p级数的两个求和公式:p级数求和公式

第２０卷第４期天津科技大学学报

Ｖ０１．２０Ｎｏ．４２００５年１２月

ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｉａｎｊｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ

Ｄｅｃ．

２００５

Ｐ－级数的两个求和公式睾

刘凤林，杨华

（天津科技大学理学院，天津３００２２２）

摘要：借助函数五（笫）＝争‘（ｏ≤ｚ≤仃）的余弦级数，给出了当Ｐ为偶数时ｐ－级数∑吉及

，

１、ｎ一１

雨

∑Ｌ牛的两个求和公式，从而解决了这一类ｐ－级数的求和问题。

”

ｎ

关键词：ｐ－级数；余弦级数；收敛；求和

中图分类号：０７３１．１

文献标识码：Ａ

文章编号：１６７２－６５１０（２００５）０４－００６５－０３

ＴｗｏＳｕｍｍａｔｉｏｎＦｏｒｍｕｌａｓｏｆｐ－ＳｅｒｉｅｓＬ１ＵＦｅｎｇ－ｌｉｎ．ＹＡＮＧＨｕａ

（Ｃｏｌｌｅｇｅｏｆ

Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｔｉ删ｉｎ

ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ

３００２２２，

Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙｔｈｅａｉｄｏｆｃｏｓｉｎｅｓｅｒｉｅｓｏｆｔｈｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｆｋ（石）＝ｉ７／＂并‘（０≤石≤仃）．Ｔｈｉｓ

ｐａｐｅｒｓｏｆｆｅｒｓ

ｔｗｏ

ｓｕｍｍａｔｉｏｎ

ｆｏ瑚ｕ・ａｓ。ｒ＂ｅｒｉｅｓ

ｎ妻＝ｌ

Ａ矿－ａｎｄ砉Ｌ等＝讹ｅｎ

ｐｉｓ

ａｅｖｅｎ

ｎｕ讪ｅｒ，ｓ山ｅｓ

ｔｈｅ

ｓｕｍｍａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｏｆｔｈｉｓｋｉｎｄｏｆｐ－ｓｅｒｉｅｓａｃｃｏｒｄｉｎｇｌｙ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｐ—ｓｅｒｉｅｓ；ｃｏｓｉｎｅｓｅｒｉｅｓ；ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；ｓｕｍｍａｔｉｏｎ

级数求和是数学中一个重要的课题，历来为数学（ｋ为正整数）的余弦级数，工作者所重视，并为此付出了艰辛的努力。特别是Ｐ．

。

。

１

，１、ｎ一１

以（戈）＝下１ａｏ（Ｉ｜｝）＋∑ａｎ（ｋ）ｃｏｓｎｘ

（２）

级数∑砉及交错ｐ一级数∑Ｌ二三≠一有广泛的应用

ｎ２ｌ

‘ｏ

Ｂ＝ｌ

，ｏ

其中系数为

性，这更加吸引了众多的数学工作者去研究。但到目前为止也只见到了一些零星的求和结论，本文致力于以耻吾ｒ胁）ｃｏｓｎｘｄ石＝＂ｘ％ｏｓｎｘｄ邢）

这方面的研究，给出了当Ｐ为偶数时这两个级数的求以及正弦级数

和公式，供大家参考。

以（筇）＝∑ｂｎ（｜｜｝）ｓｉｎｎｘ

（４）

１

函数＾（Ｘ）＝詈矿（０≤ｘ≤７ｒ）的余弦级数、‘

其中系数为

正弦级数的系数的性质

级数求和是一个比较复杂的问题，ｐ．级数求和更

ｂｏ（．ｊ｝）＝三７７＂ｒ以（茄）ｓｉｎｎｘｄ并＝ｆ戈＾ｓｉｎｎｘｄ石（５）

∞

１

余弦级数与正弦级数的系数有如下性质。

加困难，本文研究Ｐ为偶数时ｐ一级数芝！寺的问题。再ｊ彤

性质１（３）中的ａ。（ｋ）与（５）中的ｂ。（ｋ）有如下为此我们考虑函数

关系式：

五（戈）＝９７ｒｘ‘

（０≤戈≤仃）

（１）

ｏ。（ｋ）＝一旦６。（ｋ一１）（ｎ＝１，２，…）

（６）

・

收稿日期：２００４・１２．３０

女＋作者简介：刘凤林（１９５５一），男，天津市人，副教授

万　

方数据

・６６・

天津科技大学学报第２０卷第４期

以炉掣＋知ｍ１）’

（ｎ＝１，２，…）

（７）

（ｎ＝１，２，…）（１０）

口。（后）＝ｒ名‘把新ｋ＋ｌ

五（茄）的余弦级数为

（１１）

证明

由定积分分部积分法，

“ｌ｜｝）＝ｆ

ｎ

ｘｋｅ０８腻如＝牮卜

菇

将ｏ。（ｋ）及ｏ。（ｋ）（ｎ＝１，２，…）代人（２）式，得

告ｒ菇ｋ－１ＳＳｌ‘ｎ础出＝一告６。（后一１１）

——Ｊ

础ｄ戈＝一——Ｄ。Ｉ尤一

ｎ”

