基于Arnold变换的彩色图像加密设计 图像加密像素位置变换

　　摘要：本文提出一种基于Arnold变换和T仿射的一种彩色图像加密算法，实现光学彩色图像的加密和解密。其设计 　　思想是：对一副彩色图像进行分层处理，分别进行分块后利用Arnold变换置乱，同时设计T仿射对图像进行再次置乱。T仿射中由随机角度决定的矩阵将成为图像加密的主要密钥，Arnold变换中设定的若干个迭代次数作为附加密钥。通过数值仿真检验了算法的安全性。
　　关键词：图像处理 T仿射 Arnold变换 随机矩阵
　　中图分类号：O439 文献标识码：A 文章编号：1007-9416(2012)01-0092-02
　　
　　图像是人们在日常生活中交流信息的重要载体，而图像加密是保护图像信息安全的直接有效手段。随着信息技术的快速发展，人们在享受便利的同时将遭受着对信息存储、处理和传递过程中的安全隐患[1]。对于某些图像数据必须要采用可靠的加密技术[2]。最近几年，基于多路技术彩色图像加密方案得到深入发展[3]。
　　本文拟采用基于Arnold变换和随机矩阵对彩色图像进行加密和解密，对一幅彩色图像进行分层处理，分别进行分块后利用Arnold变换置乱，同时设计T仿射对图像进行再次置乱。在算法中，T仿射中由随机角度决定的矩阵将成为图像加密的主要密钥，Arnold变换中设定的若干个迭代次数作为附加密钥。
　　1、Arnold变换和T仿射
　　数字图像置乱技术是光学信息安全问题中的一个重要课题，人们用得较多的数字图像置乱技术是基于Arnold变换、幻方、分形、Hilbert曲线、Conway游戏和Gray码变换等方法[4]。
　　1.1 Arnold变换及其逆变换
　　1.1.1 Arnold变换
　　Arnold变换又称猫脸变换，根据所选择不同的相位空间可分为二维，三维甚至N维的Arnold变换[5]。对于一幅的二维图像，本文将基于象素点坐标离散化的Arnold变换图像置乱定义为：
　　1.1.2 Arnold逆变换
　　下面介绍Arnold变换的逆变换，对于二维Arnold逆变换的定义如下:
　　其中为逆变换矩阵，表示原图像某像素点，，而则表示置乱后的像素点，N是图像的阶数[6]。
　　1.2 T仿射
　　对于Arnold变换，若破译者知道加密算法且知道分块的准则，通过穷举法，迭代一定次数后容易恢复图像[7]，为了加强整个算法的设计，我们将引入一个T仿射。通过T仿射我们可以引入一个随机角度，这个角度将会在整个加密解密算法中扮演重要的角色。下面我们先来介绍T仿射的定义式：
　　其中为引入的一个随机角度，这个角度可以随机设定，这也大大加强了加密算法的安全性，这将在后面详细说明。
　　可以写成以下形式：
　　2、彩色图像加密算法设计
　　前一章介绍了Arnold变换和T仿射，本章研究一种基于Arnold变换和T仿射的彩色图像加密算法，通过分别对三幅分层的图像加密后再叠加可以达到对彩色图像加密的效果[8]。
　　2.1 加密算法设计
　　2.1.1 算法描述及流程
　　加密解密算法的设计流程如下，首先读入需要加密的彩色图像，然后将图像分层后再进行Arnold变换（此时可以设定四个附加密钥），接着对每一层图像进行T仿射运算（此时产生主密钥）。解密过程是加密过程的逆运算，解密过程必须要有完整的附加密钥和主密钥才能解密图像。
　　2.1.2 实验验证结果及分析
　　实验应用一幅彩色图像对上述算法进行检验， 在加密过程中加密程序将会自动生成一个随机矩阵R，这个矩阵将会被保存下来作为解密图像的主要密钥（附加密钥为进行Arnold变换时设定的四个整数密钥），只有这些密钥都完全正确，才能完成图像解密。整个加密运算过程重复一次，以提高算法的抗攻击性。对彩色图像进行加密后的结果和原图像对比如图1。
　　Fig.1 The original color image and encryption result:
　　(a) original color image;(b) encrypted image.
