【一排列组合】排列组合问题

一：楼主应该是问：解题过程中如何判断是组合还是排列.

我的经验是, 先根据题目构造出一个解, 然后改变这个解中元素的顺序, 如果此时得出满足题目的另一个不同解, 说明该题是排列问题；否则, 得出的解还是原先的那个解, 说明该题是组合问题.

二. 这是数学题吧„„„„

一对同类的东西分组一般是无序的

要是用不同类的东西配对分组一般是有序的„ 区别有序还是无序主要看元素之间是否有区别 若没有区别，则为无序

只要有能影响题目的区别，就是有序

例：一群男人和女人排成一队，如果题目没有告诉你每个人的名字或编号，则认为人只有两种：男人和女人，因此男人和男人之间的排列就是无序的；如果题目告诉了你每个人的名字或编号，则男1站在男2的左边还是右边就有区别了，此时男人之间的排列就是有序了 明白了么

三. 排列与组合的共同点是从n 个不同的元素中, 任取m （m ≤n ）个元素, 而不同点是排列是按照一定的顺序排成一列, 组合是无论怎样的顺序并成一组, 因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志．下面通过实例来体会排列与组合的区别． 【例题】 判断下列问题是排列问题还是组合问题? 并计算出种数．

（1） 高二年级学生会有11人：①每两人互通一封信, 共通了多少封信? ②每两人互握了一次手, 共握了多少次手?

（2） 高二数学课外活动小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长, 共有多少种不同的选法? ②从中选2名参加省数学竞赛, 有多少种不同的选法?

（3） 有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数：①从中任取两个数求它们的商, 可以有多少个不同的商? ②从中任取两个求它的积, 可以得到多少个不同的积?

（4） 有8盆花：①从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆, 有多少种不同的选法? ②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法?

【思考与分析】 （1） ①由于每两人互通一封信, 甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信, 所以与顺序有关, 是排列；②由于每两人互握一次手, 甲与乙握手、乙与甲握手是同一次握手, 与顺序无关, 所以是组合问题．其他类似分析． （1） ①是排列问题, 共通了=110（封）；②是组合问题, 共需握手==55（次）

（2） ①是排列问题, 共有=10×9=90（种）不同的选法；②是组合问题, 共=45（种）不同的选法；

（3） ①是排列问题, 共有=8×7=56（个）不同的商；②是组合问题, 共有=28（个）不同的积；

（4） ①是排列问题, 共有=56（种）不同的选法；②是组合问题, 共有=28（种）不同的选法． 【反思】 区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”

四... 排列组合是组合学最基本的概念. 所谓排列, 就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序. 组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素, 不考虑排序. 排列有序, 组合无序.

用0,1,2,3,4. 五个数组成没有重复的三位数为偶数则这个三位数的个位只能为0,2,4三中可能. 当个位为0时 百位4种可能, 十位数则只有3种可能 当个位为2时 百位只有3种可能, 十位数则只有3种可能 当个位为4时 百位只有3种可能, 十位数则只有3种可能

用0,1,2,3,4. 五个数组成没有重复的三位数, 偶数的个数为30个（4*3+3*3+3*3=30 ）.

*五. 取且排, 与元素的顺序有关是排列, 取不排, 与元素的顺序无关是组合. 排列与组合的综合题一般是先选后排. 六. 这是排列与组合问题, 怎么区分?

有一种四位数, 由1个奇数数字和3个互不相同的偶数数字组成, 例如2304,5682等, 那这样的四位数一共有多少个?

解答：间接法：算出所有的情况, 再减去千位上是0的情况. (1)首先放奇数, 选出一个数位和一个奇数： c(4,1)*C(5,1)=20

剩下3个位置放偶数, 放法种数为： A(5,3)=60

所有的情况数为： 60*20=1200

(2)千位是0的四位数个数：

首先千位放0. 让后在剩下的数位里面选一个地方放奇数, 再在剩下的地方放偶数. 由于0被选了, 所以剩下的偶数必须从2 4 6 8这四个数里选 C(3,1)*5*A(4,2)=180

(3)综上, 这种四位数的个数为： 1200-180=1020

七. 已知一个箱子里有2个红球和4个白球，从中随机地连取3个球，记事件A=“恰有一

个红球" ，事件B="第三个球是红球" 。不放回时，事件A 、B 的概率；每次抽后放回时，A 、B 的概率。 要详细过程哟！

解答：(1)不放回的时候，总共有C(6,3)种事件

其中一红两百的事件有(C(2,1)*C(4,2))种，∴P(A)=(C(2,1)*C(4,2))/C(6,3)=3/5 事件B 的概率:((C(2,1)*C(5,2)*P(2,2)))/(C(6,3)*P(3,3))=(2*10*2)/(20*6)=1/3

(2)放回的时候，每次取红的概率为2/6=1/3,每次取白的概率为4/6=2/3

恰有一个红球可以是第一次红其余白，第二次红其余白，第三次红其余白∴P(A)=3（1/3)(2/3)(2/3)=4/9

当第三个是红球的时候，前面取什么与第三次无关，所以只要看第三次取红球的概率∴P(B)=1/3

八. 排列组合的问题

就是什么情况下使用排列, 什么情况下使用组合. 排列的使用前提是看是否有顺序, 组合则没有顺序, 可问题是怎么样去确定到底是否存在顺序? 到底什么情况下排列和组合需要一起使用. 给出解答, 谢谢大家.

