一元函数的连续与极限-极限的运算法则|函数极限运算法则
第一章
第五节 极限的运算法则
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容 （一）极限的四则运算法则
定理 1.5 若 lim f ( x ) = A , lim g( x ) = B , 则
x → x0 x → x0
(1) lim [ f ( x ) ± g( x )] = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = A ± B
x → x0
x → x0
x → x0
(2) lim [ f ( x ) g ( x )] = lim f ( x ) lim g( x ) = AB
x → x0
x → x0 x → x0
(3) 若 B≠0 , 则有
f ( x) = lim x → x0 g ( x )
x → x0
lim f ( x )
x → x0
A = lim g ( x ) B
注
对于数列极限 及 x→∞时函数极限的四则
运算法则 , 有相应的结论 . 例如, 对于数列极限, 有以下结论: 若 lim xn = A , lim yn = B , 则有
n→ ∞ n→ ∞
(1) lim ( xn ± yn ) = A ± B
n→ ∞
( 2) lim xn yn = AB
n→ ∞
xn A = ( 3) 当 B ≠ 0时, lim B n → ∞ yn
数列是一种 特殊的函数, 故此结论可 由定理1.5直 接得出 .
推论 (极限运算的线性性质) 若 lim f ( x ) = A , lim g( x ) = B , λ 和μ是常数， 则
x → x0 x → x0
x → x0
lim [λ f ( x ) ± μ g ( x )] = λ A ± μ B
= λ lim f ( x ) ± μ lim g ( x )
x → x0 x → x0
以上运算法则对有限个函数成立. 于是有
x → x0
lim [ f ( x )]n = [ lim f ( x )]n
x → x0
—— 幂的极限等于极限的幂
一般地， 设有分式函数
P( x) R( x ) = , Q( x )
其中P ( x ) , Q( x ) 都是多项式 , 若 Q( x0 ) ≠ 0，则
P ( x0 ) = R ( x0 ) 结论： lim R( x ) = Q ( x0 ) x→ x0
注 若 Q ( x0 ) = 0 , 不能直接用商的运算法则 .
结论：
a0 x m + a1 x m 1 + L + am = 0 , 当n > m lim n n 1 + L + bn x → ∞ b0 x + b1 x
a0 , 当n = m b0
∞ , 当n
( a0b0 ≠ 0 , m , n 为非负常数 )
对于 ∞ 型 的极限，可以先给分子、分母同除以分 ∞ 母中自变量的最高次幂（抓大头）, 然后再求极限.
（二） 复合函数的极限运算法则
定理1.6 设 lim ( x ) = a , 当 0
x → x0
u = ( x ) ≠ a , 又 lim f ( u) = A , 则有
u→ a
x → x0
lim f [ ( x ) ] = lim f ( u) = A
u→ a
o
注 1° 定理1.6中的条件： ( x ) ≠ a , x ∈ U ( x 0 , δ 1 )
不可少. 否则，定理1.6 的结论不一定成立.
2° 定理1.6的其他形式
若 lim φ( x ) = ∞ (或 lim φ( x ) = ∞ )， lim f ( u) = A , 且
x → x0 x →∞
u→ ∞
则有
x → x0 ( 或x → ∞ )
lim f [φ( x ) ] = lim f ( u ) = A.
u→ ∞
由定理1.6知， 在求复合函数极限时, 可以作变量代换：
x → x0
lim f [ ( x ) ] ( x ) = u lim f ( u)
u→ a
lim 且代换是双向的,即 u→ a f ( u)
u = ( x)
x → x0
lim f [ ( x ) ].
