[浅谈复变函数积分的计算方法] 复变函数李红第4版答案

　　摘要复变函数中积分是研究解析函数的重要工具。本文对复变函数积分的计算方法进行总结并探讨。 　　关键词复变函数的积分 不定积分 留数定理 积分定理 　　中图分类号:O174文献标识码:A
　　
　　复变函数中的积分不仅是研究解析函数的重要工具,也是它的后继课程积分变换的基础,所以就复变函数的积分计算方法进行总结和探讨是十分必要的。复变函数中积分分闭曲线和非闭曲线两类。本文就这两种积分的计算方法进行总结和探讨。
　　
　　1 函数沿非闭曲线的积分的计算
　　
　　1.1定义法
　　定义 设有向曲线以为起点,为终点,沿有定义。顺着从到的方向在上去分点:,把曲线分成若干个弧段。在从到的每一个弧段上任取一点,作和式,其中。时,的极限存在并等于,则称沿(从到)可积,并称为沿(从到)的积分。记作:
　　例1求,其中为起点在终点在的逐段光滑曲线.
　　解 将代入定义中的得:
　　 =
　　∴
　　1.2参数方程法
　　在简单光滑曲线上连续,欲计算积分的步骤如下:第一步:写出曲线的参数方程 ,(常遇到的是圆弧或直线段) ;第二步:求出,将代入中;第三步:将积分化为关于的定积分=,并计算该定积分。
　　例2计算,其中为起点在0终点在的直线段.
　　解 的参数方程为:
　　在上,,
　　1.3利用不定积分与公式
　　曲线的起点及终点在被积函数的解析性区域内的积分可用此方法。在此方法中高等数学里的换元积分法和分部积分法仍然适用。
　　例3计算.
　　解
　　
　　2 函数沿闭曲线的积分的计算
　　
　　2.1参数方程法
　　做题步骤同前的参数方程法,不同的是这儿的曲线一般为圆。
　　例4计算,,其中积分路径是一条包含点的正向圆周.
　　解 的参数方程为:,
　　2.2积分定理
　　若在封闭曲线内解析且在上连续,则=0。
　　例5计算.
　　解 由积分定理得:
　　
　　2.3挖奇点法
　　若函数在正向简单闭曲线内部除有限个奇点外处处解析,在上解析,则计算可采用挖奇点法,具体步骤如下:在的内部作条简单正向闭曲线(一般为圆)分别包含奇点,使得互不相交,互不包含,与也不相交,则
　　例6计算.
　　解 在内部作两个圆:
　　注:1.此题在做题过程中用到积分
　　==0
　　定理和例4的结论。
　　2.4此例题还可对被积函数变形进行计算。
　　=-
　　=0
　　4积分公式
　　例7计算.
　　解
　　=
　　=
　　=
　　注:可以用积分公式计算的积分必须满足以下条件:(1)积分路径为简单闭曲线;(2)被积函数为分式函数,被积函数在积分路径内部只有一个奇点且该奇点是使分母等于零的点;在积分路径上没有被积函数的奇点;(3)被积函数可变形为,其中在积分路径内部及积分路径上解析。
　　2.5高阶导数公式
　　例8计算.
　　解
　　=
　　
　　注:可以用高阶导数公式计算的积分必须满足以下条件:(1)(2)同前,(3)被积函数可变形为,其中在积分路径内部及积分路径上解析。
　　有时计算积分需要将上述几种计算方法结合起来。
　　例9 计算.
　　解 作:,:
　　∴
　　设函数在区域内除有限个孤立奇点外处处解析。是内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则=.
　　例10计算.
　　当被积函数在积分路径内部只有有个孤立奇点,在积分路径外只有一个孤立奇点为时,则
　　=
　　例11计算.
　　
　　计算复变函数的积分还有其他方法,如幅角原理、级数、转化为曲线积分等。本文不再一一讨论。
　　
　　参考文献
　　[1] 钟玉泉.复变函数论[M].北京:高教出版社,1988.
　　[2]西安交通大学高等数学教研室.工程数学―复变函数[M].北京:高教出版社,1996.
　　[3] 严之山.关于复积分的计算[J].青海师专学报,2004 (5):34～36.
　　[4]王文鹏.复变函数积分的求解策略[J].重庆科技学院学报,2007.9(12):145～147.
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