点 A 在第一象限，过点 A 的双曲线为 y ? k ．在 x 轴上取一点 P，过点 P 作直线 OA 的垂线 xl，以直线 l 为对称轴，线段 OB 经轴对称变换后的像是 O?B?． （1）当点 O?与点 A 重合时，点 P 的坐标是 ▲ ； （2）设 P（t，0），当 O?B?与双曲线有交点时，t 的取值范围是 ▲ ．11. （2012 年浙江金华、丽水 4 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝ 3 ，AB＝6．在 底边 AB 上取点 E，在射线 DC 上取点 F，使得∠DEF＝120°． (1)当点 E 是 AB 的中点时，线段 DF 的长度是 ▲ ； (2)若射线 EF 经过点 C，则 AE 的长是 ▲ ．12.（2013 年浙江金华、丽水 4 分）如图，点 P 是反比例函数 y ? k ?k < 0? 图象上的点，PA 垂直 x 轴于点x A （－1，0），点 C 的坐标为（1，0），PC 交 y 轴于点 B，连结 AB，已知 AB= 5 。

（1）k 的值是 ▲ ；（2）若 M（a，b）是该反比例函数图象上的点，且满足∠MBA＜∠ABC，则 a 的取值范围是 ▲ 。三．解答 题 1. （2002 年浙江金华、衢州 12 分）如图，在 ΔABC 中，AC＝15，BC＝18，sinC= 4 ，D 是 AC 上一个动5 点（不运动至点 A，C),过 D 作 DE∥BC，交 AB 于 E，过 D 作 DF⊥BC，垂足为 F，连结 BD，设 CD＝x． （1）用含 x 的代数式分别表示 DF 和 BF； （2）如果梯形 EBFD 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数关系式；（3）如果 △BDF 的 面 积 为 S1 ， △BDE 的 面 积为 S2，那么 x 为何值时， S1＝2S22. （ 2002 年浙江金华、衢州 14 分）如图，已知直线 y ? ?2x ?12 分别与 y 轴，x 轴交于 A，B 两点，点 M 在 y 轴上， 以点 M 为圆心的⊙M 与直线 AB 相切于点 D，连结 MD． （1）求证：△ADM∽△AOB； （2）如果⊙M 的半径为 2 5 ，请求出点 M 的坐标，并写出以 (? 5 , 29) 为顶点．且过点 M 的抛物线的解22 析式； （3）在（2）的条件下，试问在此抛物线上是否存在点 P，使得以 P，A，M 三点为顶点的三角形与△AOB 相似？如果存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由．3. （ 2003 年浙江金华、衢州 12 分）如图所示，在△ABC 中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以每秒 4cm 的速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA 以每秒 3cm 的速度向 A 点运动，设运 动时间为 x． （1）当 x 为何值时，PQ∥BC；（2）当 S?BCQ ? 1 ，求 S?BPQ 的值；S?ABC 3S?ABC（3）△APQ 能否与△CQB 相似？若能，求出 AP 的长；若不能，请说明理由．（3）4. （2003 年浙江金华、衢州 14 分）已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点（A 点在原点左侧，B 点在原点右侧），与 y 轴交于 C 点．若 AB=4，OB＞OA，且 OA、OB 是方程 x2 ? kx ? 3 ? 0 的 两根． （1）请求出 A，B 两点的坐标； （2）若点 O 到 BC 的距离为 3 2 ，求此二次函数的解析式；2 （3）若点 P 的横坐标为 2，且△PAB 的外心为 M（1，1），试判断点 P 是否在（2）中所求的二次函数图 象上．5. （2004 年 浙江金华 12 分）已知：四边形 ABCD 为圆内接矩形，过点 D 作圆的切线 DP，交 BA 的延长线于点 P，且 PD=15，PA=9。

（1）求 AD 与 AB 的长； （2）如果点 E 为 PD 的一个动点（不与运动至 P，D），过点 E 作直线 EF，交 PB 于点 F，并将四边形 PBCD 的周长平分，记△PEF 的面积为 y，PE 的长为 x，请求出 y 关于 x 的函数关系式； （3）如果点 E 为折线 DCB 上一个动点（不与运动至 D，B），过点 E 作直线 EF 交 PB 于点 F，试猜想直 线 EF 能否将四边形 PBCD 的周长和面积同时平分？若能，请求出 BF 的长；若不能，请说明理由。6. （2004 年浙江金华 14 分）如图在平面直角坐标系内，点 A 与 C 的坐标分别为（4，8），（0，5），过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，过 OB 上的动点 D 作直线 y ? kx ? b 平行于 AC，与 AB 相交于点 E，连结 CD，过点 E 作直线 EF∥CD，交 AC 于点 F。