二、 典型例题
lim ( 2 x 2 + x 5). 例1 求
x→2
x→2
极限运算的 线性性质
解 lim ( 2 x 2 + x 5) = 2 lim ( x 2 ) + lim x lim 5 x→2
x→2 x→2
幂的极限 等于极限 的幂
= 2( lim x )2 + 2 5
x →2
= 2 22 3 = 5
x → x0 a0 x0 n
结论：
lim (a0 x n + a1 x n1 + L + an )
=
+ a1 x0 n1 + L + an
例2
x3 1 lim 2 . x
→2 x 3 x + 5
2 x→2
= lim x 2 lim 3 x + lim 5 解 Q lim ( x 3 x + 5) x → 2 x→2 x→2 = ( lim x )2 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 3 2 + 5 = 3 ≠ 0,
3
商的极限等 于极限的商
23 1 7 x 1 = x → 22 = . = ∴ lim 2 3 3 x → 2 x 3 x + 5 lim ( x 3 x + 5)
x→2
lim ( x 3 1)
x1 . （0 型） 例3 求 lim 2 x→1 x + 2 x 3 0
Q lim ( x 2 + 2 x 3) = 0, 商的极限法则不能直接用 解
x →1
又 lim ( x 1) = 0
称
0 x 1 为 型极限 . lim 2 0 x →1 x + 2 x 3
x →1
由极限定义 x→1，x≠1,
x 1 x 1 lim 2 = lim x →1 x + 2 x 3 x →1 ( x + 3)( x 1)
1 1 = lim = . x →1 x + 3 4
约去零因子法
2 x3 + 3 x2 + 5 例4 求 lim . 3 2 x →∞ 7 x + 4 x 1
∞ ( 型) ∞
分析
x → ∞时,分子,分母都 趋于无穷.
可以先用 x3 同时去除分子和分母, 然后再取极限. 3 5 2+ + 3 3 2 2x + 3x + 5 x x “ 抓大头” = lim lim 解 4 1 x →∞ 7 x 3 + 4 x 2 1 x →∞ 7+ 3 x x 3 5 lim ( 2 + + 3 ) 2 x x = x→∞ = . 4 1 lim (7 + 3 ) 7 x x x →∞
例5 分析
12 1 求 lim 3 . x → 2 x + 2 x + 8
( ∞ ∞型 )
∞ ∞ 型，先通分，再用极限法则.
( x 2 2 x + 4 ) 12 解 原式 = lim 3 x → 2 x +8
( x 4 )( x + 2 ) x 2 2 x 8 = lim = lim 3 x → 2 ( x + 2 )( x 2 2 x + 4 ) x → 2 x +8
( 0 ) 0
1 x4 = . = lim 2 x → 2 x 2 x + 4 2
1 22 n2 例6 求 lim 3 + 3 + L 3 . n→ ∞ n n n
无穷多项 和的极限
1 1 解 原式 = lim 3 n ( n + 1)( 2 n + 1) n→ ∞ n 6
1 1 1 = lim 1 + 2 + n n 6 n→ ∞
1 = . 3
公式求和变 为有限项
例7 求 lim
x→3
x3 . 2 x 9
x → x0
lim f [ ( x ) ]
= lim f ( u) = A ① x3 f ( u) = u 解 令u = ( x) = 2 u→ a x 9
x3 1 x3 = = lim 于是 lim u = lim 2 6 x→3 x → 3 x 9 x → 3 ( x 3)( x + 3)
6 1 从而 原式 = lim f ( u) = lim u = = . 1 6 6 u→ u→ 1 6
6
从左向右 用①式
三、同步练习
1.在自变量的某个极限过程中，若 lim f ( x ) 存在，
lim g ( x ) 不存在，那么
(1) lim[ f ( x ) + g ( x )]是否一定不存在？为什么? (2)若 lim f ( x ) = A ≠ 0, 不存在？
n 1 2 3 2. lim 2 + 2 + 2 + L + 2 = ? n→ ∞ n n n n
lim f ( x ) g ( x ) 是否一定
2 x . 3． 求 lim x→4 x 4
4.
已知
x →1
lim
x 2 + 3 [ A + B( x 1)] = 0, x 1
试求常数 A，B的值 .
n2 + n 5. 求 lim 4 . 2 n→ ∞ n 3n + 1
f ( x) 2 x3 = 2, 6. 设 f ( x ) 是多项式 , 且 lim 2 x →∞ x
f ( x) lim = 3 , 求 f ( x) . x→ 0 x
7. 8.
x2 + 1 ( α x + β )) = 0 试确定常数 α , β . 已知 lim ( x→∞ x + 1
1 1 1 求 lim 1 2 1 2 L 1 2 . n→ ∞ 2 3 n
2 x 求 lim . x→4 3 2 x + 1
9.
四、同步练习解答
1.在自变量的某个极限过程中，若 lim f ( x ) 存在， lim g ( x ) 不存在，那么 (1) lim[ f ( x ) + g ( x )]是否一定不存在？为什么?
