【苹果树下、咖啡馆里的数学】 苹果树下

　　[编者的话]高考复习到了最后阶段，在紧张学习的同时，同学们不妨对复习方式稍作调整，如与要好的同学一起聊聊數学，相互提问、相互提醒、相互启发，这方面，數学家的学习方式会给我们一些启发，
　　數学家常被描写成“独行侠”——专心于數学问题，飞翔在思想天空，甚至忘记吃饭或不小心撞上大树，但是，思想常碰撞，才能进发火花；思想常交流，才能彼此分享，历史上，數学家们同样是注重合作交流的，让我们瞧一瞧近代數学家在苹果树下、咖啡馆里……热情洋溢的數学生活吧!
　　苹果树下的散步
　　别以为现在要讲牛顿在苹果树下发现地球引力的故事，这里的故事发生在德国大学家希尔伯特身上，
　　1861年，希尔伯特出生于柯尼斯堡，他在少年时期并没有显示出特别的天赋，记忆力不强，理解新东西也不快，但他有一股追求真理的强烈愿望和把问题彻底搞清楚的精神，这使他在中学毕业时表现优异，比他略小的同乡闵可夫斯基是一个腼腆的神童，在当地赫赫有名，他们先后进入柯尼斯堡大学，性格和成长经历的差异并不妨碍他们成为好友，随后，年轻的數学教师赫维茨与他们建立了密切的友谊，
　　每天下午“准5点”，三个年轻人会聚于苹果树下，开始独特的數学散步，“日复一日的散步中，我们全都埋头讨论当前數学的实际问题；相互交换我们对问题新近获得的理解，交流彼此的想法和研究计划，就这样，我们之间结成了终身的友谊，”
　　多么悠然自得、令人向往的学习方式啊!
　　咖啡馆里的切磋
　　咖啡馆通常是朋友小聚、情人约会的场所，數学家们在这样的环境里讨论數学，就增添了浪漫的色彩，
　　波兰是欧洲小国，却在近代产生了不少优秀數学家，形成了著名的波兰數学学派，这个学派非常重视合作交流，他们认为：“对一个研究者来说，合作者几乎是不可少的，孤立的环境多半会使他一事无成，”
　　數学家巴拿赫的周围，吸引了许多年轻的波兰數学家，他们常到“苏格兰咖啡馆”，一边喝着浓热的咖啡，一边热烈地展开讨论，在这种轻松随意、无拘无束的氛围中，许多奇妙的问题和想法不知不觉就产生了，此外，互相切磋的好处是不仅得到大量问题的结论，而且了解到问题的提出和想法的由来，这对年轻數学家的成长大有益处，
　　乌拉姆在回忆“苏格兰咖啡馆”时，用深情的笔触写道：“巴拿赫一天生活中有相当多的时间消磨在咖啡馆，当有同事或年轻同行围坐时，他可以滔滔不绝地讲上几个钟头……咖啡桌跟大学研究所和數学会的会场一样，成了爆发數学思想火花的圣地，”
　　咖啡馆的侍者专门准备了笔记本，便于數学家们随时记下讨论中提出的问题，有趣的是，侍者也乐于提供这样的方便，因为不必再去擦洗數学家们忘情地涂抹在桌子上的數学式子了!由于提问者当时或后来都很有名，这些笔记本就成了极其珍贵的历史资料，哦，顺便提一下，后来竟有一位數学家说，數学家就是把“咖啡变成數学定理的机器”!
　　比起近代數学家所处的环境，在当代开放式的社会和学习活动中，我们更需要交流合作!当你遇到疑惑、难以排解，当你思路闭塞、灵感枯竭时，别忘了去找同伴吧，在合作中，你力量倍增；在交流中，你收获多多!