[解三角形应用举例]教案] 解三角形应用举例教案

教学过程

一、复习预习

教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容

二、知识讲解

考点1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型

测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．

考点2 实际应用中的常用术语

三、例题精析

【例题1】

【题干】隔河看两目标A与Bkm的C、D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离．

【解析】如图，在△ACD中，∠ACD＝120°， ∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝3.

在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，由正弦定理知BC＝＝

6＋2

. 2

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(2＋6＋2－cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，所以AB5 km

，

2

所以A，B两目标之间的距离为km.

3 sin 75°sin 60°

6＋22

2

【题干】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．

【解析】如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40，此时∠DBF＝45°.过点B作BE⊥CD于E，则∠AEB＝30°.

在△BCD中，CD＝40， ∠BCD＝30°，∠DBC＝135°， 由正弦定理，得

CDBD

，

sin∠DBCsin∠BCD

40sin 30°

则BD＝＝20sin 135°∠BDE＝180°－135°－30°＝15°. 在Rt△BED中，

6－2BE＝DB sin 15°＝2010(－1)．

4在Rt△ABE中，∠AEB＝30°， 10则AB＝BEtan 30°＝(33)．

310

故塔高为

(33) m.

3

【题干】如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．

【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝103 t海里，BD＝10 t海里，

在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝－1)2＋22－－1)·2·cos 120°＝6.解得BC＝6.

BCACAC·sin A2·sin 120°2又∵∴sin∠ABC＝＝，

sin Asin∠ABCBC2∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理，得10t·sin 120°1＝. 23t

∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t6.∴t＝

6

≈15

分钟． 10

BD·sin∠CBDBDCD

＝，∴sin∠BCD＝＝

CDsin ∠BCDsin∠CBD

∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．

【题干】(2013·广州模拟)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内的海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A的北偏东45°且与点A相距海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A的北偏东(45°＋θ)(其中sin θ26

，0°＜θ＜90°)且与点A相距10海里的位置C. 26

(1)求该船的行驶速度(单位：海里/时)；

(2)若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．

【解析】如图所示，AB＝，AC＝，∠BAC＝θ，sin θ＝所以cos θBC＝

1－26226

＝.

2626

因为0＜θ＜90°，26

AB2＋AC2－2AB·AC·cos θ＝105

所以船的行驶速度为

海里/时．

23

(2)法一：如图所示

以A为原点建立平面直角坐标系，设点B，C的坐标分别是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC与x轴的交点为D.

由题设，得x1＝y1AB＝40， 2

x2＝ACcos∠CAD＝10cos(45°－θ)＝30， y2＝ACsin∠CAD＝10 sin(45°－θ)＝20. 20

所以过点B，C的直线l的斜率k＝＝2，

10直线l的方程为y＝2x－40.

|0＋55－40|

又点E(0，－55)到直线l的距离d＝3＜7，

1＋4所以船会进入警戒水域．

法二：如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＋BC2－AC2402×2＋102×5－102×1310

cos∠ABC＝＝＝.

2AB·BC102×40105

所以sin∠ABC＝

1－cos2∠ABC＝

910

1－. 1010

401010AB·sin∠ABC

在△ABQ中，由正弦定理，得AQ＝40.

2210－∠ABC

210

由于AE＝55＞40＝AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE＝AE－AQ＝15. 过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．

5

在Rt△QPE中，PE＝QE·sin∠PQE＝QE·sin∠AQC＝QE·sin(45°－∠ABC)＝＝35＜7.所以船会进入警戒水域．

四、课堂运用

【基础】

1．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为( )

3 B．23 3或23 D．3

解析：选C 如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得3)2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得 x2－3x＋6＝0，解得x＝或2

2．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )

A．50 m

C．120 m

解析：选A 设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.

B．100 m D．150 m

3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高

度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为

30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拨高度

为(精确到0.1 km)( )

A．11.4

C．6.5

150 000解析：选B ∵AB＝1 000× m， 603

AB50 000∴BC＝sin 30°＝m. sin 45°3250 000∴航线离山顶h＝ 3∴山高为18－11.4＝6.6 km.

B．6.6 D．5.6

【巩固】

4.2012年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区

的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生

命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时

它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.

解析：∵由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，

∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，

∴x10106∴x＝ m. sin 45°sin 60°3

10答案：m 3

5．(2013·铜川模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是________海里/小时．

解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而

5CD＝CA＝10.在直角三角形ABC中，可得AB＝5，10海里/小时． 0.5

答案：10

【拔高】

6．如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.

