利用一题多解培养学生的思维|利用知识难点培养数学思维

　　前苏联学者茹科夫斯基指出：“数学里有诗画那样美的境界。”如果让每一位学生如观赏风景般地来学习数学，当然就其乐无穷，兴趣盎然。但传统的定势思维却在很大程度上禁锢了学生思维空间的拓展。让数学失去了生动性，增添了枯燥性。而注重思维多元化，提倡一题多解就可以克服此弊端，它可以有效地磨砺学生的思维，给他们自由思考的空间，在探索中提高思维的能力。下面笔者就在教学中的体会谈谈”一题多解“在数学教学中的作用。
　　一、一题多解有利于培养学生思维的广阔性
　　思维的广阔性是指思维活动发挥作用的广阔程度。教学中，通过一题多解的练习，可使学生养成以不同的角度观察、思考，用不同的方法和观点去解决同一数学问题的习惯，从而扩充思维的领域，增加思维机遇。学生不满足已有方法而寻找新方法，有利于沟通知识间的联系，培养学生思维的广阔性。
　　例1：求函数y=■的值域。
　　解析：解此题有多种思路。思路一：利用三角函数的有界性的方法。由y=■，得：sinx=■。∵|sinx|≤1，∴|■|≤1，解之得：■≤y≤2。即所求函数的值域为：[■,2]。
　　思路二：分离变量的方法。由y=■，得：y=-1+■∵|sinx|≤1,∴2≤3+sinx≤4,∴■≤■≤3，■≤-1+■≤2。即所求函数的值域为：[■,2]。
　　思路三：利用导函数的方法。先证明函数y=■=-1+■在[-■,■]上是减函数。故：■≤y≤■，即：■≤y≤2。∴所求函数的值域为：[■,2]。
　　点评：三种解题方法中，通过以题带面复习了“函数的定义域、值域、性质”“三角函数的有界性”等知识，加深了知识间的沟通，同时培养了学生解题的转化策略，体现了函数与方程的思想在数学中的作用。通过一题多解，既能促使学生沟通知识点间的联系，又培养了学生的思维能力，从中学到了“转化策略、数形结合、函数与方程”等基本的数学思想。同时也让学生通过对比、小结，得出自己的体会，充分发掘自身的潜能，从而提高自己的解题能力，这不仅引导学生多方法、多视角思考问题和发现问题，形成良好的思维品质，而且使学生感受到成功的喜悦和增强自信心，也极大地激发学生学习数学的积极性和浓厚的兴趣，从而在很大程度上培养了学生思维的广阔性。
　　二、一题多解有利于培养学生思维的灵活性和深刻性
　　思维的灵活性指智力活动的灵活程度。思维灵活性的培养在解题教学中，主要表现为一题多解，即善于根据题设中的具体情况，及时提出新的设想和解题方案，不固执己见，不拘泥于陈旧的方案。而思维的深刻性是指在灵活性的基础上，深刻领会解题的实质，掌握其一般规律。
　　例2：若直线■+■=1通过点M（cosα,sinα）,则（ ）。
　　A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 C.■+■≤1 D.■+■≥1
　　解析：本题考查“直线和圆的位置关系”“三角函数的变换”和“不等式的性质”，重在考查学生思维的灵活性与深刻性，从不同的知识入手将得到不同的解题途径。思路一：静态观点，从三角函数的角度切入。由已知，得■+■=1,即asinα +bcosα=ab,联想三角函数中的辅助角公式。有：
　　■sin(?琢+?茁)=ab?圯|sin(?琢+?茁)|=|■|≤1?圯■+■≥1
　　思路二：动态的观点，从运动变化的角度切入。点M（cosα,sinα）在圆x2+y2=1上，直线过点M意味着直线■+■＝1和圆x2+y2=1有公共点，即■≤1，所以■+■≥1。
　　思路三：从平面向量角度切入。令 m=(■,■)，n=(cos?琢,sin?琢)，则m·n=(■,■)·（cos?琢,sin?琢）=■+■=1，由向量数量积运算性质知m·n≤|m|·|n|，又|m|=■，|n|=1，所以■≥1，即■+■≥1。
　　点评：三种解法分别从四个角度切入，各有优缺点，思路一要求学生要看到点M（cosα,sinα）与三角函数的关系，并且熟练掌握辅助角公式和同角三角函数的基本关系式。思路二同样从点M（cosα,sinα）入手，把静止的点看成单位圆上的动点，从而使问题得到转化，只需考查直线与圆的位置关系即可，运算量较小，同时也突出了知识间的横向联系。思路三是在前两个思路基础上的一个升华，要求学生灵活运用所求的知识，能通过挖掘知识之间的横向联系，把握不等关系的本质，并在此基础上机动地思考问题，深化认识层次。