（1）求经过点 A，C 两点的直线解析式； （2）当点 D 在 OB 上移动时，能否使四边形 CDEF 成为矩形？若能，求出此时 k、b 的值；若不能，请说 明理由； （3）如果将直线 AC 作向上下平移，交 Y 轴于点 Cˊ，交 AB 于点 Aˊ，连结 DCˊ，过点 E 作 EFˊ∥DCˊ， 交 AˊCˊ于点 Fˊ，那么能否使四边形 CˊDEFˊ成为正方形？若能，请求出此时正方形的面积；若不能， 请说明理由。7. （2005 年浙江金华 12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AD=8,点 E 是 AB 边上的一点，AE= 2 2 ,过 D,E 两点作直线 PQ，与 BC 边所在的直线 MN 相交于点 F。

（1）求 tan∠ADE 的值； （2）点 G 是线段 AD 上的一个动点（不运动至点 A,D），GH⊥DE 垂足为 H，设 DG 为 x，四边形 AEHG 的面积为 y，请求出 y 与 x 之间的函数关系式； （3）如果 AE=2EB，点 O 是直线 MN 上的一个动点，以 O 为圆心作圆，使⊙O 与直线 PQ 相切，同时又 与矩形 ABCD 的某一边相切。问满足条件的⊙O 有几个？并求出其中一个圆的半径。∴8. （ 2005年浙江金华 14 分） 如图，抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 经过点 O(0,0)，A(4,0)，B(5,5)，点 C 是 y 轴负半轴上 一点，直线 l 经过 B,C 两点，且 tan ?OCB ? 59 （1）求抛物线的解析式； （2）求直线 l 的解析式； （3）过 O,B 两点作直线，如果 P 是直线 OB 上的一个动点，过点 P 作直线 PQ 平行于 y 轴，交抛物线于 点 Q。问：是否存在点 P，使得以 P,Q,B 为顶点的三角形与 OBC 相似？如果存在，请求出点 P 的坐标；如 果不存在，请说明理由。9. （ 2006 年浙江金华 12 分）初三(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝 合金材料,将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大. 小组讨论后,同学们做了以下三种 试验：请根据以上图案回答下列问题: （1）在图案（1）中,如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为 6m,当 AB 为 1 m, 长方形框架 ABCD 的面积是 ▲ m2; （2）在图案（2）中,如果铝合金材料总长度为 6m,设 AB 为 x m,长方形框架 ABCD 的面积为Ｓ＝ ▲ (用 含 x 的代数式表示)；当 AB＝ ▲ m 时, 长方形框架 ABCD 的面积Ｓ最大：在图案（3）中,如果铝合 金材料总长度为 m, 设 AB 为 x m,当 AB= ▲ m 时, 长方形框架 ABCD 的面积Ｓ最大.（3）经过这三种情形的试验,他们发现对于图案（4）这样的情形也存在着一定的规律．探索: 如图案（4）, 如果铝合金材料总长度为 m 共有ｎ条竖档时, 那么当竖档 AB 多少时,长方形框架 ABCD 的面积最大.10.（2006 年浙江金华 14 分）如图,平面直角坐标系中,直线 AB 与 x 轴, y 轴分别交于 A(3,0),B(0, 3 )两点, ,点 C 为线段 AB 上的一动点,过点 C 作 CD⊥ x 轴于点 D.（1）求直线 AB 的解析式;（2）若S梯形OBCD＝43 3,求点C的坐标;（3）在第一象限内是否存在点 P,使得以 P,O,B 为顶点的三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.11.（2007 年浙江金华 12 分）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为 1.6m 的小明（AB）的影子 BC 长是 3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方 H 点，并测得 HB=6m．（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置 G；（2）求路灯灯泡的垂直高度 GH；（3）如果小明沿线段 BH 向小颖（点 H）走去，当小明走到 BH 中点 B1 处时，求其影子 B1C1 的长；当小明继续走剩下路程的1 3到B2处时，求其影子B2C2的长；当小明继续走剩下路程的1 4到B3处，…按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的1 n ?1到Bn处时，其影子BnCn的长为▲m．（直接用 n 的代数式表示）12. （2007 年浙江金华 14 分）如图 1，在平面直角坐标系中，已知点 A（0，4 3 ），点 B 在 x 正半轴上，且∠ABO=30 度．动点 P 在线段 AB 上从点 A 向点 B 以每秒 3 个单位的速度运动，设运动时间为 t 秒．