　　2.2 算法设计的密钥分析
　　为了加强图像加密的保密性能，我们在设计算法时使用了主密钥和附加密钥。每一次加密图像中用到得R都是随机产生的，所以密钥和图像是一一对应的关系，只要图像的主要密钥R不泄露，那么图像将无法还原。主要密钥R一个随机矩阵R，每一个元素都保留小数点后六位数，具有很好的保密性能。而附加密钥则可以由四个人分别掌管，实现了密钥分管的管理模式。
　　3、算法性能分析
　　3.1 峰值信噪比PSNR
　　峰值信噪比PSNR(Peak Signal to Noise Ratio)，有些文献中也称为峰-峰信噪比的定义如下：给定一幅大小为的数字图像和参考图像，则图像的PSNR为：
　　 (5)
　　为了衡量经过处理后的图像品质，通常会参考PSNR值来认定某个处理程序够不够令人满意。PSNR值越大，就代表失真越少[9]。
　　3.2 Arnold变换在算法中的性能分析
　　假设图像加密过程中，设定的四个附加密钥中的第一个为k1=33，其他密钥不变，就改变k1的数值，从1到96分别还原图像，并且计算峰值信噪比PSNR。通过计算机仿真实验计算，得到如图2所示的实验结果。
　　Fig.2 The PSNR by different values of the parameter k1 in Arnold transform.
　　从图2中的曲线的尖锐程度可以得出加密算法的安全性能非常高，只有当k1为正确密钥27时图像才能完全还原，k1只要差一个单位量，解密图像的峰值信噪比PSNR都会接近于0，也就是说图像的失真非常严重。如图2中，k1=28时解密图像依然模糊不清, PSNR接近于零。通常PNSR值在28分贝以上时，图像质量与原图像差异不太显著，当PNSR值高于40分贝时，肉眼分辨不出差别。在本文的仿真实验中，解密的图像PNSR值大于300分贝，实验的结果充分说明了我们提出的图像加密算法的安全性能和优越的还原性。
　　3.3 T仿射加密性能验证分析
　　是进行加密过程中T仿射中引入的一个角度，在加密过程中，T仿射计算将会产生主密钥，所以有必要对进行量化误差分析。假设图像加密过程中，设定的角度为，其他密钥不变，就改变的数值，从到分别还原图像，并且计算峰值信噪比PSNR。通过计算机仿真实验计算，得到如的实验结果显示为和的解密效果都非常模糊，PSNR都会接近于0,也就是说图像的失真非常严重。只有当与原值相等时图像才能完全还原，实验结果充分说明了图像加密算法的安全性能和优越的还原性。
　　4、结语
　　通过研究基于Arnold变换和T仿射的彩色图像加密算法，设计了整个加密算法，同时指出主密钥和附加密钥的安全性能，并进行仿真实验。基于Arnold变换和T仿射的彩色图像加密算法运算速度快且精度高，对于彩色图像可得到的很好的加密效果。通过引入峰值信噪比PSNR(Peak Signal to Noise Ratio)函数，验证了算法的保密性能。从安全性能上看，算法密钥空间很大且实行密钥分管，不易被解密；同时算法具有较好的鲁棒性。
　　参考文献
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　　[4]Wang X and Zhao D, Image encryption based on anamorphic fractional Fourier transform and three-step phase-shifting interferometry[J],Opt. Commun. 2006, 268(2):240-244.
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　　[7]黄慧青,兀松贤.基于而为混沌系统与Arnold变换的图像加密算法[J].喀什师范学院学报,2010,31(6): 17-19.
　　[8]李红蕾,凌捷,徐少强.关于图像质量评价指标PSNR的标记[J].广东工业大学学报,2004,21(3):101-106.
　　[9] Shamir A. How to Share a Secret[J]. Communication of ACM. 1979,22(11):612-616.
　　作者简介
　　陈杭（1988.03-），男，硕士，主要从事图像处理方面的研究。
　　导师简介
　　杜小平（1966-），性别，博士，教授，主要从事等方面研究。
　　基金项目
　　国家自然科学基金(11104049, 10974039和11047153)资助项目.高等学校博士学科点专项科研基金(新教师)(编号：20102302120009)，哈工大优秀青年教师培养计划项目(编号：HITQNJS.2008.027)和哈工大科研创新基金(编号：HIT.NSRIF.2009038)
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