函数序列一致收敛【函数序列一致收敛的另一判定方法】

　　摘要 本文利用等度连续来判断函数序列一致收敛的另一判定方法。 　　关键词 一致连续；一致收敛；等度连续；函数族 　　中图分类号O17 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2011）34-0091-01
　　1 定义
　　设E是上的一致连续函数，。若对任何一个正数ε，有δ>0，使得对于区间中任何两点，当时，对E中每个函数f都成立（即δ不依赖于E中个别的f），那么称E是等度连续的函数族。
　　特别，区间上定义的函数序列在上等度连续，是指：
　　ε＞0，δ＞0 ，，当时，得：（）
　　 2 引理
　　若函数序列在上等度连续，且（），那么f（x）在上一致连续。
　　证明：因为在上等度连续，于是ε＞0， δ＞0 ，，
　　当时，有：。令，取极限得，即f（x）在上一致连续。
　　 3 定理
　　若函数序列在上等度连续，且（）， 则fn（x）在上一致收敛于f（x）。
　　 证： ，因，所以ε＞0，>0，当时，有，又由于在上等度连续，由引理知f（x）在上连续，故对此ε＞0，，当时，有，，于是有：
　　这里组成[a，b]的一个开覆盖，根据有限覆盖定理[3]，存在有限子覆盖，记为。取，当n>N时，，使得，从而有，因此fn（x）在上一致收敛于f（x）。
　　eg1：设可微函数序列在区间[a，b]上收敛，即，并且，使，试证在区间[a，b]上一致收敛于f（x）。
　　证：依题意有，取，当时，
　　∴在区间[a，b]上等度连续。
　　又∵在区间[a，b]上收敛，即，由上面定理可得出
　　在区间[a，b] 上是一致收敛的。
　　eg2：设函数序列在区间[a，b]上满足条件 （，），K>0，且在[a，b]上存在，试证在区间[a，b]上一致收敛于f（x）。
　　证：依题意有 ，取，当时，
　　∴在区间[a，b]上等度连续。
　　又∵在区间[a，b]上收敛，即，由上面定理可得出
　　在区间[a，b] 上是一致收敛。
　　
　　参考文献
　　[1]郑维行，王声望.实变函数论与泛函分析概要[M].高等教育出版社，1991.
　　[2]华东师范大学数学系编.数学分析（下册）[M].高等教育出版社，1998.
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