定义法求动点轨迹视频 [空间中动点轨迹的求法]
摘要近几年各地高考,模拟题中频繁出现空间中的轨迹问题,很多同学对这类题目不知如何下手,本文主要针对这一问题的三种不同类型提出三种解决办法。 关键词立体几何 轨迹 定义法 解析法
中图分类号:O18文献标识码:A
高考数学考试大纲中有一句这样的话:“在知识网络交汇点设计试题,使学生对数学基础知识的考查达到必要的深度”。而立体几何与解析几何作为几何的两大分支,很容易被出题者作为一个载体,因此近几年各地的高考题,模拟题出现了很多空间中的轨迹问题。这类问题立意新,知识交叉渗透,很多学生无从下手。本文通过介绍三种有效方法,让学生能顺利解决这类题目。
1 利用立体几何中的公理 定理 性质
例1(2006年北京卷)平面的斜线AB交于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交于点C,则动点C的轨迹是()
A.一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆D.双曲线的一支
分析 设l与m是过点A且与AB垂直的任意的两条直线,由于两条相交直线确定一个平面,可设这个平面为,由题意可知AB⊥,因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,所以平面是唯一的,所以。故选A。
点评:本题利用公理2求解,立体几何很多公理 定理 性质对求解轨迹问题是有帮助的。
例2(04年天津文8)如图,定点A和B都在平面内,定点,,C是内异于A和B的动点,且。那么,动点C在平面内的轨迹是()
A. 一条线段,但要去掉两个点
B. 一个圆,但要去掉两个点
C. 一个椭圆,但要去掉两个点例2图
D. 半圆,但要去掉两个点
分析:由三垂线定理的逆定理得
即∠ACB=900. 故C点的轨迹为以AB为直径的圆,但除去A、B两点。
点评:本题主要是利用了三垂线定理的逆定理,使空间问题平面化。
2 利用圆锥曲线的定义
例3(04年北京卷)如右图,在正方体中,是侧面内一动点,若到直线与直线的距离相等,则动点的轨迹所在的曲线是()
A. 直线 B.圆C.双曲线D.抛物线
分析:因为垂直平面,所以P到等于P到的距离,因此问题转化成平面内,求动点P的轨迹,例3图使其到定点的距离等于到定直线BC的距离,故选D。
点评:本题先把问题转化到平面内去,然后利用抛物线的定义。
例4 如图,P是正四面体S-ABC的面SBC上一点,P到面ABC的距离与到点S的距离相等,则动点P的轨迹是()
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
分析: 过P作PD⊥面ABC,则PD=PS,过D作DE⊥BC,连结PE,则PE⊥BC,且∠PED是二面角S-BC-A的平面角,为定值设为,且PD=PEsin,即PS=PEsin,显然PE>PS,这说明动点P到定点S的距离与它到定直线BC的距离之比例4图为大于0小于1的常数,故选B。
点评:本题利用了转化的数学思想,即空间问题平面化,然后在平面里运用椭圆的第二定义解决。
3 利用解析法求轨迹
例5正方体中,侧面ABB1A1内有一点P满足:点P到直线AB的距离与点P到直线AD1的距离相等,求点P的轨迹。
分析:如图,过P作PQA1A则PQ 平面A1ADD1过Q作QR⊥AD1,连PR,由三垂线定理知PR⊥AD1,即PR为P到直线AD1的距离,因为PR2=PQ2+QR2, 例5图 PM=PR, 在平面ABB1A1内建立如图所示的平面直角坐标系,并设P(x,y)用坐标代入上面两式得x2+y2=y2。所以轨迹是两条直线。
例6四棱锥P-ABCD中,AD⊥面PAB,BC⊥面PAB,底面ABCD为梯形,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠CPB,满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是()
A 圆 B 不完整的圆
C 抛物线D 抛物线的一部分(下转第92页)(上接第86页)
分析:因为AD⊥平面PAB,BC⊥平面PAB,所以∠PAD= ∠PBC=90� 又∠APD=∠CPB,所以,同时AD=4,BC=8,AB=6,利用相似比可得,接下来,在平面PAB内以AB所在直线为x轴,AB中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,则A(-3,0),B(3,0). 例6图
设点P(x,y),则整理得,为一个圆的方程,由于P点不在直线AB上,故轨迹为一个不完整的圆,选B。
点评:例5,例6这两道题用前面两种方法不太好入手,这时我们可以先把问题转化到同一个平面内,通过解析法,即建系描点的办法得出方程,再来判断轨迹。
当然上述三种策略、办法不是孤立的,而是互相联系、互相渗透的,其中有一种重要的数学思想即转化的思想是贯串始终的,空间问题平面化是解决立体几何的根本,这一点我们一定要有足够的认识。
参考文献
[1] 梁栋,时静.中学生数学.立体几何中轨迹问题的解题策略.枞阳教育, 2008(17)https://www.省略 .
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