二年级思维训练500题 [展示思维过程,提高数学解题能力]

　　应试教育转向素质教育已成为教学改革的必然规律，学生的素质发展应以培养能力为主。教师向学生展示思维过程，有利于培养学生的思维能力，提高学生的解题能力。在教学中，应当注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，更要重视知识的发生、发展过程的展示。因此在教学中，必须转变陈旧的“注入式”教学法、倡导“启发式”“发现式”的教学法，要引导学生运用观察、联想、实验、练习等方法独立思考，自己去发现规律，找出结论。在例、习题的处理中，要注意展示在探索解题思路中“碰壁”的过程，并分析其原因，与学生共同探索正确的思路。同时也让学生看到教师做题也不是“百发百中”，也有走“弯路”“碰壁”的时候，这样有助于增强学生的解题信心，提高他们分析问题和解决问题的能力。
　　在解题教学中，教师总是将一种或几种正确的解题方法展示给学生，告诉学生“这道题的正确解法是这样的”。事实上，学生最关心的不是这道题如何解答，而是关心如何找到这种正确解法的，尤其是遇到一些综合性的数学问题就更是如此。这从一方面就要求我们教师在解题教学中能够不失时机地展示解题的思维过程。向学生展示这一过程究竟有何好处呢？可以归纳为以下几点。
　　一、展示解题过程，有利于展示教师思维过程，为学生的模仿创造了条件
　　教师的解题经验一般来说是高于学生的，教师处理问题的方式与方法也要比学生更直接更有效。教师如果将解题方法的搜索过程讲述出来，其实就是将许多只可意会不可言传 的头脑内部活动变为可传递的信息，用语言展现出来，渗透到教学活动之中，这对于学生今后的解题活动具有十分重要的指导意义。在讲解例题之前先强调一点，我们做任何题，不管是简单的还是复杂的，关键的是抓住其基本性质， 尽量把问题转化到我们熟悉的情况下进行解决。下面先看这么一道题, 例如y=log (x2+x-2)的单调递增区间是（ ）。
　　A.（-∞，-2） B.（-∞，-■） C.（1，+∞） D.（-■，∞）
　　分析： 由于以1/2 为底的对数函数是一个单调减函数，所以要求该函数的单调递增区间，也就是要求该二次函数的单调递减区间。下面我们就把问题转化为解决二次函数的问题。对于该二次函数进行配方x2+x-2=（x+■）2 -■，我们可以很容易看出是一个开口向上的抛物线，则其在x小于－1/2时为单调递减，x大于－1/2时为单调递增。那么该题是否到此为止了呢？其实在此对于上面的二次函数是有范围的，也就是说x2+x-2＞0即x1。综上所述，我们应该选择A，我们来看一个一般问题，对于类似于上面这题的复合函数f（x）=log （x2+ax+b）的单调区间是怎样的？该二次函数图像为一开口向上的抛物线。(1) 若该抛物线与x轴有两个交点;(2)若该抛物线与x轴只有一个交点;(3)若该抛物线与x轴没有交点
　　（-∞，■） （-∞，-■） （-∞，-■］
　　教师是如何审题、如何分析、如何类比、如何转化等，这些都是书本上学不到的东西。从本质上说，这些都是一些思考的方法，而且一般来说，这些方法不仅适用于本题，而且适用于其他类型的数学问题。越是常用的，越具有指导意义，强调并突破这种方式方法之后，教师的思维过程就成为一种“思维模型”，可供学生模仿的一种模式，学生对它的印象深刻，这样便于学生解决其他的问题。由此可见，教师通过解题教学展示解题的整个过程，渗透一些解题策略及技能技巧，为学生进一步的模仿与掌握创造了条件。
　　二、展示思维过程，有利于学生对数学思想方法的深刻理解
