初中数学教学案例范文 [数学教学案例]

数学教学案例

二次函数性质的应用

一 教学目标

1、 能将简单的实际应用的最值问题转化为数学问题。 2、 掌握用二次函数的性质解决具体问题的一般步骤。

3、 提高学生归纳、建模、转化、数形结合的思想，培养学生的创新精神和实践能力。 4、 让学生体验知识来源于实践又作用于实践的辩证唯物主义观点，体验数学的应用价值。 二 教学重点和难点

重点：如何将生活、生产中的实际问题转化为数学问题，并用二次函数求出最大（小）值。 难点：将实际应用转化为数学问题，用二次函数求最值的建模思想。 三 教学过程的形成过程

成功的教案形成的过程各不相同，但有两点是必不可少的：第一，借鉴他人成功的经验。许多老教师、名教师的教学经验丰富，对教材的理解深刻，教学过程的处理得法，重点的突破和难点的化解都有独到的方法，是年轻教师得以学习的。值得借鉴的可以是一份完整的教案，也可以是教学过程某一个环节的教学，如新课的导入，概念的形成过程，重点的突破，难点的化解，解题步骤的归纳等学生不容易掌握的知识点。第二，执教者自身对教材的理解和独特的教学思路，在认真学习数学课程教学大纲和阅读教科书后和教学参考书后，教师明确了数学课程标准的教学理念，了解教科书中该节内容的编写意图，会形成对这一教学内容新的理解，在教学过程的设计中反映出自身的特色和风格，这样编写的教学过程才会有创新。

“二次函数性质的应用举例”的教案，是一位青年教师根据如下教案进行试教，经过其他教师听课点评后，再结合执教者对教材的深刻理解编写的一份教案，下面我们来看这份教案形成的过程。 （一） 对被借鉴的教案的实施（课堂实录）和点评

1、 复习提问

师 二次函数y=ax2+bx+c有哪些性质？ 生 （略）

评 教师提出的问题范围太大，学生难以简要回答，只能照背教科书中二次函数的性质，花费了很多时间。这样的问题最好分解成小问题，让学生便于回答，又能复习二次函数的性质，才能达到预期的目的。 师 下面大家一起做投影上的练习。 （出示投影）

已知二次函数y=x2-3x+2，填空：

(1)图象的对称轴是，顶点坐标是[直线x=

331, (, -)] 224

(2)开口方向是 。（向上）

（3）当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 增大而增大；当x 时，函数有最 值，是 。（

3331

，>，=，小，-） 2224

（4）当x 时，y>0，若y2或

评 复习练习应起到承上起下的作用，要紧扣本节课的教学要求，一些内容联系不大的问题[如练习（4）]，该省略就省略。 2、新课教学

师 这一节课我们来学习二次函数性质的应用。 （板书：二次函数的性质应用举例） 先看例1（呈现投影） 例1 用长6m 的铝合金条制成如图1的矩形窗框，问宽和高各是多少时，窗户的透光面积最大？最大

面积是多少？

师 大家考虑一下，要求窗户的最大透光面积，应先解决什么问题？ 生 先应写出面积关于窗宽的二次函数解析式。

师 窗户面积关于窗宽的二次函数的解析式怎么求呢？

图1

生 设窗户宽为xm ，则窗户高为

6-3x 6-3x

m ，窗户的透光面积y 与x 的关系是y=x∙。 22

师 这里自变量x 的取值范围是什么？根据什么来定的？

生 根据窗户的宽和高都必须大于零，得 6-3x>0

解得：0＜x0

师 这样求窗户的最大透光面积，就转化为求什么？ 生 求函数y=x∙师 怎样求？ 生 当x=-

6-3x 32

=-x +3x 的最大值。 22

b 3＝1时，y 的最大值是。 2a 2

师 对，应注意x 的取值是否在自变量的取值范围内。（教师板书解题过程）

评 （1）这种问答式的讲课方式，表面上看教师提出的问题学生都对答如流，没有任何障碍，但这样的问答结果，学生有没有真正掌握了问题所在，学生的思维是否被激起？

（2）新课的引入缺乏新意，照搬照抄会让学生成为解题机器。教学中应创设情境，让学生在实践中提出问题，解决问题，增加师生互动，生生互动，激发学生学习的兴趣，让学生主动地学习。

