正弦定理教案

正弦定理教案_正弦定理教案全

1.1.1正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法； 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用. 教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程： 一、复习引入： 复习引入 1.在任意三角形行中有大边对大角， 小边对小角的边角关系？是否可以把边、 角关系准确量 化？ 2.在 ABC 中，角 A、B、C 的正弦对边分别是 a, b, c ，你能发现它们之间有什么关系吗？ 。

结论★： 二、讲授新课： 讲授新课： 探究一： 探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？ 直角三角形中的正弦定理： sinA =a csinB =a b c b = = sinC=1 即 c= . c sin A sin B sin C探究二： 探究二：能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 当 ABC 是 锐角三角 形时， 设边 AB 上的高是 CD ， 根据三角 函数的定 义，有 a b a c CD = a sin B = b sin A ,则 = . 同理， = （思考如何作高？） ，从而 sin A sin B sin A sin C a b c = = . sin A sin B sin C 探究三： 探究三：你能用其他方法证明吗？ C 1． 证明一： （等积法）在任意斜△ABC 当中 a 1 1 1 S△ABC= ab sin C = ac sin B = bc sin A . O b B 2 2 2 c 1 a b c = = . 两边同除以 abc 即得： A D 2 sin A sin B sin C a a 2．证明二： （外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴ = = CD = 2 R ， sin A sin D b c 同理 =2R， ＝2R. sin B sin C r uuur uuur uuu uuu r r r 3．证明三： （向量法）过 A 作单位向量 j 垂直于 AC ，由 AC + CB = AB 边同乘以单位向量 j 得….. 正弦定理： 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A[理解定理] 理解定理] 1 公式的变形：=bsin B=csin C=2R(1)a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C( 3 ) a : b : c = sin A : sin B : sin C(2) sin A = ( 4)a b c , sin B = , sin C = , 2R 2R 2Ra b a c c b = , = , = sin A sin B sin A sin C sin C sin B12.正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a =b sin A ； sin B a b②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 sin A = sin B 。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形. 3.利用正弦定理解三角形使,经常用到: ① A + B + C = π ② sin( A + B ) = sin C , cos( A + B ) = sin C ③ S abc = 教学例题： 三、 教学例题：1 ab sin C 2例 1 已知在 ABC中，c = 10, A = 45 0 , C = 30 0 , 求a, b和B . 分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结： 已知两角一边 解：Q c = 10, A = 45 0 , C = 30 0 ∴ B = 180 0 ( A + C ) = 105 0 由 a c = 得 sin A sin Cb c 得 = sin B sin Ca=c sin A 10 × sin 45 0 = = 10 2 sin C sin 30 0c sin B 10 × sin 1050 = = 20 sin 750 = 5 6 + 5 2 sin C sin 30 0由b=评述：此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角和两角所夹的边，也是先 利用内角和 180°求出第三角，再利用正弦定理.例 2 ABC中，c = 6 , A = 45 0 , a = 2, 求b和B, C解：Qa c c sin A = ,∴ sin C = = sin A sin C a6 × sin 45 0 3 = 2 20° < C < 180°,∴ C = 60 0 或120 0 ∴当C = 60 0 时，B = 75 0 , b = c sin B 6 sin 75 0 = = 3 + 1， sin C sin 60 0c sin B 6 sin 15 0 ∴当C = 120 时，B = 15 , b = = = 3 1 sin C sin 60 00 0∴ b = 3 + 1, B = 75 0 , C = 60 0 或 b = 3 1, B = 15 0 , C = 120 0 练习：P4 —— 1.2 题 例 3 在 ABC中，b = 3 , B = 60 0 , c = 1, 求a和A, C2解：∵b c c sin B 1 × sin 60 0 1 = ,∴ sin C = = = sin B sin C b 2 3Q b > c, B = 60 0 ,∴ C < B, C为锐角， C = 30 0 , B = 90 0 ∴∴ a = b2 + c2 = 2 【变式】ABC中，a = 2, A = 1350 , b = 3, 求B小结： 四、 小结：五、课后作业1 在△ABC 中，新疆 王新敞奎屯A 2R新疆 王新敞 奎屯a b c = = = k ,则 k 为( 2A ) sin A sin B sin C 1 BR C 4R D R (R 为△ABC 外接圆半径) 2新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯 新疆 王新敞 奎屯2 在 ABC 中，已知角 B = 45 o ，c = 2 2 , b =新疆 王新敞 奎屯4 3 ，则角 A 的值是 3D. 75 或 15o oA. 15oB. 75oC. 105o3、在△ABC 中, 若A = 30°, B = 60°, 则a : b : c =1: 3 : 24、在 ABC 中，若 B = 60 o ，b = 7 6 , a = 14 ，则 A=。5、在△ABC 中， AB = 6, A = 30°, B = 120° ,则三角形 ABC 的面积为 9 3 5、在 ABC 中，已知 a =3 , b = 2 , B = 45 o ，解三角形。六、心得反思31.1.1 正弦定理学案学习目标： 学习目标： ①发现并掌握正弦定理及其证明方法；②会用正弦定理解决三角形中的简单问题。

