浮点数的加减法 浮点数加减法例题
浮点数加减法的运算步骤
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2012-05-14 17:30 5912人阅读 评论(2) 收藏 举报
1. 浮点加减法的运算步骤
前面已讲到,浮点数经常被写成如下的形式：
X = Mx * 2Ex
其中Mx为该浮点数的尾数,一般为绝对值小于1的规格化的二进制小数,机器中多用原码（或补码）形式表示。Ex为该浮点数的阶码,一般为二进制整数,机器中多用移码（或补码）表示，给出的是一个指数的幂，而该指数的底常用2、8或16,我们这里先以2为底作例子进行讨论。
浮点加减法的运算步骤
假定有两个浮点数
X = Mx * 2Ex ， Y = My * 2Ey
1. 实现X±Y运算,要用如下五步完成:
(1) 对阶操作,即比较两个浮点数的阶码值的大小.求△E=Ex-Ey。当其不等于零时,首先应使两个数取相同的阶码值。其实现方法是,将原来阶码小的数的尾数右移|△E|位,其阶码值加上|△E|,即每右移一次尾数要使阶码加1,则该浮点数的值不变(但精度变差了)。尾数右移时,对原码形式的尾数,符号位不参加移位,尾数高位补0;对补码形式的尾数,符号位要参加右移并使自己保持不变。为减少误差,可用
另外的线路,保留右移过程中丢掉的一到几位的高位值,供以后舍入操作使用。
(2) 实现尾数的加(减)运算,对两个完成对阶后的浮点数执行求和(差)操作。
(3) 规格化处理,若得到的结果不满足规格化规则,就必须把它变成规格化的数,对双符号位的补码尾数来说,就必须是001××…×或
110××…×的形式。这里的规格化处理规则是:
.当结果尾数的两个符号位的值不同时,表明尾数运算结果溢出。此时应使结果尾数右移一位,并使阶码的值加1,这被称为向右规格化,简称右规。
.当尾数的运算结果不溢出,但最高数值位与符号位同值,表明不满足规格化规则,此时应重复地使尾数左移、阶减减1,直到出现在最高数值位上的值与符号位的值不同为止,这是向左规格化的操作,简称左规。
(4) 舍入操作。在执行对阶或右规操作时,会使尾数低位上的一位或多位的数值被移掉,使数值的精度受到影响,可以把移掉的几个高位的值保存起来供舍入使用。舍入的总的原则是要有舍有入,而且尽量使舍和入的机会均等,以防止误差积累。常用的办法有"0"舍"1"入法,即移掉的最高位为1时 则在尾数末位加1;为0时则舍去移掉的数值。该方案的最大误差为2-（n+1）。这样做可能又使尾数溢出,此时就要再做一次右规。另一种方法 "置1"法,即右移时,丢掉移出的原低位上的值,并把结果的最低位置成1。该方案同样有使结果尾数变大或变小两种可能。即舍入前尾数最低位已
为0,使其变1,对正数而言,其值变大,等于最低位入了个1。若尾数最低位已为1,则再对其置1无实际效用,等于舍掉了丢失的尾数低位值。
(5) 判结果的正确性,即检查阶码是否溢出。浮点数的溢出是以其阶码溢出表现出来的。在加减运算真正结束前,要检查是否产生了溢出,若阶码正常，加(减)运算正常结束；若阶码下溢,要置运算结果为浮点形式的机器零,若上溢,则置溢出标志。
图2.21 规格化浮点加减运算流程
看一个浮点数加法运算的实例。
假定 X=2010 * 0.11011011, Y=2100 * (-0.10101100)则它们的浮点表示分别为
阶符 阶码 数符 尾数
[X]浮 = 00 010 00 11011011
[Y]浮 = 00 100 11 01010100
补码 补码
执行X+Y的过程如下:
（1）求阶差和对阶
△ E = Ex-Ey = [Ex]浮 +[-Ey]浮 = 00 010 + 11 100 = 11 110即△E 为-2,
X的阶码小,应使Mx右移两位,Ex加2, 得[X]浮 = 00 100 00 00110110 11
（2）尾数求和
00 00110110
+ 11 01010100
11 10001010
（3）规格化处理
结果的符号位与最高数值位同值,应执行左规处理,结果为11 00010101 10, 阶码为00 011。
（4）舍入处理
采用0舍1入法处理,则有
11 00010101
+ 1
11 00010110
（5）判溢出
阶码符号位为00.不溢出,故得最终结果为 X+Y = 2011 *(-0.11101010)
2.7.1 浮点加法和减法 (2013-12-03 13:14:27)转载▼
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设有两个浮点数x和y，它们分别为：
ｘ＝2Eｘ·Mｘ