师 通过例1的讲解可知，用二次函数的性质解决生活和生产中的实际问题时，一般步骤是：

⑴ 列出二次函数的解析式，列解析式时要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。 ⑵ 在自变量的取值范围内，运用公式或通过配方法，求出二次函数的最大值或最小值。

评 数学课堂教育应充分发挥学生的主体作用，学生能做的尽量让学生去做，教师在必要的时候加以点拨，像这种归纳最好由学生去完成，教师对不完整之外进行补充，让学生体验一次成功的感觉。

师 接下来看例2。（呈现投影片） 例2 如图2，B 船位于A 船正东26Km 处，现在A 、B 两船同时出发，A 船以每小时12Km 的速度朝正北

方向行驶，B 般以每小时5Km 的速度向正西方向行驶，求A 船何时与B 船相距最近，最近距离是多少?

A ’

A B ’ B

图2

师 要求两船相距最近，应先回答下列问题。（呈现投影片）

⑴设若经过t 时，两船A 、B 分别到A ’、B ’，则AA ’= ,BB ’ 。 （2）AB ’＝

（3）若设两船的距离为s （km ），写出s 关于t 的函数解析式s= （4）要求出两船之间的距离的最小值只要求什么？

（指定一名学生填空：①AA ’＝12t ，BB ’=5t ②AB ’＝26-5t ③A ’B ’＝生 要求最小值只要求二次三项式169t 2-260t+676的最小值。 师 多项式169t 2-260t+676的最小值. 怎么求呢？ 生甲 当t ＝-

t

2

-260t +676)

b 10=时，有最小值576。 2a 13

生乙 用配方法，1695t 2-260t+676=(13t-10)2+576.

当13t-10=0,即t=

10

时，有最小值576，则s 的最小值为24 13

评 这个例题是一个运动点的问题，有条件的情况下最好采用多媒体动态图形，使问题更直观、形象，问题的解答过程可由学生学习小组讨论解决、以调节课堂气氛，调动学生学习积极性，培养学生团队合作能力。 3、课堂练习

师 下面做书本的练习。

1． 如图3，周长20m 的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎样围才

能使园子的面积最大？最大面积是多少？

图3 2． 把60表示成两个正数的和，使这两个数的乘积最大。 3． 已知直角三角形的两直角边的和为2，求斜边的最小值，以及当斜边达到最小值时的两条直角边的长。 （学生练习，教师巡视指点）

评 课堂练习的目的是为了使学生加深对所学知识的理解，形成知识体系，把多个练习题放在一起做有些枯燥，对巩固所学知识的效果不是最好，练习1、2可在例1讲解后就去完成，练习3放在例2讲解后做，这样更能使例题和练习配套，便于学生归纳总结。 师 请同学们考虑书本中“想一想”的问题。 想一想：你能用配方法求函数y=x（两名学生板演） 生甲 y =

2

+

1

x

2

的最小值吗？

x

2

+

1

x

2

1⎫⎛

= x +⎪-2,

x ⎭⎝

2

∴y min =-2.

生乙 y =

x

2

+

1

x

2

1⎫⎛

= x -⎪+2,

x ⎭⎝

2

∴y min =2.