预习自测 1. 正弦定理的数学表达式 叫做三角形的元素.已知三角形 2. 一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 的几个元素求其他元素的过程叫做 . 3．利用正弦定理可以解决两类三角形的问题 (1) (2) 问题引入： 问题引入： 1、在任意三角形行中有大边对大角，小边对小角的边角关系.是否可以把边、角关系准确量 化？ 2、在 ABC 中，角 A、B、C 的正弦对边分别是 a, b, c ，你能发现它们之间有什么关系吗？ 。

结论★： 合作探究： 二 合作探究： 1、探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？ 探究一： 探究一2、探究二：能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 探究二： 探究二3、探究三：你能用其他方法证明吗？ 探究三： 探究三4、正弦定理的变形：5、正弦定理的应用（能解决哪类问题） ：4三例题讲解例 1 已知在 ABC中，c = 10, A = 45 0 , C = 30 0 , 求a, b和B例 2 ABC中，c = 6 , A = 45 0 , a = 2, 求b和B, C例 3 在 ABC中，b = 3 , B = 60 0 , c = 1, 求a和A, C【变式】 ABC中，a = 2, A = 1350 , b = 3, 求B思考： 思考：通过上面的问题，你对使用正弦定理有什么想法？ 课堂练习： 四 课堂练习：必修 5 课本 P4 T1、2 课后作业 作业： 五 课后作业：a b c = = = k ,则 k 为( ) sin A sin B sin C 1 A 2R BR C 4R D R (R 为△ABC 外接圆半径) 2 2 2 2 2 △ABC 中，sin A = sin B +sin C，则△ABC 为( ) A 直角三角形 B 等腰直角三角形 C 等边三角形 D 等腰三角形1 在△ABC 中，新疆 王新敞奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯新疆 王新敞 奎屯3 在 ABC 中，已知角 B = 45 ，c = 2 2 , b =oo o o4 3 ，则角 A 的值是 3D. 75 或 15 。o oA. 15B. 75C. 1054、在 ABC 中，若 B = 60 o ，b = 7 6 , a = 14 ，则 A= 5、在 ABC 中，已知 a =3 , b = 2 , B = 45 o ，解三角形。六 心得反思51．1．2 解三角形的进一步讨论教学目标 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时， 有两解或一解或无解等情形； 三角 形各种类型的判定方法。

教学重点 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法。

教学过程 Ⅰ.课题导入 创设情景] [创设情景] 思考：在 ABC 中，已知 a = 22cm ， b = 25cm ， A = 1330 ，解三角形。

（由学生阅读课本第 9 页解答过程） 从此题的分析我们发现， 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时， 在某些条 件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

Ⅱ.讲授新课 探索研究] [探索研究] b 探究一．在 ABC 中，已知 a, ,A ，讨论三角形解的情况 探究一．b sin A 可进一步求出 B； a a sin C 则 C = 1800 (A + B ) ，从而 c = sin A 1．当 A 为钝角或直角时，必须 a > b 才能有且只有一解；否则无解。

