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辽宁新华教育网手机版_新华教育高中部数学同步人教A版必修五第三章不等式-二元一次不等式(组)与简单的线形规划提高训练

二元一次不等式（ 二元一次不等式（组）与简单的线形规划（提高训练） 与简单的线形规划（提高训练）1、 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于 15 t ，已知生产甲产品 1 t 需煤 9 t ， 电力 4 kW ，劳力 3 个（按工作日计算） ；生产乙产品 1 t 需煤 4 t ，电力 5 kW ，劳力 10 个；甲产品每吨价 7 万元，乙产品每吨价 12 万元；但每天用煤最不得超过 300 吨，电 力不得超过 200 kW ，劳力只有 300 个．问每天各生产甲、乙两种产品多少 t ，才能既 保定完成生产任务，又能为国家创造最多的财富． 答案：第天生产甲产品 20 t ，乙产品 24 t ，这样既保证完成任务，又能为国家创造最多的财 富 428 万元 解析：设每天生产甲产品 xt ，乙产品 yt ，总产值 St ，依题意约束条件为：? x ≥ 15, ? y ≥ 15, ? ? ?9 x + 4 y ≤ 300, ?4 x + 5 y ≤ 200, ? ?3 x + 10 y ≤ 300. ?目标函数为 S = 7 x + 12 y ． 约束条件表示的可行域是五条直线所围成区域的内部的点加上它的边线上的点(如图阴 影部分)．现在就要在可行域上找出使 S = 7 x + 12 y 取最大值的点 ( x , y ) ．作直线 S = 7 x + 12 y 随着 S 取值的变化，得到一束平行直线，其纵截距为S ，可以看出，当直线的纵截距越大， 12S 值也越大．从图中可以看出，当直线 S = 7 x + 12 y 经过点 A 时，直线的纵截距最大，所以 S 也取最大 值． 解方程组 ??4 x + 5 y ? 200 = 0, ?3 x + 10 y ? 300 = 0,得 A( 20 , 24) ．故当 x = 20 ， y = 24 时，S 最大值 = 7 × 20 + 12 × 24 = 428 (万元)．答：第天生产甲产品 20 t ，乙产品 24 t ，这样既保证完成任务，又能为国家创造最多的财富 428 万元． 2、 有一批钢管，长度都是 4000 mm ，要截成 500 mm 和 600 mm 两种毛坯，且这两种毛坯1 配套，怎样截最合理？ 3 答案：每根钢管截 500 mm 的 2 根，600 mm 的 5 根，或截 500 mm 的 3 根，600 mm 的 4 根 600 600 或截 500 mm 的 4 根， mm 的 3 根或截 500 mm 的 5 根， mm 的 2 根或截 500 mm 的 6 根，600 mm 的 1 根最合理 解析：设截 500 mm 的 x 根，600 mm 的 y 根，根据题意，得数量比大于?5 x + 6 y ≤ 40, ? y < 3 x, ? 且 x, y ∈ z ． ? ? x > 0, ? y > 0. ?作出可行域，如下图中阴影部分．目标函数为 z = x + y ，作一组平行直线 x + y = t ，经过可行域内的点且和原点距离最远的 直线为过 B (0 , 8) 的直线，这时 x + y = 8 ． 由 x ， y 为正整数，知 (0 , 8) 不是最优解． 在可行域内找整点，使 x + y = 7 可知点 (2 , 5) ， (3 , 4) ， (4 , 3) ， (5 , 2) ， (6 , 1) 均为最优解． 答：每根钢管截 500 mm 的 2 根，600 mm 的 5 根，或截 500 mm 的 3 根，600 mm 的 4 根或 截 500 mm 的 4 根，600 mm 的 3 根或截 500 mm 的 5 根，600 mm 的 2 根或截 500 mm 的 6 根，600 mm 的 1 根最合理． 3、 某工厂生产 A 、 B 两种产品，已知生产 A 产品 1 kg 要用煤 9 t ，电力 4 kW ，3 个工作 日；生产 B 产品 1 kg 要用煤 4 t ，电力 5 kW ，10 个工作日．又知生产出 A 产品 1 kg 可 获利 7 万元， 生产出 B 产品 1 kg 可获利 12 万元， 现在工厂只有煤 360 t ， 电力 200 kW ， 300 个工作日，在这种情况下生产 A ， B 产品各多少千克能获得最大经济效益． 答案：应生产 A 产品 20 t ， B 产品 24 t ，能获最大利润 428 万元． 解析：设这个工厂应分别生产 A ， B 产品 xkg ， ykg ，可获利 z 万元．根据上表中的条件，?3 x + 10 y ≤ 300, ?9 x + 4 y ≤ 360, ? 列出线性约束条件为 ? 