在 x 轴上取两点 M，N 作等边△PMN． （1）求直线 AB 的解析式； （2）求等边△PMN 的边长（用 t 的代数式表示），并求出当等边△PMN 的顶点 M 运动到与原点 O 重合时 t 的值； （3）如果取 OB 的中点 D，以 OD 为边在 Rt△AOB 内部作如图 2 所示的矩形 ODCE，点 C 在线段 AB 上．设 等边△PMN 和矩形 ODCE 重叠部分的面积为 S，请求出当 0≤t≤2 秒时 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最 大值．13.（2008年浙江金华10分）如图1，已知双曲线y= k (k>0)与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第 x一象限.试解答下列问题：（1）若点A的坐标为(4，2).则点B的坐标为；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为；（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y= k (k>0)于P，Q两点，点P在第一象限. x①说明四边形APBQ一定是平行四边形；②设点A.P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn应满足的条件；若不可能，请说明理由.14. （ 2008 年浙江金华 12 分）如图 1，在平面直角坐标系中，已知 ΔAOB 是等边三角形，点 A 的坐标是(0， 4)，点 B 在第一象限，点 P 是 x 轴上的一个动点，连结 AP，并把 ΔAOP 绕着点 A 按逆时针方 向旋转.使边 AO 与 AB 重合.得到 ΔABD。

（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（ 3 ，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于 3 ，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存 4在，请说明理由。15. （2009 年浙江金华 10 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点. （1）已知点 A(3,1)，连结 OA，平移线段 OA，使点 O 落在点 B.设点 A 落在点 C,作如下探究：探究一：若点 B 的坐标为(1，2)，请在图 1 中作出平移后的图像，则点 C 的坐标是 ▲ ；连结 AC， BO，请判断 O，A，C，B 四点构成的图形的形状，并说明理由；探究二：若点 B 的坐标为(6，2)，按探究一的方法,判断 O，A，B,C 四点构成的图形的形状. （温馨提示:作图时,别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描．黑．喔!） （2）通过上面的探究，请直接回答下列问题：①若已知三点 A (a，b)，B(c，d)，C (a+c，b+d)，顺次连结 O，A，C，B，请判断所得到的图形的形状； ②在①的条件下，如果所得到的图形是菱形或者是正方形，请选择一种情况，写出 a，b，c，d 应满足的 关系式.16. （2009 年浙江金华 12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，6），点 B 是 x 轴上的一个动点，连结 AB，取 AB 的中点 M，将线段 MB 绕着点 B 按顺时针方向旋转 90o，得到线段 BC.过点 B 作 x 轴的垂线交 直线 AC 于点 D.设点 B 坐标是（t，0）.（1）当 t=4 时，求直线 AB 的解析式； （2）当 t>0 时，用含 t 的代数式表示点 C 的坐标及△ABC 的面积； （3）是否存在点 B,使△ABD 为等腰三角形?若存在，请求出所有符合条件的点 B 的坐标；若不存在， 请说明理由.17. （2010 年浙江金华 10 分）已知点 P 的坐标为（m，0），在 x 轴上存在点 Q（不与 P 点重合），以 PQ 为边 作正方形 PQMN，使点 M 落在反比例函数 y = ? 2 的图像上.小明对上述问题进行了探究，发现不论 m 取x 何值，符合上述条件的正方形只．有．两个，且一个正方形的顶点 M 在第四象限，另一个正方形的顶点 M1 在第二象限.（1）如图所示，若反比例函数解析式为 y= ? 2 ，P 点坐标为（1， 0），图中已画出一符合条件的一个正 x方形 PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形 PQ1M1N1，并写出点 M1 的坐标； （温馨提示：作图时，别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑喔！）M1 的坐标是▲（2）请你通过改变 P 点坐标，对直线 M1 M 的解析式 y﹦kx＋b 进行探究可得 k﹦ ▲ ，若点 P 的坐标为（m，0）时，则 b﹦ ▲ ；（3） 依据（2）的规律，如果点 P 的坐标为（6，0），请你求出点 M1 和点 M 的坐标．