2．当 A 为锐角时，如果 a ≥ b ，那么只有一解； 3.如果 a < b ，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若 a > b sin A ，则有两解； （2）若 a = b sin A ，则只有一解； （3）若 a < b sin A ，则无解。分析：先由 sin B = （以上解答过程详见课本第 9 10 页） 评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且 b sin A < a < b 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

探究二 你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？6三例题讲解 例 1.根据下列条件，判断解三角形的情况 (1) a＝20，b＝28，A＝120°.无解 (2)a＝28，b＝20，A＝45°；一解 (3)c＝54，b＝39，C＝115°；一解 (4) b＝11，a＝20，B＝30°；两解 [随堂练习 1] （1）在 ABC 中，已知 a = 80 ， b = 100 ， ∠A = 450 ，试判断此三角形的解的情况。

（2）在 ABC 中，若 a = 1 ， c =1 ， ∠C = 400 ，则符合题意的 b 的值有_____个。

2（3）在 ABC 中， a = xcm ， b = 2cm ， ∠B = 450 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值范围。

（答案： （1）有两解； （2）0； （3） 2 < x < 2 2 ） 例 2.在 ABC 中,已知 解：令a b c = = , 判断 ABC 的形状． cos A cos B cos Ca = k ，由正弦定理，得 a = k sin A ，b = k sin B ，c = k sin C ．代入已知条件， sin A sin A sin B sin C 得 ，即 tan A = tan B = tan C ．又 A ， B ， C ∈ (0, π ) ，所以 = = cos A cos B cos C A = B = C ，从而 ABC 为正三角形．说明： （1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边 说明： 相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？ （2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示 出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断． [随堂练习 2] 1.△ABC 中， sin A = sin B + sin C ，则△ABC 为（ A2 2 2）A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 2. 已知 ABC 满足条件 a cos A = b cos B ，判断 ABC 的类型。

答案： ABC 是等腰或直角三角形 Ⅳ.课时小结 （1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； Ⅴ.课后作业 课后作业 1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1 )、 a = 14 , b = 16 , A = 45 ° ( 2 )、 a = 12 , c = 15 , A = 120 ( 3 )、 a = 8 , b = 16 , A = 30 ° ( 4 ) 、 b = 18 , c = 20 , B = 607°°2 在 ABC 中，a=15,b=10,A=60°，则 cosB= A －2 2 36 B 2 2 C － D 3 36 3A+C=2B,则3 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边，若 a=1,b= 3 , sinC= .4 根据条件解三角形： （ 1） c = 10 , A = 45 ° , C = 30 ° , 求边 a , b . ( 2 ) A = 30 ° , B = 120 ° , b = 12 , 求边 a , c . ( 3 ) a = 16 , b = 16 3 , A = 30 ° , 求角 B ， C 和边 c . ( 4 ) b = 13 , a = 26 , B = 30 ° , 解这个三角形。

（ 5） b = 40 , c = 20 , C = 45 ° , 解这个三角形 ( 6 ) c = 1， b =六心得反思3， B = 60 ° ，求 a , A ， C 。81.1.2解三角形的进一步讨论学案【学习目标】1.掌握已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论； 学习目标】 2.三角形各种形状的判断方法； 学习重难点】 1.已知三角形的两边及其中一边的对角时对解个数的讨论； 三角形各种形状 【学习重难点】 的判断方法。

情景问题： 一、情景问题： 我们在解三角形时可以会出现一些我们预想不到的结果，现在请大家思考下面问题： 在 ABC 中，已知 a = 22cm, b = 25cm, A = 133 ，解三角形。o二、探索研究： 探索研究： 探究一． b 探究一．在 ABC 中，已知 a, ,A ，讨论三角形解的情况结论： 结论：探究二 你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗？三例题讲解 例 1.根据下列条件，判断解三角形的情况 (1) a＝20，b＝28，A＝120°.无解 (2)a＝28，b＝20，A＝45°；一解 (3)c＝54，b＝39，C＝115°；一解 (4) b＝11，a＝20，B＝30°；两解[变式练习 1] （1）在 ABC 中，已知 a = 80 ， b = 100 ， ∠A = 450 ，试判断此三角形的解的情况。9（2）在 ABC 中，若 a = 1 ， c =1 ， ∠C = 400 ，则符合题意的 b 的值有_____个。