目标函数为 z = 7 x + 12 y (万元)． ?4 x + 5 y ≤ 200, ? x ≥ 0, y ≥ 0, ?画出如图所示的可行域，做直线 l '：x + 12 y = 0 ，做一组直线 7 x +12 y = t 与 l 平行，当 l 过 7'点 A 时 t 最大．由 ??3 x + 10 y = 300, 得 A 点坐标为 ( 20 , 24) ．把 A 点坐标代入 l 的方程，得 ?4 x + 5 y = 200,t = 428 (万元)．4、 某公司每天至少要运送 180 t 货物．公司有 8 辆载重为 6 t 的 A 型卡车和 4 辆载重为 10 t 的 B 型卡车， A 型卡车每天可往返 4 次， B 型卡车可往返 3 次， A 型卡车每天花费 320 元， B 型卡车每天花费 504 元，问如何调配车辆才能使公司每天花费最少． 答案：当 l 过 (8 , 0) 时 t 最小， z min = 8 × 320 = 2560 (元)?0 ≤ x ≤ 8, ?0 ≤ x ≤ 8, ?0 ≤ y ≤ 4, ?0 ≤ y ≤ 4, ? ? 解析：设 A 型卡车 x 辆， B 型卡车 y 辆，则 ? 即? ? x + y ≤ 10, ? x + y ≤ 10, ?24 x + 30 y ≥ 180, ?4 x + 5 y ≥ 30, ? ?目标函数 z = 320 x + 504 y ．做如图所示的可行域，做直线 l '： x + 504 y = 0 ．在可行域中打上网格，找出 (8 , 0) ， (8 , 1) ， (8 , 2) ， (7 , 1) ， 320(7 , 2) ， (7 , 3) ，…等整数点．做 l： x + 504 y = t 与 l ' 平行，可见当 l 过 (8 , 0) 时 t 最小， 320即 z min = 8 × 320 = 2560 (元)．5、某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品 A 、 B 、 C ，每消耗一吨燃料与产品 A 、 B 、 C 有下列关系：现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为 2 : 3 ，现需要三种产品 A 、 B 、 C 各 50 吨、63 吨、 65 吨．问如何使用两种燃料，才能使该厂成本最低？ 答案：应用燃料甲117 70 吨，燃料乙 吨，才能使成本最低 23 23解析：设该厂使用燃料甲 x 吨，燃料乙 y 吨，甲每吨 2t 元， 则成本为 z = 2tx + 3ty = t ( 2 x + 3 y ) ．因此只须求 2 x + 3 y 的最小值即可．?10 x + 5 y ≥ 50, ? 又由题意可得 x 、 y 满足条件 ?7 x + 9 y ≥ 63, ?5 x + 13 y ≥ 65. ?作出不等式组所表示的平面区域（如图）由??10 x + 5 y = 50, 27 56 得 A( , ) 11 11 ?7 x + 9 y = 63. ?7 x + 9 y = 63, 117 70 得 B( , ) 23 23 ?5 x + 13 y = 65.由?作直线 l：x + 3 y = 0 ，把直线 l 向右上方平移至可行域中的点 B 时， 2117 70 444 + 3× = ． 23 23 23 444 ∴最小成本为 t． 23 117 70 答：应用燃料甲 吨，燃料乙 吨，才能使成本最低． 23 23z = 2x + 3y = 2 ×6、 啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉 9 克、咖啡 4 克、糖 3 克，乙种饮料每杯含奶 粉 4 克、咖啡 5 克、糖 10 克．已知每天原料的使用限额为奶粉 3600 克、咖啡 2000 克、 糖 3000 克．如果甲种饮料每杯能获利 0.7 元，乙种饮料每杯能获利 1.2 元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？ 答案：应每天配制甲种饮料 200 杯，乙种饮料 240 杯方可获利最大 解析：设每天配制甲各饮料 x 杯、乙种饮料 y 杯可获得最大利润，利润总额为 z 元． 由条件知： z = 0.7 x = 1.2 y ．变量 x 、 y 满足?9 x + 4 y ≤ 3600, ?4 x + 5 y ≤ 2000, ? ? ?3 x + 10 y ≤ 3000, ? x ≥ 0, y ≥ 0. ?作出不等式组所表示的可行域（如图）作直线 l： 7 x + 1.2 y = 0 ，把直线 l 向右上方平移至经过 A 点的位置时， z = 0.7 x + 1.2 y 取 0. 最大值． 由方程组： ??3 x + 10 y ? 3000 = 0, ?4 x + 5 y ? 2000 = 0.得 A 点坐标 A( 200 , 240) ． 答：应每天配制甲种饮料 200 杯，乙种饮料 240 杯方可获利最大．