(1)求A，ω

的值和M，P两点间的距离；

(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

T解：(1)如图所示，连接MP.依题意，有A＝，＝3. 4

2ππ∵T＝

∴ω＝ω6

π∴y＝3sin. 6当x＝4时，y＝又P(8,0)，∴MP2π3，∴M(4,3)． 342＋32＝5km.

(2)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5，

设∠PMN＝θ，则0°＜θ＜60°.

MPNP∵由正弦定理得＝sin 120°sin θMN －θ

33∴NP＝sin θ，MN＝sin(60°－θ)， 33

103310313＝103θ＋60°故NP＋MN＝sin θ＋sin(60°－θ)＝)． sin θ＋cos θ333232∵0°＜θ＜60°，∴当θ＝30°时，NP＋MN最大，即将∠PMN设计为30°时，才能使折线赛道MNP最长．

7．为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D是着火点，A、B分别是水枪位置，已知AB＝1 m，在A处看到着火点的仰角为60°，∠

ABC＝30°，∠BAC＝105°，求两支水枪的喷射距离至少是多少？

解：在△ABC中，可知∠ACB＝45°， ABAC由正弦定理得 sin∠ACBsin∠ABC

解得AC＝15 m.

又∵∠CAD＝60°，∴AD＝30，CD＝，

sin 105°＝sin(45°＋60°)6＋2. 4

ABBC由正弦定理得 sin∠ACBsin∠BAC

解得BC＝6＋2m. 2

BC2＋CD2＝155＋m，

5＋m. 由勾股定理可得BD＝综上可知，两支水枪的喷射距离至少分别为30 m，15

课程小结

解三角形应用题常有以下两种情形

(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．

(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

课后作业

【基础】

1.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯

B的距离为( )

A．a km

2a km

解析：选B 利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得3a km D．2a km 塔

－1＝3a2，故AB＝a. AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝2a2－2a2×2

2．(2013·永州模拟)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( )

A．22 km B．32 km

C．33 km D．23 km

解析：选B 如图，由条件知AB＝15

606.在△ABS中，∠BAS＝

30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，

所以∠ASB＝45°.由正弦定理知BSAB

sin 30°sin 45°

所以BS＝AB

sin 45°＝32.

3.如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )

A．2.7 m

C．37.3 m

解析：选C ∵在△ACE中，

CECM－10tan 30°＝. AEAE

CM－10∴AE＝m. tan 30°DECM＋10∵在△AED中，tan 45°＝ AEAE

CM＋10CM－10CM＋10∴AE＝m，∴＝ tan 45°tan 30°tan 45°

103＋1∴CM＝＝10(2＋)≈37.3 m. 3－1

B．17.3 m D．373 m

【巩固】

4某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m，则折断点与树干底部的距离是________ m.

解析：如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠

ABO＝45°，

∠AOB＝75°，所以∠OAB＝60°.

由正弦定理知，AO

sin 45°20

sin 60°，解得AO206

3m.

答案：203

5.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．

解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M，

DF＝MF2＋DM2 ＝302＋1702＝10，

DE＝DN2＋EN2

＝502＋1202＝130，

EF＝BE－FC2＋BC2

＝902＋1202＝150.

在△DEF中，由余弦定理得，

cos∠DEF＝DE2＋EF2－DF21302＋1502－102×298

2DE·EF2×130×150＝16

65.

【拔高】

6.如图，甲船以每小时2海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里．问：乙船每小时航行多少海里？

解：如图，连接A，A20

1B2∵由已知A2B2＝101A2＝60＝10，

∴A1A2＝A2B2.

又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，

∴△A1A2B2是等边三角形，

∴A1B2＝A1A2＝由已知，A1B1＝20，

∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，

在△A1B2B1中，由余弦定理得

B1B22＝A1B21＋A1B22－2A1B1·A1A2·cos 45°

＝202＋2－2×20×102

2＝200，

∴B102

1B2＝10因此，乙船的速度为2060＝302海里/时．

7.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sin α的值．

解：(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α. 在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos ∠BAC

＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.

解得BC＝28.

BC所以渔船甲的速度为14海里/小时． 2

(2)法一：在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，

BC＝28，∠BCA＝α，

由正弦定理，得ABBC. sin αsin 120°

3233ABsin 120°即sin α＝＝＝BC2814

法二：在△ABC中，因为AB＝12，AC＝20，BC＝28，∠BCA＝α，

AC2＋BC2－AB2

由余弦定理，得cos α＝， 2AC×BC

202＋282－12213即cos α＝. 2×20×2814

因为α为锐角，所以sin α1－cos2 α＝ 2331－14＝14