2（3）在 ABC 中， a = xcm ， b = 2cm ， ∠B = 450 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值范围。例 2.在 ABC 中,已知a b c = = , 判断 ABC 的形状． cos A cos B cos C[变式练习 2] 1.△ABC 中， sin A = sin B + sin C ，则△ABC 为（2 2 2）A.直角三角形 C.等边三角形B.等腰直角三角形 D.等腰三角形2. 已知 ABC 满足条件 a cos A = b cos B ，判断 ABC 的类型。四. 尝试小结五.课后作业 1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1)、 a = 14 , b = 16 , A = 45 ° ( 2 )、 a = 12 , c = 15 , A = 120 ° ( 3 )、 a = 8 , b = 16 , A = 30 ° ( 4 )、 b = 18 , c = 20 , B = 60 °2 在 ABC 中，a=15,b=10,A=60°，则 cosB= A －2 2 36 B 2 2 C － D 3 36 3A+C=2B,则3 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边，若 a=1,b= 3 ,10sinC=.4 根据条件解三角形： （ 1） c = 10 , A = 45 ° , C = 30 ° , 求边 a , b . ( 2 ) A = 30 ° , B = 120 ° , b = 12 , 求边 a , c . ( 3 ) a = 16 , b = 16 3 , A = 30 ° , 求角 B ， C 和边 c . ( 4 ) b = 13 , a = 26 , B = 30 ° , 解这个三角形。

（ 5） b = 40 , c = 20 , C = 45 ° , 解这个三角形 ( 6 ) c = 1， b = 3， B = 60 ° ，求 a , A ， C 。六、心得反思11

正弦定理教案_正弦定理教学设计

《正弦定理》教学设计一、 教材分析《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一节内容，也是 三角形理论中的一个重要内容， 与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切 的联系。在此之前，学生已经学习过了正弦函数和余弦函数，知识储备已足够。

它是后续课程中解三角形的理论依据，也是解决实际生活中许多测量问题的工 具。

因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础，并能在实际 应用中灵活变通。二、教学目标根据上述教材内容分析， 考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水 平，制定如下教学目标： 知识目标：理解并掌握正弦定理的证明，运用正弦定理解三角形。

能力目标：探索正弦定理的证明过程，用归纳法得出结论，并能掌握多种证明方 法。

情感目标：通过推导得出正弦定理，让学生感受数学公式的整洁对称美和数学的 实际应用价值。三、教学重难点教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。

教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角解三角形时判断 解的个数。四、教法分析依据本节课内容的特点，学生的认识规律，本节知识遵循以教师为主导，以 学生为主体的指导思想， 采用与学生共同探索的教学方法，命题教学的发生型模 式，以问题实际为参照对象，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，让学生的思 维由问题开始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化，且 运用例题和习题来强化内容的掌握，突破重难点。即指导学生掌握“观察——猜 想——证明——应用”这一思维方法。学生采用自主式、合作式、探讨式的学习 方法，这样能使学生积极参与数学学习活动，培养学生的合作意识和探究精神。五、教学过程1、问题情境 有一个旅游景点，为了吸引更多的游客，想在风景区两座相邻的山之间搭建 一条观光索道。已知一座山 A 到山脚 C 的上面斜距离是 1500 米，在山脚测得两 座山顶之间的夹角是 450， 在另一座山顶 B 测得山脚与 A 山顶之间的夹角是 300。