师 两个同学的答案谁正确呢？

（学生沉默）

师 甲的结果是错误的，因为在实数范围内不存在x 使x+

1

=0；乙的结果是正确的，当x=±1时，x

y min =2

4、课堂小结

师 这节课我们学习了用二次函数解决实际问题的一般步骤：（1）分析题意，选取适当的量为自变量，列出二次函数的解析式，确定自变量的取值范围。（2）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大（小）值。

5、布置作业（略）

评 本节课是应用所学知识解决实际问题，应通过学生主动参与、积极动手、观察、讨论、归纳去发现和解决问题，这样有利于开发学生的智力，培养学习兴趣，提高分析问题的能力。新课的引入相当关键，要能吸引学生的注意力，但本节课的引入缺乏新意，难激起学生的求知欲；对例题的解决了应引导学生去探求，教师不宜讲解过于细致，释疑要留给学生。 （二）修改后成功的教案 1、 创设情境，提出问题

板书课题：二次函数性质的应用。

（1） 实验：学生用课前准备好的长6cm 的细铝线围成一个矩形。①量一量，你的矩形的长和宽是

多少？②算一算，你的矩形的面积有多大？③比一比，谁围的矩形的面积最大？

（2） 思考和猜想：①围成的矩形的长和宽有什么关系？②矩形面积最大时长和宽有什么关系呢？

（学生自由发言）

（①长和宽的和是定长3cm ；②当长和宽相等时，面积最大）

【提示】营造一个学生熟悉的但不被注意的实际情境，让学生体验“数学来自生活”、“数学就在你身边”；通过动手操作，培养学生的学习兴趣；提出问题，让学生猜想、探索，激发学生的求知欲。

（3） 怎样用数学方法验证“长和宽相等时矩形面积最大”呢？

① 通过多媒体动态图形观察，矩形的和变化时，宽也在变化，若长为xcm, 则宽为多少？

[(3-x)cm]

② 矩形的面积怎样计算？面积y （cm 2）与长x （cm ）有什么关系？[y=x(3-x)] ③ x 的取值范围由什么确定？怎样求？ ④ 怎样求面积y(cm2) 的最大值呢？

【提示】培养学生用运动变化的观点去分析问题，发现问题中蕴藏着一些相互联系的变量，找出最有代表性的变量设元，从而将实际问题转化为函数问题，使学生巩固数学建模思想。 2、 例题分析，比较归纳

（1） 例1 用长6m 的铝合金条围成如图4形状的矩形窗框，问宽和高各是多少时，窗户的透光

面积最大？最大面积是多少？

图4

学生根据实验中的矩形进行分析，探索解决问题的方法。教师结合下列问题进行启发：

① 本题中有哪些变化的量？哪个量与其他变量的关系都比较明显？（窗框的宽，窗框的高，窗框的

面积）

② 设这一有代表性的量为x ，请用x 表示面积y 。 （学生口述，教师板书解题过程）

【提示】与实际情形比较，培养学生类比能力，渗透比较思想，培养学生发散思维，通过例题讲解，让学生体会数学应用意识。

（2） 尝试反馈：①如图5，用长20m 的篱笆围成一个一面靠墙的长方形的园子，园子前面空出一

段长1m 的空隙为进出小门（小门不用篱笆），怎样围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？

图5

③ 把60表示成两个正数的和，使这两个正数的积最大。

（3） 归纳用二次函数解实际问题的步骤:（学生回答，教师补充并板书）

① 选择适当的变量为自变量； ② 列二次函数的解析式； ③ 确定自变量的取值范围；

④ 在自变量取值范围内，求二次函数的最大（小）值，（用公式法或配方法）

3、 深入探究，问题迁移

（1） 出示实验中矩形的多媒体动态图形，如图6，在实验围成的矩形中，①对角线L 与边长（x ）

有何关系？

学生观察发现：当矩形的边长AB 变化时，它的对角线L 的长也随着变化。 D C 3-X

A B

②能否写出L 关于x 的函数关系？ （L ＝

x

2

+(3-x )=2x 2-6x +90 0

2

③能否求出对角线L 的最小值？

当被开方式2x 2-6x+9取最小值时，对角线L 也有最小值。问题转化为求2x 2-6x+9取最小值。 （2） 例题分析。

例2 （题目在原教案例2）

阅读题目，观察多媒体动态图形（呈现多媒体动态图形），分小组讨论，讨论后归纳出解题思路： （1）t 小时后两船分别航行的路程AA ’＝ BB ’＝ 。（12t, 5t） （2）在Rt △AB ’A ’中，AB ’＝ 。（26-5t ） （3）在Rt △AB ’A ’中，s=A’B ’= 。（69t 2-260t +676