　　综合性较强的数学问题和解法探索过程渗透和蕴含着许多有价值的数学思想，比如函数与方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、数形结合的思想等。例如log2x+1=2log2（x-a）恰有一个实根，求实数a的取值范围。原式即：log22x=2log2（x-a），分析:这个式子中出现了对数函数，我们首先做的工作就是把它化简，出现了同底对数,但右边前面有 2，所以我们可以怎么样？我想把这个2除到左边去，一方面是为了提醒大家，左边的真数部分2x是大于0的，另一个作用我们下面要用。于是我们得到了log2■=log2（x-a）■=x-a下面就是分析方程■=x-a（x＞0）只有一个实数根的问题如果在这里简单就认为把其平方得到一个二次函数，再令△=0即可的话，似乎总有点心有余悸，好像有问题。下面我介绍一种方法来具体研究。我们可以把这个方程写成两个函数的形式：y=■与y=x-a（x＞0）要求方程有一个实根，也就是说，这两个函数的图像有且仅有一个交点。在下图上我们可以看出在三种情况下，两个图只有一个交点。于是我们可以列出式子：即x2-2（a+1）x+a2=0
　　△=0
　　x=y=0,即a=0
　　x=0时y＜0，即-a＜0最后解得a≥0或a=-2在这里，我们充分利用图形来解决根的问题。这些数学思想是在学生对于数学经验深刻理解的基础上产生和发展起来的，通过解题过程展示这一手段，可以将这些数学思想渗透给学生，这要比直接介绍数学思想好得多。因为这些数学思想的领会不仅对学生数学知识的融会贯通十分有意义，而且也为学生解题能力的提高奠定了基础。
　　三、展示思维过程，有利于学生思维品质的形成与发展
　　典型的数学问题的解法搜索过程，有时渗透着许多十分优良的思维品质。诸如在搜索过程中，要小心地试探，合理地猜测、深刻地预见和敏锐地洞察、及时发现新问题，这对于学生思维品质的训练都是十分有利的。例如，已知：17cosA+13cosB=17，17sinA=13sinB，且A，B都为锐角，求证：■∠A+∠B=90°
　　证明：如图，依题设条件可作△ABC,使AB=AC=17，BC=13， 过C作CD⊥AB于D，则CD=17sinA=13sinB，AD=17cosA，BD=13cosB
　　∴AD+BD=17cosA+13cosB=
　　AB=17
　　∵AB=AC， ∴∠B=∠ACD ∴∠A+2∠B=180°
　　∴■∠A+∠B=90°
　　试探某种方法是否可行，预见这种方法是否会成功，猜测一下这道题的最后结果等等，这其中就对学生思维的广阔性、灵活性、深刻性、批判性是一个挑战。思维品质中的许多成分是只可意会不可言传的东西，教师通过解题过程展示出来，再通过学生的模仿与实践，就有可能促进学生各种良好的思维品质的形成与发展。
　　四、展示思维过程，有利于培养学生的创造性思维
　　教师所讲的例题中，许多都是专家经过严密的数学思维产生的正确解法，教师展示了解题过程，尤其是解法的搜索过程，也就反映出了专家解题的整个过程，而他的解题过程不仅渗透了专家对数学知识的不同理解，同时也反映出专家解决问题的不同解题策略，例如，已知：（1-m）2-4（m-n）（n-1）=0，且m≠n≠1.
　　求证： 2n=m+1
　　分析：本题若将已知条件左边化为一个完全平方式的顺证法并不太难，但在教学上往往用逆证法证明，更有益于拓展学生的思维空间。
　　证明：由于已知式是一个一元二次方程△=b2-4ac=0型的，所以，构造一个关于x的一元二次方程：（n-1）x2+（1-m）x+（m-n）=0。因其系数和n-1+1-m+m-n=0，故方程必有一实根1，又因△=0，故方程的解是x1=x2=1，x1x2=■=1可得2n=m+1。
　　学生通过观察、模仿，一方面可以加强对于数学知识的理解，另一方面还可加强这些难题策略的训练，如果学生能灵活地运用这些知识与策略，这就为学生创造性地解决问题打下了基础，不至于在遇到难题时束手无策，而是会激活有关的数学知识经验，灵活地运用不同的解题策略、采用不同的方式方法、创造性地解决问题。
　　总之，展示数学解题思维过程，对解题教学是十分重要的，它不仅可以加深学生对于已有的数学知识的理解，使学生的数学知识融会贯通，同时也可以为培养学生的综合解题能力奠定一个基础。当然，学生要真正掌握专家某种解决问题的思维品质，还必须通过自己的实际练习，进一步体会专家解题过程的精华所在，这样才有可能真正实现质的飞跃。