[等比数列的性质总结] 等比数列的所有性质
等比数列的性质总结
1. 等比数列的定义：2. 通项公式： a n =a 1q
n -1
a n a n -1
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N
*
)，q 称为公比
=
a 1q
q =A ⋅B
n n
(a 1⋅q ≠0, A ⋅B ≠0)， 首项：a 1；公比：q
推广：a n =a m q n -m ， 从而得q n -m =
3. 等比中项
a n a m
或q =
n （1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A 2=
ab 或A =
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数） （2）数列{a n }是等比数列⇔a n 2=a n -1⋅a n +1
4. 等比数列的前n 项和S n 公式： (1) 当q =1时， S n =na 1
a 1(1-q 1-q =
a 11-q
-
n
(2) 当q ≠1时，S n =
)
=a 1
a 1-a n q 1-q
n
1-q
q =A -A ⋅B =A " B -A " （A , B , A ", B " 为常数）
n n
5. 等比数列的判定方法
（1）用定义：对任意的n, 都有a n +1=qa n 或
a n +1a n
=q (q 为常数，a n ≠0) ⇔{a n }为等比数列
2
（2） 等比中项：a n =a n +1a n -1（a n +1a n -1≠0）⇔{a n }为等比数列
（3） 通项公式：a n =A ⋅B
n
(A ⋅B ≠0)⇔
n
{a n }为等比数列
n
（4） 前n 项和公式：S n =A -A ⋅B 或S n =A " B -A " (A , B , A ", B " 为常数)⇔{a n }为等比数列
6. 等比数列的证明方法 依据定义：若
a n a n -1
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N
*
)或a
n +1
=qa n ⇔{a n }为等比数列
7. 注意
（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、q 、n 、a n 及S n ，其中a 1、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
n -1
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；a n =a 1q
如奇数个数成等比，可设为…，
a q
2
,
a q
； , a , aq , aq …（公比为q ，中间项用a 表示）
2
8. 等比数列的性质 (1) 当q ≠1时
①等比数列通项公式a n =a 1q n -1=
a 1(1-q 1-q
n
a 1q
q =A ⋅B
n n
(A ⋅B
a 11-q
≠0)是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q
②前n 项和S n =
)
=
a 1-a 1q 1-q
n
a 11-q
-q =A -A ⋅B =A " B -A " ，系数和常数项是互为相反
n n n
数的类指数函数，底数为公比q
(2) 对任何m,n ∈N *, 在等比数列{a n }中, 有a n =a m q n -m , 特别的, 当m=1时, 便得到等比数列的通项公式. 因此, 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t∈N *), 则a n ⋅a m =a s ⋅a t . 特别的, 当n+m=2k时, 得a n ⋅a m =a k 2 注：a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3a n -2⋅⋅⋅ (4) 列{a n }, {b n }为等比数列, 则数列{列.
(5) 数列{a n }为等比数列, 每隔k(k∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等比数列 (6) 如果{a n }是各项均为正数的等比数列, 则数列{loga a n }是等差数列 (7) 若{a n }为等比数列, 则数列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ⋅⋅⋅，成等比数列
(8) 若{a n }为等比数列, 则数列a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅⋅a n , a n +1⋅a n +2⋅⋅⋅⋅⋅a 2n , a 2n +1⋅a 2n +2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 3n 成等比数列 (9) ①当q >1时， ②当0
k a n
, {k ⋅a n }, {a n }, {k ⋅a n ⋅b n }{
k
a n b n
(k为非零常数) 均为等比数
{a 1
1
n
1
n
a >0，则{a }为递增数列a >0，则{a }为递减数列
③当q=1时, 该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q
(10)在等比数列{a n }中, 当项数为2n (n∈N *) 时,
S 奇S 偶
=1q
,.
(11)若{a n }是公比为q 的等比数列, 则S n +m =S n +q n ⋅S m
注意：解决等比数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于a 1和q 的方程；
②巧妙运用等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．