ｙ＝2Eｙ·Mｙ
两浮点数进行加法和减法的运算规则是
ｘ±ｙ＝(Mｘ2Eｘ－Eｙ±Mｙ)2Eｙ， Eｘ
其中，Ex、Ey分别为x、y的阶码，Sx、Sy分别为的尾数。完成浮点加减运算的操作过程大体分为四步：
1. 0 操作数的检查；
2. 比较阶码大小并完成对阶；
3. 尾数进行加或减运算；
4. 结果规格化并进行舍入处理。
1．0操作数检查
浮点加减运算过程比定点运算过程复杂。如果判知两个操作数x或y中有一个数为0，即可得知运算结果而没有必要再进行后续的一系列操作，以节省时间。0操作数检查步骤则用来完成这一功能。
2．对阶
两浮点数进行加减，首先要看两数的阶码是否相同，即小数点位置是否对齐。若两数阶码相同，表示小数点是对齐的，就可以进行尾数的加减运算。反之，若两数阶码不同，表示小数点位置没有对齐，此时必须使两数的阶码相同，这个过程叫做对
阶。
要对阶，首先应求出两数阶码Ex和Ey之差，即:
△x = Ex - Ey
若Ex = Ey，表示两数阶码相等，不需改变两数的阶码；若Ex ≠ Ey，要通过尾数的移位以改变Ex或Ey，使之相等。由于浮点表示的数多是规格化的，尾数左移会引起最高有产位的丢失，造成很大误差；而尾数右移虽引起最低有效位的丢失，但造成的误差较小，因此，对阶操作规定使尾数右移，尾数右移后使阶码作相应增加，其数值保持不变。很显然，一个增加后的阶码与另一个相等，所增加的阶码一定是小阶。因此在对阶时，总是使小阶向大阶看齐，即小阶的尾数向右移位(相当于小数点左移)，每右移一位，其阶码加1，直到两数的阶码相等为止，右移的位数等于阶差△E。
3．尾数求和
对阶完毕后就可对尾数求和。不论是加法运算还是减法运算，都按加法进行操作，其方法与定点加减运算完全一样。
4．规格化
当尾数用二进制表示时，浮点规格化的定义是尾数M应满足：
1/2 ≤ |M|
显然对于正数而言，有M = 00.1φφ…φ；对于负数，其补码形式为11.0φφ…φ（即-0.0*******，左归）。这样，当进行补码浮点加减运算时，只要对运算结果的符号位和小数点后的第一位进行比较：如果它们不等，即为00.1φφ…φ或11.1φφ…φ，就是规格化的数；如果它们相等，即为00.0φφ…φ或11.0φφ…φ，就不是规格化的数，在这种情况下需要尾数左移以实现规格化的过程，叫做向左规格化。规则是：尾数左移1位，阶码减1。
在浮点加减运算时，尾数求和的结果也可以得到01.φφ…φ或10.φφ…φ，即两符号位不相等，在这定点加减运算中称为溢出，是不允许的。但在浮点运算中，它表明尾数求和结果的绝对值大于1，向左破坏了规格化。此时将尾数运算结果右移以实现规格化表示，称为向右规格化，即尾数右移1位，阶码加1。
5．舍入
在对阶或向右规格化时，尾数要向右移位，这样，被右移的尾数的低位部分会被丢掉，从而造成一定误差，因此要进行舍入处理。
常用的舍入方法有两种：一种是“0舍1入”法，即如果右移时被丢掉数位的最高位为0则舍去，为1则将尾数的末位加“1”，另一种是“恒置1”，即只要数位被移掉，就在尾数的末位恒置“1”。
6．溢出处理
浮点数的溢出是以其阶码溢出表现出来的。在加、减运算过程中要检查是否产生了溢出：若阶码正常，加(减)运算正常结束；若阶码溢出，则要进行相应的处理：若阶码下溢，要置运算结果为浮点形式的机器0；若阶码上溢，则置溢出标志。
【例 】 设ｘ＝2010×0.11011011,ｙ＝2100×(－0.10101100),求ｘ＋ｙ。
[解:]
为了便于直观理解,假设两数均以补码表示,阶码采用双符号位,尾数采用单符号位,则它们的
浮点表示分别为
[ｘ]浮＝00 010, 0.11011011
[ｙ]浮＝00 100, 1.01010100
求阶差并对阶
△E＝Eｘ－Eｙ＝[Eｘ]补＋[－Eｙ]补＝00 010＋11 100＝11 110
即△E为－2,ｘ的阶码小,应使Mｘ右移两位,Eｘ加2,
[ｘ]浮＝00 100,0.00110110(11)
其中(11)表示Mｘ右移2位后移出的最低两位数。
尾数求和
0. 0 0 1 1 0 1 1 0 (11)
＋ 1. 0 1 0 1 0 1 0 0
1. 1 0 0 0 1 0 1 0 (11)
规格化处理
尾数运算结果的符号位与最高数值位同值,应执行左规处理,结果为1.00010101(10),阶码为 00 011。
舍入处理
采用0舍1入法处理,则有
1. 0 0 0 1 0 1 0 1
＋ 1
────────────────
1. 0 0 0 1 0 1 1 0
判溢出
阶码符号位为00,不溢出,故得最终结果为
ｘ＋ｙ＝2011×(－0.11101010)