辽宁新华教育网手机版_新华教育高中部数学同步教A版必修二第二章 点、直线、平面之间的位置关系-直线、平面平行的判定及其性学习

2、2直线平面平行的判定及其性质学习过程 知识点 1：线面平行的判定定理 应用线面平行的判定定理证明线面平行，关键是找到平面内与平面外的直线相平行的直线。

知识点 2：面面平行的判定定理 应用面面平行的判定定理， 证明面面平行， 关键是在一个平面内找到两条相交直线与另一个 平面平行。

知识点 3：线面平行的性质定理 应用线面平行的性质定理， 解题的关键是利用已知条件作辅助面， 然后将已知条件中的线面 平行转化为直线与交线平行。

知识点 4：面面平行的性质定理 应用面面平行的性质定理解题的关键是利用已知条件作辅助面， 然后将已知条件中的面面平 行转化为两条交线平行平行。

学习结论 1：线面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直 线和这个平面平行。

2：面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两 个平面平行。

3：线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面 相交，那么这条直线就和交线平行。

4：面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。典型例题例 1、空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过另外两边的平面． 已知：空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中点． 求证：EF∥平面 BCD．解析：根据直线与平面平行的判定定理，要证明 EF∥平面 BCD，只要在平面 BCD 内找 一直线与 EF 平行即可，很明显原平面 BCD 内的直线 BD∥EF． 证明：连结 BD．性，这三个条件是证明直线和平面平行的条件，缺一不可． 例 2、如图，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 在 AB1 上，F 在 BD 上，且 B1E＝BF. （1）求直线 AB1 和平面 A1B1C1D1 所成的角大小；D F B C M(2)求证：EF∥平面 BB1C1C； 解析：（1）解： ∵AA1⊥平面 A1B1C1D1 ∴A1B1 是斜线 AB1 在平面 A1B1C1D1 内的射影 ∴ ?AA1 B1 为直线 AB1 和平面 A1B1C1D1 所成的 角 ∵ ?AA1 B1 = 45?AD1 A1E B 1C1∴直线 AB1 和平面 A1B1C1D1 所成的角为 45?(2) 证法一：连结 B1M. ∵AD∥BC ∴△AFD∽△MFB ∴AF DF ? FM BF∴又∵BD＝B1A，B1E＝BF∴DF＝AEAF AE ? FM B1 E∴EF∥B1M， ∵B1M ? 平面 BB1C1C，∴EF∥平面 BB1C1C. 证法二：作 FH∥AD 交 AB 于 H，连结 HE ∵AD∥BC ∴FH∥平面 BB1C1C 由 FH∥AD 可得∴FH∥BC，BC ? BB1C1CBF BH ? BD BA又 BF＝B1E，BD＝AB1 ∴EH∥平面 BB1C1C，∴B1 E BH ? AB1 BAEH∩FH＝H∴EH∥B1B，B1B ? 平面 BB1C1C ∴平面 FHE∥平面 BB1C1CEF ? 平面 FHE∴EF∥平面 BB1C1C例 3、如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）ABC—A1B1C1 中，F 是 A1C1 的中点， （1）求证：平面 AFB1⊥平面 ACC1A1； （2）求证：BC1//平面 AFB1。C1 F A1 B1C A B解析： （1）在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AA1⊥平面 A1B1C1， 又∵B1F ? 平面 A1B1C 1 ， ∴AA1⊥B1F， 在正三角形 A1B1C 1 中，B1F⊥A1C 1 又∵AA1∩ A1C 1= A1 ∴B1F⊥平面 ACC1A1 又∵B1F ? 平面 A F B1 ， ∴平面 AFB1⊥平面 ACC1A1 （2）连结 A1B 交 AB1 于 G 点，连结 FG ∵四边形 ABB1A1 为平行四边形， ∴A1G=BG 又∵A1F=C1F ∴FG// BC1 BC1 ? 平面 AFB1又∵FG ? 平面 AFB1 ∴BC1//平面 AFB1例 4、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ? 底面 ABCD，E 是 PC 的中点。PO ? 2, AB ? 2求证： （1）PA∥平面 BDE （2）平面 PAC ? 平面 BDE （3）求二面角 E-BD-A 的大小。