求需要建多长的索道？ 可将问题数学符号化， 抽象成数学图形。

即已知 AC=1500m， ∠C=450， ∠B=300。

求 AB=？ 此题可运用做辅助线 BC 边上的高来间接求解得出。1提问：有没有根据已提供的数据，直接一步就能解出来的方法？ 思考：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。那我 们能不能得到关于边、角关系准确量化的表示呢？ 2、归纳命题 我们从特殊的三角形直角三角形中来探讨边与角的数量关系：在如图 Rt 三角形 ABC 中，根据正弦函数的定义 Aa ? sin A, cb ? sin B. c所以，bca b ? ? c. sin A sin B又 sin C ? 1, 所以C aBa b c ? ? . sin A sin B sin C在直角三角形中，得出这一关系。那么，对于一般的三角形，以上关系式是否仍 然成立呢？ 3、命题证明 首先考虑锐角三角形，要找到边与角正弦之间的关系，就要找到桥梁，那就是构 造出直角三角形——作高线。CabBDA作 AB 上的高 CD ,根据三角函数的定义，CD ? a sin B,2CD ? b sin A,所以， a sin B ? b sin A.b c ? . sin B sin C a b c ? ? 于是在锐角三角形中， 也成立。

sin A sin B sin C 当 ?ABC 是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗？同理，在 ?ABC 中，Ca bDAcB由学生类比锐角三角形的证明方法，同样可以得出。

于是，从以上的讨论和探究，得出定理： 正弦定理（laws of sines） 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即 a b c ? ? sin A sin B sin C 分析此关系式的形式和结构，一方面便于学生理解和识记，另一方面，让学生去 感受数学的间接美和对称美。

正弦定理描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

我们把三角形的三边和三 个角叫做三角形的元素，已知几个元素求其他元素的过程叫解三角形。

分析正弦定理的应用范围，定理形式可知，如果已知三角形的两角和一边，或者 已知两边和其中一边所对的角，都可以解出这个三角形。

4、命题应用 讲解书本上两个例题： 例1 在△ABC 中，已知 A=32° ，B=81.8° ，a=42.9cm.解三角形。

例2 在△ABC 中，已知 a=20cm，b=28cm，A=40° ，解三角形（角精确到 10， 边长精确到 1cm） 。

例 1 简单，结果为唯一解。

总结：如果已知三角形两角两角所夹的边，以及已知两角和其中一角的对边，都 可利用正弦定理来解三角形。3例 2 较难，使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能。

要求学生熟悉掌握已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形。

接着回到课堂引入未解决的实际问题。

在△ABC 中，已知 AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求 AB=？BAC在已经学习过正弦定理和例 1 例 2 的运用之后，此题就显得非常简单。

接着，课堂练习，让学习自己运用正弦定理解题。

1.在△ABC 中，已知下列条件，解三角形（角度精确到 10，边长精确到 1cm） ： （1）A=45° ，C=30° ，c=10cm （2）A=60° ，B=45° ，c=20cm 2. 在△ABC 中，已知下列条件，解三角形（角度精确到 10，边长精确到 1cm） ： （1）a=20cm，b=11cm，B=30° （2）c=54cm，b=39cm，C=115° 学生板演，老师巡视，及时发现问题，并解答。

5、形成命题域、命题系 开始我们运用分类讨论平面几何三角形的情况证明了正弦定理。

那么正弦定 理的证明还有没有其他的证法？学生可以自主思考，也可以合作探究。

学生思考出来就更好，如果没有思考出来，提示两种方法 （1）几何法，作三角形的外接圆； （2）向量法。

先让学生思考。结束后，重点和学生一起讨论几何法，作外接圆的证法。一 方面是让学生体会到证明方法的多样，进行发散性思维，但更主要的是为了得出 a b c ? ? ? 2 R 。即得正弦定理中这一比值等于外接圆半径的 2 倍的结 sin A sin B sin C 论， 让学生能更深刻地理解到这一定理的， 也方便以后的解题。

而提到的向量法， 则让学生课后自己思考，可以查阅资料证明。六、课堂小结与反思这节课我们学到了什么？ （正弦定理的形式？正弦定理的适应范围？正弦定 理的证明方法？）41、我们从直角、锐角、钝角三类三角形出发，运用分类的方法通过猜想、 a b c ? ? 证明得到了正弦定理 ，它揭示了任意三角形边和其所对的角 sin A sin B sin C 的正弦值的关系。