18.（2010 年浙江金华 12 分）如图，把含有 30°角的三角板 ABO 置入平面直角坐标系中，A，B 两点坐标分别为（3，0）和(0，3 3 ）.动点 P 从 A 点开始沿折线 AO-OB-BA 运动，点 P 在 AO，OB，BA 上运动的速度分别为 1， 3 ，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘 l 从 x 轴的位置开始以 3 (长度单位/秒)的速度向上平行移动3 （即移动过程中保持 l∥x 轴），且分别与 OB，AB 交于 E，F 两点﹒设动点 P 与动直线 l 同时出发，运动 时间为 t 秒，当点 P 沿折线 AO-OB-BA 运动一周时，直线 l 和动点 P 同时停止运动．请解答下列问题： （1）过 A，B 两点的直线解析式是 ▲ ； （2）当 t﹦4 时，点 P 的坐标为 ▲ ；当 t ﹦ ▲ ，点 P 与点 E 重合； （3）① 作点 P 关于直线 EF 的对称点 P′. 在运动过程中，若形成的四边形 PEP′F 为菱形，则 t 的值是多少？② 当 t=2 时，是否存在着点 Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明 理由．19. （2011 年浙江金华、丽水 10 分）在平面直角坐标系中，如图 1，将 n 个边长为 1 的正方形并排组成矩形 OABC，相邻两边 OA 和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上，设抛物线 y ? ax2 ? bx ? c?a＜0? 过矩形顶点 B、C． （1）当 n=1 时，如果 a =﹣1，试求 b 的值； （2）当 n=2 时，如图 2，在矩形 OABC 上方作一边长为 1 的正方形 EFMN，使 EF 在线段 CB 上，如果 M，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，使得点 B 落到 x 轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点 O． ①试求当 n=3 时 a 的值； ②直接写出 a 关于 n 的关系式．20. （2011 年浙江金华、丽水 12 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A（10，0），以 OA 为直径在第一象限内作半圆 C，点 B 是该半圆周上一动点，连接 OB、AB，并延长 AB 至点 D，使 DB=AB，过点 D 作 x 轴 垂线，分别交 x 轴、直线 OB 于点 E、F，点 E 为垂足，连接 CF．（1）当∠AOB=30°时，求弧 AB 的长度； （2）当 DE=8 时，求线段 EF 的长； （3）在点 B 运动过程中，是否存在以点 E、C、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此时点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．21. （2012 年浙江金华、丽水 10 分）在直角坐标系中，点 A 是抛物线 y＝x2 在第二象限上的点，连接 OA，过点 O 作 OB⊥OA，交抛物线于点 B，以 OA、OB 为边构造矩形 AOBC．(1)如图 1，当点 A 的横坐标为时，矩形 AOBC 是正方形；(2)如图 2，当点 A 的横坐标为 ? 1 时， 2①求点 B 的坐标；②将抛物线 y ＝x2 作关于 x 轴的轴对称 变换得到抛 物线 y＝－ x2，试判断抛 物线 y＝－x2 经过平移交 换后，能否经 过 A，B，C 三点？如果 可以，说出变 换的过程；如 果不可以，请 说明理由．22. （ 2012年浙江金华、丽水 12 分）在△ABC 中，∠ABC＝45°，tan∠ACB＝．如图，把△ABC 的一边 BC 放置在x 轴上，有 OB＝14，OC＝，AC 与 y 轴交于点 E．(1)求 AC 所在直线的函数解析式； (2)过点 O 作 OG⊥AC，垂足为 G，求△OEG 的面积；(3)已知点 F(10，0)，在 △ABC 的边 上取两点 P， Q，是否存在 以 O，P，Q 为顶点的三 角形与 △OFP 全等，且这两个三角形在 OP 的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由．23.（2013年浙江金华、丽水 10 分）如图，已知抛物线 y ? 1 x2 ? bx 与直线 y ? 2x 交于点 O（0，0）， A ?ａ，12? 。点2 B 是抛物线上 O，A 之间的一个动点，过点 B 分别作ｘ轴、ｙ轴的平行线与直线 OA 交于点 C，E。（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点 C 为 OA 的中点，求 BC 的长；（3）以 BC，BE 为边构造条形 BCDE，设点D的坐标为（ｍ，ｎ），求ｍ，ｎ之间的关系式。