[基于最小二乘法的非均匀加权平面阵振动定位算法研究] 加权最小二乘法

　　摘 要:在平面传感器阵列定位算法中，特殊固定形状的阵列定位算法研究较多，任意形状的面阵定位算法研究较少。本文在对任意形状的面阵进行定位研究的基础上，提出了一种非均匀加权的算法。此算法减小了平均加权对定位定向带来的数据处理的误差。将该算法与和加权平均算法及牛顿迭代法进行比较，仿真结果表明，该算法可有效提高定位定向精度。
　　关键词:最小二乘法；非均匀加权；被动定位；TDOA定位；节点面阵
　　引言
　　振动源定位技术无论是在环境监测、桥梁监控、陵墓监视，还是在军事上战场探测、哨位监视等方面有着较为广泛的应用。近年来,基于时差测量技术和精度的不断提高,基于到达时间差(Time difference of arrival, TDOA)的目标定位技术成为该领域的主流方法,从而产生了各种各样的定位算法。在环境噪声和系统噪声等因素的影响下,在一些场合采用平面阵对二维空间的目标进行定位较为合适,如人迹较少的边境巡逻的被动定位。目前特殊平面阵列的目标定位技术研究较多(如半十字阵、十字阵),而对平面阵列的非均匀加权定位技术研究较少。本文对平面传感器阵列的非均匀加权定位算法进行研究。通过求解一组以各传感器建立起来的双曲线方程(即TDOA方程)解出目标空间坐标的值。鉴于TDOA估计误差较难避免,基于平面阵的定位技术应用的关键则成为提高定位精度的主要方法。本文建立其定位模型后,对定位结果算法进行计算融合,然后通过非均匀加权法对加权因子进行校正，最后将改进后的算法与平均加权算法进行仿真比较。
　　1 平面阵定位模型
　　在二维空间中,设存在N个不共线的传感器组成的平面阵,目标定位要求N≥3时才能求解。在直角坐标系中,Ti为第i个传感器 ,L为振动的坐标源，Pi为探测到的位置。传感器间信号到达距离差为TDOA测量时间差与振动传播速度的乘积。若目标到第k个传感器和传感器f之间的距离差为T（k，f）。传感器测到的目标坐标为Pi(Xi,Yi)( 1≦i≦m),由此得到(X,Y)
　　(1-1)
　　2 节点非均匀加权法
　　由于TDOA测量误差和环境噪声等因素对加权最小二乘法影响很大,本文把由N个传感器组成的平面阵列任意分成M个节点,对每个节点的定位结果进行加权平均。从传感器总集合P中任选L(3≤L≤N)个互不相同的传感器构造第k个节点,得到子集
　　(2-1)
　　给定节点中传感器个数LK,每个子集PK存在CNLK种可能。显然, 定位误差的样本方差降低的前提是增加加权平均的子集数目,但是这样会增加不必要的计算量。为方便计算,本文任选择其中M个子集,对各子集 构造双曲线方程,独立地求解出目标位置Pk(k=1,…,M)。各子面阵的解Pk总存在的误差可以进行优化,在误差大小小于TDOA测量误差和传感器阵列的阵形等因素时对各个解进行加权,加权系数的求解如下,令:
　　
　　其中ki的值可由先验实验测定 ，为了改进此算法的性能，利用非均匀加权的方法来校正估算ki的值。为使得到最优的加权系数，采用拉格朗日求极值的方法，构造辅助函数为：
　　由式(2-7)可以看出, 误差小的传感器权值大,其量测数据在加权估计值中的比例高,而误差大的传感器权值小,其量测数据在加权估计值中的比例低。由此，改进了平均值法不分优劣地利用量测数据加权的方法。
　　3 仿真实验
　　为了验证改进算法的性能，对此算法与平均加权法和牛顿迭代法进行了仿真，比较三者的统计特性，这里采用有偏估计的方法，其性能评价准则这里采用均定位和定向误差来表示。
　　仿真中采用5个传感器组成的半径为10 m的圆,建立坐标系如图1所示。
　　设振动速度c=140m/s, TDOA测量值由真实的TDOA值加上零均值,方差为 的白噪声序列得到。这里设 =0.05 m,那么 TDOA测量误差的方差 /c为357μs。
　　五元十字阵可以看作是8个等腰直角三角阵和两个线形振的组合。对于等腰直角三角阵，可知：
　　
　　令“节点子面阵非均匀加权法”为算法1,牛顿迭代法为算法2, 均加权最小二乘法为算法3.
　　目标方位角Φ= ，阵源L距原点的距离为r从20m到100m的范围变化。在应用算法1时,选取M=10个子面阵且每个子面阵有Lk=5(k=1,…,4)个任意不相同的传感器。对近场目标,目标到原点的距离r从20m到100m之间变化时,定位误差曲线如图2所示.
　　在r=50m时，Φ的误差如图3所示
　　从图2图3可以看出,对近场目标,通过算法1的样本定位精度提高了3-10倍.算法1曲线较平稳,在抑制标准方差上性能最佳,抑噪性能最优。
　　以目标到原点的距离大于阵列孔径10倍作为远场目标.对远场目标,设Φ= ,定位误差曲线如图4所示。
　　由图4可以看出,对远场目标,各算法样本偏差差别较大。算法1在样本标准方差上性能明显优于算法2,3,从而r的均方根误差最小。此外,通过仿真也可以看出使用节点平面阵对目标进行定位,随着目标距离增大,目标定位误差也随之增加。
　　由图5可以看出，在远场目标，算法1的目标定向的精度比算法2高出近4倍，比算法3高出近10倍，在r=200时，算法1的定向误差范围是2m，算法2的定向范围误差是4m，算法3的定向误差范围是6m。
　　4结束语
　　本文提出一种改进的节点面阵非均匀加权算法,把任意形状的平面传感器阵列分成多个子面阵,然后通过数据融合技术对各子面阵的定位结果进行融合。仿真结果表明,改进后的算法对近、远场目标定位性能均优于传统的最小二乘法和牛顿迭代法,改善了TDOA测量误差和环境噪声对目标定位精度的影响。
　　参考文献
　　[1]郅熙彪等 正三角震动阵列对地面目标定位研究。探测与控制学报。2006，08（4）：27-29
　　[2]吴艳群 倪 明 胡永明一种平面阵定位的算法改进。数据采集与处理，2009，3：198-202