证明： （１）∵O 是 AC 的中点，E 是 PC 的中点，∴OE∥AP， 又∵OE ? 平面 BDE，PA ? 平面 BDE，∴PA∥ 平面 BDE （2）∵PO ? 底面 ABCD，∴PO ? BD， 又∵AC ? BD，且 AC ? PO=O∴BD ? 平面 PAC， 而 BD ? 平面 BDE，∴平面 PAC ? 平面 BDE。

（3）由（2）可知 BD ? 平面 PAC，∴BD ? OE，BD ? OC， ∠EOC 是二面角 E-BD-C 的平面角 （∠EOA 是二面角 E-BD-A 的平面角） 在 RT△POC 中，可求得 OC= 2 ，PC=2 在△EOC 中，OC= 2 ，CE=1，OE= ∴∠EOC=45°∴∠EOA =135°， 即二面角 E-BD-A 大小为 135°。1 PA=1 2

辽宁新华教育网手机版_新华教育高中部数学同步人教A版必修二第二章 点、直线、平面之间的位置关系-空间点、直线、平面之间的位置

空间点、直线、面的位置关系（基础训练） 空间点、直线、面的位置关系（基础训练）1．下列命题正确的是………………………………………………（ ） A．三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．两条相交直线确定一个平面 答案：D 解析：本题利用公理 2 解决。

2．若直线 a 不平行于平面 α ，且 a ? α ，则下列结论成立的是（ ） A． α 内的所有直线与 a 异面 B． α 内不存在与 a 平行的直线 C． α 内存在唯一的直线与 a 平行 D． α 内的直线与 a 都相交 答案：B 解析：若 α 内存在与 a 平行的直线则 a 与 α 平行。

3．平行于同一平面的两条直线的位置关系………………………（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．平行、相交或异面 答案：D 4．正方体 ABCD ? A' B ' C ' D ' 中， AB 的中点为 M ， DD ' 的中点为 N ，异面直线 B' M 与 CN 所成的角是…………………………………………………（ ） A． 0oB． 45oC． 60oD． 90o答案：D 解析：将 CN 平移,取 AA1 的重点 E 连结 BE 可得 BE 与 CN 垂直。

5．平面 α 与平面 β 平行的条件可以是…………………………（ A． α 内有无穷多条直线都与 β 平行 B．直线 a // α , a // β 且直线 a 不在 α 内，也不在 β 内 C．直线 a ? α ，直线 b ? β 且 a // β ， b // α D． α 内的任何直线都与 β 平行 答案:D 解析： ）α 与β 没有公共点 。）6．下列命题中，错误的是…………………………………………（ A． 平行于同一条直线的两个平面平行 B． 平行于同一个平面的两个平面平行 C． 一个平面与两个平行平面相交，交线平行 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交 答案：A 解析：两个平面相交也可以同时和一条直线平行。7、异面直线 a、b，a⊥平面 α，b⊥平面 β，α∩β=l a、b 的公垂线段为 AB.且 AB 与 l 不重合，求证：AB∥l 证明：过点 B 作 a' ∥a,即 a' ∩b=B, a'与 b 确定平面 r. ∵AB 为 a、b 的公垂线，∴AB⊥平面 r ∵α∩β=l a⊥α， b⊥β ∴a⊥l, b⊥l b' ⊥l ∴l⊥平面 r 已证 AB⊥l ∴AB∥l. 8、.平面 α 与 β 相交于直线 l，直线 AB、CD 分别在 α、β 内，且分别与 l 交于 A、C 两 点，∠BAC＝∠ACD，问直线 AB 与 CD 的位置关系怎样？证明你的结论 解析：直线 AB 与 CD 异面（反证法）证明：假设直线 AB 与 CD 共面，设 AB 与 CD 确定平面 γ.则不共线的三点 A、 B、C 在 γ 内.又 AB α，α∩β=AC，从而 AC α，∴A、B、C 在 α 内.由公理 3 知 α、 γ 重合. 同理 β 与 γ 重合，从而 α 与 β 重合. 这与已知 α 与 β 相交于直线 l 矛盾. 故直线 AB 与直线 CD 异面。