24. （2013 年浙江金华、丽水 12 分）如图 1，点 A 是ｘ轴正半轴上的动点，点 B 的坐标为（0，4），M 是线 段 AB 的中点。将点 M 绕点 A 顺时针方向旋转 900 得到点 C，过点 C 作ｘ轴的垂线，垂足为 F，过点 B 作 ｙ轴的垂线与直线 CF 相交于点 E，点 D 是点 A 关于直线 CF 的对称点。连结 AC，BC，CD，设点 A 的横 坐标为ｔ， （1）当ｔ=2 时，求 CF 的长； （2）①当ｔ为何值时，点 C 落在线段 CD 上；②设△BCE 的面积为 S，求 S 与ｔ之间的函数关系式；（3）如图 2，当点 C 与点 E 重合时，将△CDF 沿ｘ轴左右平移得到 ?C'D'F' ，再将 A，B， C', D' 为顶点 的四边形沿 C'F' 剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形。请直接写 出符合上述条件的点 C' 坐标，

浙江金华市2019年中考数学真题(含答案)_2019浙江省衢州市中考数学试题(含答案)

2019 年浙江省衢州市初中学业水平考试试卷数学卷I说明：本卷共有 1 大题，10 小题，共 30 分，请用 2B 铅笔在答题卷上将你认为正确的选项对应的小方框涂 黑、涂满. 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.在 1 ， 0 ，1， ?9 四个数中，负数是（ ） 21 A.2B. 0C. 1D. ?92.浙江省陆域面积为101800平方千米，其中数据101800用科学计数法表示为（ ）A. 0.1018?105 B. 1.018?105 C. 0.1018?105 D. 1.018?1053.如图是由 4 个大小相同的立方体达成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）A.B.C.D.4.下列计算正确的是（ ）A. a6 ? a6 ? a12B. a6 ? a2 ? a8C. a6 ? a2 ? a3D. (a6 )2 ? a85.在一个箱子里放有1个白球和 2 个红球，它们除颜色外其余都相同.从箱子里任意摸出 1 个球，摸到白球的概率是（ ）A. 12 B.31 C.31 D.26.二次函数 y ? (x ?1)2 ? 3 图象的顶点坐标是（ ）A. (1,3)B. (1, ?3)C. (?1,3)D. (?1, ?3)7.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA ， OB 组成，两根棒在点 O 相连并可绕 O 转动， C 点固定，OC ? CD ? ED ,点 D ， E 可在槽中滑动，若 ?BDE ? 75 ，则 ?CDE 的度数是（ ）A. 60B. 65C. 75D. 808.一块圆形宣传标志牌如图所示，点 A ， B ， C 在 O 上， CD 垂直平分 AB 于点 D ，现测得 AB ? 8dm ， DC ? 2dm ，则圆形标志牌的半径为（ ）A. 6dmB. 5dmC. 4dmD. 3dm9.如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为 2 的正六边形，则原来的纸带宽为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 210.如图，正方形 ABCD 的边长为 4 ，点 E 是 AB 的中点，点 P 从点 E 出发，沿 E → A → D →C 移动至终点 C ，设点 P 经过的路经长为 x ，?CPE 的面积为 y ，则下列图象能大致反映 y 与函数 x 关系的是（ ）A.B.C.D.卷 II说明：本卷有 2 大题，共 14 小题，共 90 分，请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上.二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）11.计算： 1 ? 2 ?.aa12.数据 2 ， 7 ， 5 ， 7 ， 9 的众数是.13.已知实数m，n满足?m ??m? ?n n? ?1 3，则代数式m2?n2的值为.14.如图，人字梯 AB ， AC 的长都为 2 米.当? ? 50 时，人字梯顶端离地面的高度 AD 是米（结果精确到 0.1m .参考数据： sin 50 ? 0.77, cos 50 ? 0.64, tan 50 ? 1.19 ）. 15.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， ABCD 的边 AB 在 x 轴上，顶点 D 在 y 轴的正半轴上，点 C 在第一象限，将 AOD 沿 y 轴翻折，使点 A 落在 x 轴上的点 E 处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F.若y?k x(k?0)图象经过点C，且S?BEF=1，则k的值为.16.如图，由两个长为 2 ，宽为1的长方形组成“ 7 ”字图形.