Ｊ

Ｊｏ

％‘＝热＋∑（一１）”南！２丽＋刍卜肿！

ｒ

ｒ

７ｒ７ｒ７ｒ

（７）式同理可证。

性质２（３）中的口。（ｋ）及（５）中的ｂ。（ｋ）有如下递推公式：

ｎ。（五）：【二二掣一掣。。（矗一２），

…．＋Ｌ丛ｋ］ｃ。。Ｍ

且化简，得

Ｖ

ｒ

互

一

。ｎ２（矗一１）！ｎ４（ｋ一３）！。ｎ６（ｋ一５）！

ｊ…‘。”

（１２）

＼‘。，

上式在０≤戈≤７ｒ上成立。用戈＝７ｒ代入上式，并

（８）

互

＋

以吣掣一≮掣¨㈣），

（穆＝１，２，…）（ｎ＝１，２，…）

证明由性质１

互

ｆ≥。ｎ２（矗一１）！ｎ４（局一３）！。ｎ６（ｋ一５）！

（９）

一

…・＋岂Ｐ］＝采备

凡

二ｋ托１＿上，：

㈤，

ｎ。（％）＝一争。（忌一１）＝

因为，当ｐ＞１时ｐ。级数至方收敛，将其和记作

ｏ－（ｐ），现在只考虑Ｐ＝２，４，６，…由级数收敛的性质及

（１３）式，有

凡

Ｊ

量二二掣一掣。。（后一２）．

ｎ

Ｌ

ｎ

一告［盟孚芷＋譬“㈧）】＝

ｏ－（ｐ）２葑盯（ｐ一２）一葑矿（ｐ一４）”．．＋

（

一

（９）式同理可证。

２

镨Ｐ１巾）＋锵２

）！

ｕ、＿７

（Ｐ

＋

１，）

’

ｐ。级数三嘉求和公式

为了求ｐ’级数互砉（ｐ为偶数）的和，考虑函数

（ｏ≤搿≤７ｒ，其中ｋ为偶数）的余弦级数。

（Ｐ＝２，４，６，…）

（１４）

这就是级数至寺的求和递推公式。通过递推可

以得到一些级数的和，如

以（咒）＝％‘

熹≯１吲２，＝杀责＝吾

薹÷＝署帕，一者备＝普

荟嘉２葑盯（４）一葑盯（２）＋

２（６＋１）！一３×７１

决。

。。（知）：Ｌ掣一掣

．［【—二ｊ二Ｌｊ￡墨掣一量墨二二呈立掣口。（．｜｝一４）］：

用性质２进行逐次递推，可以得到其系数（二１２：纽！一（＝！）：！（墨二！）（墨二兰２堑！。

∥

ｎ４

鱼互！一盟

至此，当Ｐ为偶数时，ｐ一级数的求和问题得以解如果用戈＝０代入（１２）式，并且化简，还有

墨（墨二１２（盘＝兰）（墨二盟ｒ（二１

。

王生＿＝二堡攀。。（后一６）］：……：（一１）ｎ后！

ｎ４

ｎ２

，‘

２：（墨二兰２互！一

÷ｒ（二！）：笪！一（二！￡互！＋

≠量。ｎ２（ｋ一１）！

ｎ４（ｋ一３）！

ｏｉ面一ｉ而＋藏丽一。…．＋Ｌ华］

ｒ

仃＾－。仃＾～仃＾一５

（二１

２：：！互！……．

ｏ一

ｎｏ（ｋ一５）！

号Ｐ］＝２群ｋ备１

ｎ‘

（

＋

）！

（１５）

、１—７

万方数据　

２００５年１２月

刘凤林，等：ｐ－级数的两个求和公式

・６７・

看记

主≮乒叫ｐ）∽２，４，６…）

砉Ｌ刍

丢匕＝葑２丁（４）一葑４ｎ

６

一！八叫

３５

！八纠。

ｒ（２）＋

仃６

３１７ｒ６

由级数收敛性质及（１５）式，可得

２（６＋１）！一６×７１

下（ｐ）＝葑丁（ｐ＿２）一玎７／＂下（ｐ一４）＋．．…＋

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惫

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１”…

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！

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万　

方数据

p-级数的两个求和公式

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

刘凤林， 杨华， LIU Feng-lin， YANG Hua天津科技大学理学院,天津,300222

天津科技大学学报

JOURNAL OF TIANJIN UNIVERSITY OF SCIENCE & TECHNOLOGY2005，20(4)0次

参考文献(4条)

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1.期刊论文 童东付 关于一类无穷级数的求和递推公式 -河西学院学报2009,25(5)

借助函数fk(x)=π/2xk(k为自然数)在(-π,π]上的Fourier级数展开式,本文总结出当p为偶数时p级数Σ∞ n=1 1/np和交错级数Σ∞ n=1 (-1)(n-1)/np的两个求和公式,以及当K为奇数时Σ∞ n=0(-1)n/(2n+1)k的求和公式.

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