2、运用正弦定理解决了我们所要解决的实际问题。在解三角形中，若已知 两角和一边， 或者已知两边和其中一边所对的角可以用正弦定理来解决。但在第 二种情况下，运用正弦定理需要考虑多解的情况。

3、正弦定理的证明还可以运用向量法和作三角形的外接圆来证明。其中通 a b c ? ? ? 2 R. 这是对正弦定理的补充。

过作外接圆可以得到 sin A sin B sin C七、作业布置教材第 10 页，习题 1.1，A 组第一题、第二题。5

正弦定理教案_正弦定理教案

教学目标：课题：§2.1.1 正弦定理1．知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本 应用的实践操作。3．情感目标：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教材版本：北师大必修 5教学课时：1教学过程：一、新课引入：如 左 图 ， 在 Rt?ABC 中 ， 有As i nA ? a , sBi n? b ,Cs ?i n 1cc。cbc ? a ,c ? b ,c ? c 经过变形有 sin A sin B sin C ，aCBa ? b ? c ?? sin A sin B sin Ca ? b ? c ?c 所以在 Rt?ABC 中有： sin A sin B sin C思考：在其他任意三角形中是否也有a ? b? c s i An s Bi n Cs等i n式 成 立 呢 ， 这 个 时 候观察下图，无论怎么移动 B’,都会有角b B’=B,所以在 ?AB'C 中， sin B'?b sin B?c，C 是 Rt?ABC ， ?AB'C 外 接 圆 的 直 径 。

所 以 对 任 意 ?ABC ， 均 有a ? b ? c ? 2Rs i An s i Bn s i Cn(R 为 ?ABC外接圆的半径)B'cBa AbC这就是我们这节课所探讨的内容：正弦定理二、新课讲解(一)正弦定理及变形： a ? b ? c ? 2Rsin A sin B sin C 定理变形：⑴ a ? 2Rsin A,b ? 2Rsin B, c ? 2Rsin Csin A ? a ,sin B ? b ,sin C ? c⑵2R2R2R⑶ a : b ? sin A : sin B, a : c ? sin A : sin C,b : c ? sin B : sin C(二)定理应用例 1、在△ABC 中，BC＝ 3，A＝45°，B＝60°，求 AC，AB,c解：【分析】 由三角形内角和定理得 C ? 1800 ? A ? BAB ? AC ? BC 由正弦定理 sin C sin B sin AAC ? BCsin B AB ? BCsin C得sin A ,sin A【点评】：已知两角一边，通过正弦定理求剩下的三个量：两边一角。例 2、已知：△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，求 A、C 及 c. 解：【分析】 根据正弦定理，得sin A＝asibn B＝3sin 45°＝ 223，∵b<a，∴B<A，∴A＝60°或 120°.①当 A＝60°时，C＝180°－(60°＋45°)＝75°，∴c＝bssiinnBC＝s2isnin457°5°＝2sin(45°＋30°)＝6＋ 22②当 A＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝15°，∴c＝bssiinnBC＝2sin 15° sin 45°＝2sin(45°－30°)＝6－ 22，∴A＝60°，C＝75°，c＝6＋ 22，或 A＝120°，C＝15°，c＝6－ 22 .【分析】已知两边及一边所对角，由正弦定理，可求剩下的两角一边。但是，一定要注意解的多种性。如何判断解的个数呢，它的依据是：（1）大边对大角，大角对边；（2）三角形内角和定理【试思考】：已知：△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，A＝60°，求 B、C 及 c.这题解的个数问题。（三）课堂总结1、正弦定理的推导以及式子变形2、正弦定理解决问题的类型：①已知两角一边，求两边一角 ②已知两边及一边所对角，求两角一边（四）作业布置：导学与评估 P62---64板书设计§2.1.1 正弦定理1、 正弦定理 a ? b ? c ? 2Rsin A sin B sin C2、例题讲评 例 1、定理变形 ：⑴⑵例2⑶3、课堂小结 ⑴ ⑵4、作业