（1）将一个“ 7 ”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“ 7 ”字图形 ABCDEF ，其中顶点 A 位于 x 轴上，顶点 B ， D 位于 y 轴上， O 为坐标原点，则 OB 的值为;OA（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“ 7 ”字图形得顶点 F1 ，摆放第三个“ 7 ”字图形得顶点 F2 ，依此类推，…，摆放第 n 个“ 7 ”字图形顶点 Fn?1 ，…，则顶点 F2019 的坐标为.三、解答题（本题有 8 小题，第 17 19 小题每小题 6 分，第 20 21 小题每小题 8 分，第 22 23 小题每小题 10 分，第 24 小题 12 分，共 66 分.请务必写出解答过程）17.（本题满分 6 分）计算： ?3 ? (? ? 3)0 ? 4 ? tan 4518.（本题满分 6 分）已知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E ， F 分别在边 BC ， CD 上，且 BE ? DF ， 连接 AE ， AF 求证: AE ? AF19.（本题满分 6 分）如图，在 4?4 的方格子中， ?ABC 的三个顶点都在格点上. （1）在图1中画出线段 CD ，使 CD ? CB ，其中 D 是格点. （2）在图 2 中画出平行四边形 ABEC ，其中 E 是格点.图1图220.（本题满分 8 分）某校为积极响应“南孔圣地，衢州有礼”城市品牌建设，在每周五下午第三节课开 展了丰富多彩的走班选课活动，其中综合实践类共开设了“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”“礼源”等 五门课程，要求全校学生必须参与其中一门课程.为了解学生参与综合实践类课程活动情况，随机抽取了 部分学生进行调查，根据调查结果绘制了如图所示不完全的条形统计图和扇形统计图.被抽样学生参与综合实践课程情况 条形统计图被抽样学生参与综合实践课程情况 扇形统计图（1）请问被随机抽取的学生共有多少名？并补全条形统计图. （2）在扇形统计图中，求选择“礼行”课程的学生人数所对应的扇形圆心角的度数. （3）若该校共有学生 1200 人，估计其中参与“礼源”课程的学生共有多少人？21.（本题满分 8 分）如图，在等腰 ?ABC 中， AB ? AC ，以 AC 为直径作 作 DE ? AB ，垂足为 E . （1）求证： DE 是 O 的切线.O 交 BC 于点 D ，过点 D（2）若 DE ? 3 ， ?C ? 30 ,求 AD 的长.22.（本题满分 10 分）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为 200 元时，每天入住的房间数为 60 间， 经市场调查表明，该宾馆每间标准房的价格在170 240 元之间（含170 元， 240 元）浮动时，每天入住 的房间数 y （间）与每间标准房的价格 x （元）的数据如下表x （元） … 190 200 210 220 … y （间） … 65 60 55 50 …（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象.（2）求 y 关于 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围. （3）设客房的日营业额为 w （元），若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？23.（本题满分 10 分）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点 A(a,b) ， B(c, d ) ，若点T (x, y) 满足x ? a ? c ， y ? b ? d ，那么称点T 是点 A ， B 的融合点.33例如 : A(?1,8) ，B(4, ?2) 当点T (x, y) 满足 x ? ?1? 4 ? 1, y ? 8 ? (?2) ? 2 时，则点T (1, 2) 是点 A ，B33的融合点.（1）已知点 A(?1,5) ， B(7, 7) ， C(2, 4) ，请说明其中一个点是另外两个点的融合点；（2）如图，点 D(3, 0) ，点 E(t, 2t ? 3) 是直线 l 上任意一点，点T (x, y) 是点 D 、 E 的融合点.①试确定 y 与 x 的关系式； ②若直线 ET 叫 x 轴于点 H 。当 ?DTH 为直角三角形时，求点 E 的坐标.24.（本题满分 12 分）如图，在 Rt?ABC 中，?C=90 ，AC ? 6 ，?BAC=60 ，AD 平分 ?BAC 交 BC与点 D ，过点 D 作 DE ∥ AC 交 AB 于点 E ，点 M 是线段 AD 上的动点，连接 BM 并延长分别交 DE 、 AC 于点 F 、 G . （1）求 CD 的长； （2）若点 M 是线段 AD 的中点，求 EF 的值；DF（3）请问当 DM 的长满足什么条件时，在线段 DE 上恰好只有一点 P ，使得 ?CPG ? 60 ?