真正的世界 天才 解读 真正奇妙的证明(Truly,Marvelous,Proof)之谜
【摘要】用广义无穷递降法，用数学中数论、几何、代数方法的“技术上相互兼容”的特点和初等数学及数论17世纪初已有成果，建立五个引理，奇妙地证明了不定方程 xN+yN=zN。
(1)
当正整数N>2时，无正整数解。
【关键词】广义无穷递降法；单位圆；三角形的高；无理数；算术基本定理；代数基本定理;比例中项;韦达定理
现将费尔马大定理真正奇妙的证明，分三方面分述如下。
一、历史与广义无穷递降法
1992年获中国图书一等奖和最优秀十大畅销书之一的《中国少年儿童百科全书》（科学、技术卷）和北京景山学校编的《中学生百科知识日读》（知识出版社，1983）对费尔马大定理的“真正奇妙的证明”作了如下表述。
业余数学家之王——法国人费尔马(Fermat，1601—1665)大约在1637年在古希腊名著《算术》一书空白处记了两段笔记，提出方程(1)xN+yN=zN，当正整数N>2时无正整数解，当时费尔马在书页边还写道：“我已经找到这个命题的真正奇妙的证明，但是这里空白太小，写不下了。”1994年美国普林斯顿大学教授安德鲁?怀尔斯（Andrew Wiles）找到了(1)式无正整数解的另一种证明方法。但至今，“一直没有发现费尔马的证明，三百多年来，大批数学家，其中包括欧拉、高斯、阿贝尔、柯西等许多最杰出的数学家都试图加以证明，但都没有成功。”“于是留下数学难题中少有的千古之谜。”
据《谈勾股定理》一书（严以诚，孟广烈，北京出版社，1980）80页这样写道：“费尔马的证明是什么的，谁也不清楚。1850年及1853年，法国科学院曾两次悬赏征解，都没收到正确的答案；1908年，德国哥廷根科学院又向全世界征求解答，限期一百年。”发行量在全球很大且很受读者欢迎的《读者》期刊，在1996年7期11页的《数学家轶事》一文中，最后这样写道：“在数学上，‘费尔马大定理’已成为一座比珠穆朗玛峰更高的山峰，人类的数学智慧只有一次达到这样的高度，从那以后，再也没有达到过。”
根据当时的数学水平——相当于现高中优秀学生水平，费尔马首创无穷递降法的思维方法——费尔马用首创无穷递降法证明了N=4费尔马大定理成立，且五次笔及用此法证明数学名题。但费尔马没有写出无穷递降法的定义。见到的名家定义也各不同。因此把中国孙子兵法兵势编对奇与无穷的观点引入，把比尔?盖茨（Bill Gates）在《未来之路》（北京大学出版社，1996：5，48-50）提倡的“正向螺旋”和“技术上相互兼容”的思维法则引入。把广义无穷递降法理解为：减少变量个数（包括减少变量变化范围）或降低方程的次数（当然包括同时利用上述两方面方法）后用变化无穷的数论、几何、代数互相兼容的数学技巧求原方程的解。以下据此广义无穷递降法思维，探索费尔马大定理的“真正奇妙的证明”。
二、真正奇妙的证明
费尔马的笔记是在正文讨论一个平方数表为有理数平方的书页中写出。据此思维，将方程(1)化为：
xzN+yzN=1。即：aN+bN=1。(2)
方程(1)有正整数解，则(2)式中a,b必均为正有理数，同理，方程(1)无正整数解，则方程(2)a,b必不可能同时为正有理数。当能证明(2)式中，在正整数N>2时，a,b不可能同时为正有理数，则费尔马大定理成功获证。方程(1)化为方程(2)，变量由4降3，由求正整数解变为求正有理数解，是求“真正奇妙的证明”首要一步。
为求“真正奇妙的证明”，建立五个引理。
引理1 要证费尔马大定理成立，只需证明当N=4时及N为奇素数时均成立，即已足够。且我们仅需证明N为奇素数情况即可。
证 引理1引于华罗庚(1910—1985)著《数论导引》318页(科学出版社，1979年11月版)。陈景润(1933—1996)著《初等数论(1)》(科学出版社，1978年12月版)67-68页给出中学生能看懂的严密证明。北京景山学校编的《中学生百科知识日读》(下)(知识出版社，1983年)440-441页介绍了费尔马大定理简要全面情况后对引理1正确性作了简要说明。对于N=4费尔马大定理成立，公认由费尔马先证出。故我们仅需证明N为奇素数情况，引理1证毕。
引理2 当奇正整数(包括奇素数)N>2，且
352+452=1=aN+bN。
(3)
则(3)式中a，b不可能同时是正有理数。
证明 先说明(3)式来源，后用三个引理充分证明引理2的正确性。
据《十大数学家》一书132页（傅钟鹏，广西科技出版社，1997年9月2版），费尔马写在《算术》一书的笔记的原书正文是将16分成25625和14425，即表为（3-0）的过程：
42=1652+1252。
（3-0）
将（3-0）式两边除以42，并与（2）式进行比较，即可导出（3）式。
由（3）式，易导出：
352+452=aN22+bN22=1。
（4）
由（4）式，知35，45，aN2，bN2都是单位圆上的点，导出奇妙Rt△OAB,这是奇妙证明的第二个突破点。为证明引理2，建立引理3。
引理3 aNbN=h2，其中h是△OAB中底边OA上的高，OA=1。
证明 如图，由（4）式导出，其中OA=1，BC=h，BC⊥OA，AB=bN2，OB=aN2，AB⊥OB。△OAB面积可表为：
12aN2?bN2=12h?OA。
化简上式得：
aN?bN=(ab)N=h2。
（5）
引理3证毕。
为证明引理2，再建立引理4。
引理4 h2=［ab］N=X1-X21。
（6）
（6）式中，X1是Rt△OAB中AC的长度，即：X1=AC。
证明 据前面《谈勾股定理》一书32页，由直角三角形顶点所作的高h，是两条直角边在斜边上的射影的比例中项，即：