[三角函数最值求法探究] 几种常见的三角函数值域求法
2006年第4期(总第98期)
牡丹江教育学院学报
JOURNALOFMUDANJIANGCOLLEGEOFEDUCATION
No.4,2006
TotalNo.98
三角函数最值求法探究
宁广祥1
陈
旭2
(1牡丹江师范学校,黑龙江牡丹江157000;2牡丹江第二中学,黑龙江牡丹江157000)
[摘要]三角函数的曩值问题是对三角函数基础知识的综合应用,也是高考中的一个重点.本文总结了三角函数最值的求法,其中换元法/数形结合是本文的重点,也是解决最值的基本方法.
[关键词]三角函数I最值I换元;数形结合
[中圈分类号]G633.6
[文献标识码]A
[文章编号]1009--2323(2006)04--0120--01
三角函数的最值问题是对三角函数基础知识的综合应用,此类问题在近几年的高考题中经常出现。也是高考的一个重点必考内容.其出现的形式,或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题,或者是隐含在解答题中,作为解决解答题所用的知识点之一.它既是三角函数知识的延续和再巩固,又是三角公式运用的具体表现,因此,对于学生来说要熟练掌握这些知识点和基本方法确有一定难度.下面笔者将近几年来的教学点滴心得总结如下・
1.Y2asinx+b(或y2acosx+b)塑函数例1求y一3cosx+1的最值.解1...一1≤cosx≤1...一3≤3cosx≤3...一2≤3cosx+1≤4
即,.。一4
y_一一2.
率,而点(cosx,sinx)是单位圆上的点,过(2,2)的直线系方程y一2一k(z一2)
篆表示的是过点(2,2)与点(cosx,sinx)的斜
解法2,(效形结合,运用直线的斜率)
1y
由点到直线的距离公式,d一上二宅掣一1
解法3t(应用7Y能公式)
解得,量一丁4-t-V/7"故舳一学,№一业3
设t—tan号,
彳A(2.2
形如这类函数最值的求法单纯应用了正余弦函数的有界性。较为容易.
2.Y2acosx+bsinx型函数
例2求y—cosx-f-~/'3sinx的最值
灿一毪鲁},
即(2—3y)t2—2t+2一y一0,
弋≯
X.<}一
叉
解,原式可化简为y一2sin(z+睾),由一1≤sin(z-t-
口
令△>i0,得3y2—8y+3≤0
÷)≤1得y一一2,y_.—一2.
此类函数特点是含有正余弦函数,并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数,这应用了课本中现成的公式即可ty一
解之得。尘寻匝≤y≤尘每匝
故y。一尘寻匣.‰一尘每匝
此类问题的特点是一个分式,分子、分母分别会有正、余弦的一次式。几乎所有的分式型都可以通过分子、分母的化简,最后整理成这个形式,它的处理方式有如上几种。
5.含有sinx与COSX的和与积型的函数式
例5求y一2sinxcosx+sinx+COSX的最大值.
石丽sin(z-t-9),其中ta婶一旦
’
。
a
3.Y2acos2x-I-bcosx+C型的函数
例3求函数y一2cos2x+COSX+4的值域.解l设t—COaX。(一1≤t≤1)
解l令sinx+cosx=t(一履≤t≤√虿),
则1+2sinxcosx=t2,所以2sinxcosx—t:一1,
则y=2t2+t+4—2(£+÷)+警
口1
所以y—t2—1+t一(f+÷)一÷
所以y~一7,y_一警.
此类题型主要是应用了换元法将问题转化为学生熟知的一元二次函数有条件限制的最值问题,体现了化归的重要数学思想的应用.
性。
根据二次函数的图像,解出Y的最大值是1+压
这种问题再次反映出二次函数性质和化归思想的重要
6.y2asin2x+bsinxcosx+cos,?x型的函数
4.y=竺箸掣型的函数
f5ln.Z。1一a
例4求函数y一}型的最大值和最小值.
‘一c05Z
例6求y—sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并求出y取最小值时x的集合.
解lY—sin2x+2sinxcosx+3cos2x
一(sin2x+COS2x)+sin2x+2cos=x一1+sin2x+1+cos2x
解法1-(转化为型1,利用有界性求解)原解析式即18inx—ycosx一2—2y,即sin(x-t-9)一j三=垒兰。
’
一2+厄sin(2。+孕)
牛
/1+矿
...I
sin(x+9)I≤1。...一1≤≠=兰聋≤1.
。
。一o..
当sin(2x+-石2-)一一1时。Y取最小值2一厄,此时x的
集合{xIx—kw一{}k∈z}
此类题型的特点是含有sinx,C08X的二次式,处理方式是降幂,再化为型1的形式,之后再利用三角函数的有界性来解.[责任编辑:丛爱玲]
J1+矿
...#孕≤《毡孕
[收稿日期]2006--05—20
[作者简介]宁广祥(1971一),男,黑龙江密山人,牡丹江师范学校讲师f陈旭(1974一),女,黑龙江肇东人,牡丹江市第二中学一一级教师。
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120・
万方数据
三角函数最值求法探究
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):
宁广祥, 陈旭
宁广祥(牡丹江师范学校,黑龙江,牡丹江,157000), 陈旭(牡丹江第二中学,黑龙江,牡丹江,157000)
牡丹江教育学院学报
JOURNAL OF MUDANJIANG COLLEGE OF EDUCATION2006(4)
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