iir 数字滤波器的原理 IIR数字滤波器设计中两种主要离散化方法的比较
摘要:对IIR数字滤波器设计中的脉冲响应不变法和双线性变换法等两种主要离散化方法的原理、步骤进行了论述;就它们在对滤波器性能的影响方面进行了比较。最后,给出了设计中两种离散化方法的选用准则。
关键词:数字滤波器IIR(无限长脉冲响应) 设计
数字滤波器是用有限精度算法实现信号滤波处理的离散时间系统,利用它可以在形形色色的信号中提取所需要的信号,并抑制不需要的信号(干扰、噪声)。数字滤波器具有稳定性好、精度高、灵活性强、体积小、重量轻等优点,越来越受到人们的重视,并在工程实际中得到了广泛的应用。
IIR滤波器的设计有间接法和直接法。其中前者是借助于模拟滤波器的设计方法进行的,这是由于模拟滤波器的设计方法已经很成熟,不仅有完整的设计公式,还有完善的图表和曲线可供查阅;此外,还有一些典型优良滤波器类型可供使用。间接法需要首先设计过渡模拟滤波器,然后将模拟滤波器的系统函数按照某种方法转换成数字滤波器的系统函数。其中最常用的两种从模拟到数字转换方法是脉冲响应不变法[1,2]和双线性变换法[3,4],本文即就这两种方法在滤波器设计中的适应性等方面进行比较。
脉冲响应不变法的变换原理和变换步骤
脉冲响应不变法是一种时域响应等价的方法。它以变换前后的模拟和数字滤波器脉冲响应等价性为基础,得到在这个意义下与模拟滤波器相应的数字滤波器。因此,用脉冲响应不变法来设计低通数字滤波器的过程是:首先按给定的数字低通滤波器技术指标和,设计一个等价的模拟滤波器,然后把它映射成所期望数字滤波器。具体的设计步骤为:
⑴ 首先按给定的指标,确定采样周期T并根据关系式计算对应的模拟指标。
⑵ 根据指标和,设计原型模拟滤波器。
⑶ 利用部分分式展开式,把写成,并计算其冲激响应。
⑷对此冲击响应进行采样,并乘以T,得到等价的脉冲响应序列
⑸ 对求z变换,得到其数字系统的传递函数。
可以推出,等价数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。
2. 双线性变换法的变换原理和步骤
双线性变换法把整个模拟频率范围压缩至区间,把s平面的左半平面映射到z平面单位圆的内部。避免了频谱混叠即多值映射问题,当生成离散时间传输函数时,保持了连续时间传输函数的幅度响应特性。因此已知数字滤波器的设计指标和用双线性变换法的设计步骤为:
⑴ 选取。
⑵ 根据 计算。
⑶ 根据指标和,设计原型模拟滤波器。
⑷ 根据将映射为。
3两种变换法的计算实例及比较
设计低通数字滤波器和;采样频率。其原型均采用巴特沃斯模拟低通滤波器。分别采用脉冲响应不变法和双线性变换法对其相应的原型滤波器离散化得到两种设计结果(幅频特性如图1所示)。
由计算可以看出,在通频带以及过渡带,用脉冲响应不变法得到的数字低通滤波器(简称脉冲响应不变滤波器)有更为优越的频响特性;在接近500Hz的时候,用双线性变换法得到的数字低通滤波器的响应幅度快速下降;而脉冲响应不变滤波器其响应幅度下降的速度明显放缓,这是由于频谱混叠的影响。这充分说明双线性变换法在频率幅度响应方面的优势;但是,它难以保持模拟滤波器的时间响应特性。所以当设计者主要对滤波器的暂态特性感兴趣时,可以采用脉冲响应不变法。在其余情况下,则使用双线性变换法。
此外,脉冲响应不变法会造成频响混叠,不宜用来设计高通、带阻滤波器(如图2所示),适用于基本上是带限的滤波器,如低通和带通滤波器(如图3所示)。双线性变换法克服了频率响应的混叠失真,但频率变换关系产生了非线性,对具有分段常数幅频特性的选频滤波器来说,频率非线性失真问题可以用预畸变方法解决。并且双线性变换法同脉冲响应不变法相比,它具有计算简单和易于实现的特点。因此,实际工作中广泛采用双线性变换法来设计。
参考文献
[1] Parks, T.W., and C.S. Burrus, Digital Filter Design, John Wiley & Sons, 1987, pp.206-209.
[2] Antoniou, Andreas, Digital Filters, McGraw Hill, Inc, 1993, pp.221-224.
[3] Parks, T.W., and C.S. Burrus. Digital Filter Design. New York: John Wiley & Sons, 1987. Pgs.209-213.
[4] Oppenheim, A.V., and R.W. Schafer. Discrete-Time Signal Processing. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall,1999, pp. 450-454.
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