解答：

选元”（从

类个不同元素中每次取出m 个元素）是排列和组合两个概念的共同属性, 而“排序”

是否将取出的m 个元素按照一定的顺序排成一列）是排列和组合两个概念的不同属性

你根据以上的定义可以知道, 排列和组合都是从一个大范围里面取东西, 区别是排

取出东西要再按顺序排列, 组合取出的东西相互间没有顺序关系 举个简单的例子,

. 从20个人中选3个人, 不同选发是? 这时用的是组合, 因为取出3个人后, 没有

求他们再按什么排列, 也就是对他们的位置没有限定 2, 从20个人里选3个, 而

按身高由高到矮排队, 有多少不同方法? 这时用排列, 因为从20个人里选3个后,

要按高矮排列, 这时题2比题1的不同之处, 按高矮排, 就说明, 题目是对3个人的

序是有限定, 这时用排列 同理, 按高矮排还可以改成按体重, 视力, 分数, 等等等

自我感觉学的时候你知道概念和会做题是两会事, 因为题目中有很多技巧, 光知道

念是没法做的 比如以下 一、合理分类与准确分步法 解含有约束条件的排列组合

题, 应按元素性质进行分类, 按事情发生的连续过程分步, 作到分类标准明确, 分步

次清楚, 不重不漏. 例1 、五个人排成一排, 其中甲不在排头, 乙不在排尾, 不同

排法有 （ ） A ．120种 B ．96种 C ．78种 D ．72种 选C

二、正难反易转化法 对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难问题, 从正

入手情况较多, 不易解决, 这时可从反面入手, 将其转化为一个简单问题来处理. 例

、 马路上有8只路灯, 为节约用电又不影响正常的照明, 可把其中的三只灯关掉,

不能同时关掉相邻的两只或三只, 也不能关掉两端的灯, 那么满足条件的关灯方法共

多少种? 分析：关掉第1只灯的方法有6种, 关第二只, 第三只时需分类讨论, 十分

杂. 若从反面入手考虑, 每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的

列, 于是问题转化为“在5只亮灯的6个空中插入3只暗灯”的问题. 三、混合问题

先选后排” 对于排列组合混合问题, 可先选出元素, 再排列. 例 3、 4个不同

球放入编号为1, 2, 3, 4的四个盒中, 恰有一空盒的方法有多少种? 因有一空盒

故必有一盒子放两球, 他们是先选的, 答案144 四、特殊元素“优先安排法”

于带有特殊元素的排列组合问题, 一般应先考虑特殊元素, 再考虑其它元素. 例4、

用0, 2, 3, 4, 5, 五个数字, 组成没有重复数字的三位数, 其中偶数共有（

. A 24个 B . 30个 C . 40个 D . 60个

[分析]由于该三位数为偶数

故末尾数字必为偶数, 又因为0不能排首位, 故0就是其中的“特殊”元素, 应该优

安排, 按0排在末尾和0不排在末尾分两类 选B 五、总体淘汰法 对于含有否定

眼的问题, 可以从总体中把不符合要求的除去, 此时需注意不能多减, 也不能少减.

子4可以按这个方法做 六、局部问题“整体优先法” 对于局部排列问题, 可先将

部看作一个元与其余元素一同排列, 然后在进行局部排列. 例5、7人站成一排照相

要求甲乙两人之间恰好隔三人的站法有多少种? 分析：甲、乙及间隔的3人组成一个

小整体”, 这3人可从其余5人中选, 这是第一步要做的 答案720 七、相邻问

一“元”法 对于某几个元素要求相邻的排列问题, 可将相邻的元素看作一个“元”

其他元素排列, 然后在对“元”内部元素排列. 例6、 7人站成一排照相, 甲、乙

丙三人相邻, 有多少种不同排法? 分析：把甲、乙、丙三人看作一个“元”, 与其余

人共5个元作全排列答案7200种 八、不相邻问题“插空法” 对于某几个元素

相邻的排列问题, 可先将其他元素排好, 再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端

隙中插入即可. 例7、在例6中, 若要求甲、乙、丙不相邻, 则有多少种不同的排法

先将4人排好, 出现5个空, 甲乙两人进5个空中的3个 答案1400 九. 构造

型 “隔板法” 对于较复杂的排列问题, 可通过设计另一情景, 构造一个隔板模型

解决问题. 十一、分排问题“直排法” 把几个元素排成前后若干排的排列问题, 若

有其它的特殊要求, 可采取统一排成一排的方法来处理. 例10、7个人坐两排座位

第一排3个人, 第二排坐4个人, 则不同的坐法有多少种? 分析：7个人可以在前两

随意就坐, 再无其它条件, 故两排可看作一排来处理 近几年高考选择还出现一种题

列举, 他用排列组合公式算不了, 可是也算排列组合中的一种, 这时你只能将可能一

一种列出了