答： 一定不存在．
假设 lim[ f ( x ) + g ( x )] 存在，Q lim f ( x ) 存在
由极限运算法则可知：
lim g ( x ) = lim{[ f ( x ) + g ( x )]
f ( x )}
必存在，这与已知矛盾，故假设错误．
1.在自变量的某个极限过程中，若 lim f ( x ) 存在，
lim g ( x )不存在，那么
(2)若 lim f ( x ) = A ≠ 0, 不存在？
lim f ( x ) g ( x ) 是否一定
一定不存在.（可用反证法证明） 答：
2 3 n 1 2. lim 2 + 2 + 2 + L + 2 = ? n→ ∞ n n n n n ( n + 1) 1 1 1 = lim ( 1 + ) = . 解 原式 = lim 2 n → ∞ 2n n 2 n→ ∞ 2
2 x 求 lim . （0 型） 3． x→4 x 4 0
解
2 x lim x→4 x 4 4 x = lim x → 4 ( x 4 )( 2 +
1 = lim x→4 2 + x 1 = . 4
先有理化
x)
再约去 无穷小
４． 已知
x →1
lim
x 2 + 3 [ A + B( x 1)] = 0, x 1
试求常数 A，B的值 .
解
Q lim{ x 2 + 3 [ A + B( x 1)]}
x →1
x 2 + 3 [ A + B( x 1)] = lim ( x 1) = 0 0 = 0 x →1 x 1
而 lim{ x + 3 [ A + B( x 1)]} = 2 ( A + B 0)
2 x →1
∴ 2 ( A + B 0 ) = 0,
从而
A = 2.
于是
x 2 + 3 [ A + B( x 1)] 0 = lim x →1 x 1
x 2 + 3 [ 2 + B( x 1)] x2 + 3 2 = lim = lim ( B) x →1 x 1 x →1 x 1
= lim[
x →1
( x 2 + 3) 4 ( x 1)( x 2 + 3 + 2) x2 1 ( x 1)( x 2 + 3 + 2) x+1
B] B] 1 ∴ B= . 2
= lim[
x →1
1 = lim[ 2 B] = B, x →1 2 x +3+2
n2 + n . 5． 求 lim 4 2 n→ ∞ n 3n + 1
∞ ( 型) ∞
解 n → ∞ 时,分子,分母都 趋于 无穷.
4 同时去除分子和分母,然后再取极限. 可以先用 n
1 1 + 3 2 n2 + n lim 4 = lim n n n→ ∞ n 3n 2 + 1 n→ ∞ 3 1 1 2 + 4 n n
1 1 lim ( 2 + 3 ) n→∞ n n = = 0. 3 1 lim (1 2 + 4 ) n→∞ n n
6.
设 f ( x ) 是多项式 , 且
f ( x) lim = 3 , 求 f ( x) . x→ 0 x
f ( x) 2 x3 lim = 2, 2 x →∞ x
解 根据前一极限式可令 3 2 f ( x) = 2 x + 2 x + a x + b
再利用后一极限式 , 得 f ( x) b b 2 3 = lim = lim ( 2 x + 2 x + a + ) = lim (a + ) x x→ 0 x x→ 0 x x→ 0 可见 a = 3 , b = 0 故
f ( x) = 2 x + 2 x + 3 x
3 2
7.
x2 + 1 ( α x + β )) = 0 已知 lim ( x→∞ x + 1
( ∞ ∞型 )
试确定常数 α , β .
解
∵
x→∞
x2 + 1 f (x) = ( αx β ) x+1 (1 α ) x 2 (α + β ) x + (1 β ) = x +1 lim f ( x ) = 0
∴ 分子的次数必比分母的次数低 故 1 α = 0,α + β = 0 即 α = 1,
β = 1.
1 1 1 8. 求 lim 1 2 1 2 L 1 2 . n→ ∞ 3 2 n 无穷多个 因子的积 解 原式 = 的极限 1 1 1 1 1 1 lim 1 1 + 1 1 + L 1 1 + n→ ∞ 3 3 2 2 n n 1 1 1 = lim (1 + ) = . n→ ∞ 2 2 n
变为有限项 再求极限
9.
解
2 x 0 求 lim .（ 型） 分子分母同乘 x→4 3 2 x + 1 0 2 x lim x→4 3 2 x + 1
以各自的有理 化因式
( 2 x )( 2 + x )( 3 + 2 x + 1 ) = lim x → 4 ( 3 2 x + 1 )( 3 + 2 x + 1 )( 2 + x )
3 + 2x + 1 ( 4 x )( 3 + 2 x + 1 ) 1 = lim = lim 2 x→4 2 + x x → 4 ( 8 2 x )( 2 + x )
3 = . 4
约去无穷小