,t>0）

（4）要求s 的最小值，只要求出169t 2-260t+676的最小值再开方就行了。 让学生阅读课本，理解教材中的解题过程。

【提示】安排课堂讨论，发掘学生思维，培养团队合作能力；通过看书，培养学生自学能力，用不同的方式进行教学活动，使课堂气氛更加活跃。 4、 归纳小结

（1） 这节课学习了用什么知识解决哪一类问题？ （2） 解决这类问题的步骤是什么？应注意什么问题？

【提示】让学生归纳教学内容，使学生对知识加深理解，形成体系，为今后继续学习打下扎实的基础。 5、 迁移拓展

（1） 你能用配方法求出函数y=x2+

1

x

2

的最小值吗？

（2） 某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高

销售价格。经试验发现，若按每件25元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件30元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y （件）是价格x （元/件）的一次函数。 ① 试求y 与x 之间的关系式。

② 在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得

最大利润？每月的最大利润是多少？（总利润＝总收入－总成本）

四 教学反思

（一）精心设计实验，创设问题情境

在自然科学教学中，教师指导学生动手操作实验是非常正常的事，而数学课堂似乎与实验无缘，其实，一切知识来源于现实世界，数学也是如此。新的数学理念就是要求学生了解数学发生、形成的过程，数学实验可以让深知实验中体验数学，体验从中获取数学知识的乐趣。本节课教学的引入进行了精心的设计，让学生从实验和多媒体的动态图形中得到感性的认识，又以实验为手段对有关知识进行进一步探究，从而理性地认识二次函数性质的实质。 （二）步步设计问题，提高思维层次 著名数学教育有波利亚曾说过：“问题是数学的心脏。”足见数学问题在数学教学中的重要地位。本节课的教学设计中，根据教学内容的进展，以矩形为载体，合理地设计了有针对性的问题，有意地将问题“复杂化”，使教学在学生已有的认识水平上展开，让学生的思维深入到解题的过程中去。同时，在解决问题的过程中又能发现新的问题，一环接着一环，学生学习的主动性随之调动，学生的参与性达到高潮。由于问题的设计能围绕学生容易产生困惑地地方展开，引导学生抓住最本质的现象进行思维，理清了思路，为教学目标的完成做好了铺路搭桥的工作。 （三）归纳整理经验，体验成功乐趣

总结不仅可以进一步梳理、巩固所学的知识，有利于学生对所学知识有整体认识，更重要的是提炼出让学生感受教学中的数学方法，使学生的思维水平有所提高，教学时，让学生对所学知识进行整理、归纳能提高学生独立发现问题、解决问题的能力，更容易解题的思路，形成灵活的知识块和相对稳定的解题流程，避免模式化和机械化，同时让学生体验到获得知识、取得成功的乐趣。本节课教学以点拨、补充，也符合数学课程教学大纲对教师作为课堂教育组织者的要求。

（四）迁移拓展问题，培养探索能力

由于受教育时间、内容和教学目的等诸多因素的限制，而使学生失去了主动思考、主动探究的时间和空间，对于学有余力的学生，课堂有限的教学不能满足他们的需要，因此在课堂上对一些内容进行加深拓展，对所学知识进行延伸，开阔学生视野，提高学生的探究能力。本节课最后补充的练习，可以让学生在原有的二次函数性质应用的基础上拓宽知识面。

2006.4.3