换一种角度思考高考压轴题_角度压轴题初一上学期

　　随着新课程改革的深入，高考试卷为了体现新课标理念，要让我们的学生具备自我探索、自主学习、自我发现的能力，同时又为了和高等数学知识进行有效的链接，高考最后一道压轴题就成为我们的高校选拔优质考生的必要的手段。那么我们的考生如何能够更加有效地处理最后一道压轴题呢？压轴题有没有一定的规律呢？下面我们就对高考最后一道压轴题进行分析，使我们的同学有所“悟”。
　　例题1：2006年全国2理科第20题
　　设函数f（x）=（x+1）ln（x+1），若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax。
　　成立，求实数a的取值范围。
　　分析：观察所给试题的左边函数是一个曲线右边是一个一次函数的形式，对于本题要想证明f（x）≥ax，我们的通常方法是移项构造新的函数g（x）=f（x）-ax，然后求导。这样我们得到g（x）′=f ′（x）-a，即g（x）′=ln（x+1）+1-a，那么下一步的分类讨论，使得我们的学生感觉到无从下手，从而失掉了得分的机会。现在我们重新审视这道题的导函数，我们把导函数进行适当的变形g（x）′=ln（x+1）-（a-1），把ln（x+1）和（a-1）看成我们熟悉的对数函数和一条垂直于y轴的直线，如图1所示，此时导数的符号决定于两条曲线的位置关系，当直线位于x轴下方和上方时可以对参数进行讨论。
　　（1） 当（a-1）≤0时，即a≤1时，对所有的x>0，g（x）′>0，所以g（x）在[0，∞)上是单调递增函数。又因为g（0）=0，所以对x≥0，有g（x）≥g（0）=0恒成立。即a≤1当时，对于所有的x≥0都有f（x）≥ax成立。
　　（2） 当a-1＞0时，即a>1时，我们看到两条曲线有交点，正好是导函数的零点。此时我们令导函数等于0，可以得到x=ea-1-1。对于00，故f(x)在(-∞,0)时单调递减，在(0,+∞)单调递增。
　　（2) f(x)′=ex-1-2ax,重新构造新函数g(x)=f(x)′，则g(x)=ex-2a。
　　如图3所示做出和的两个函数的图像。
　　（1）当2a≤1时，即a≤，因为x≥0，ex∈[1,+∞)所以g(x)′-2a=ex-2a≥0。所以g(x)在[0,+∞)单调递增，所以g(x)≥g(0)=e0-1=0，即f(x)′≥0所以f(x)在[0,+∞)单调递增，即f(x)≥f(0)=e0-1-0-0=0，所以f(x)≥0恒成立。
　　（2)当2a>1，即a>，此时令g(x)′=xe-2a=0，则x=ln2a>0，此时当00。所以g(x)在(0,ln2a)单调递减,在(ln2a,+∞)单调递增。那么x∈[0,ln2a),g(x)′≤g(0)=0,即f(x)′≤0,所以f(x)≤f(0)=0。这与f(x)≥0恒成立不符。综上所述，a的取值范围为(-∞,]。
　　综合上面的三道大题，命题人在命题时，主要想让我们的学生具备分类讨论的思想，考查学生发现问题并解决问题的能力，在十年高考的详细解答答案中没有给出利用数形结合的思想去对参数的讨论方法和利用高等代数的解法。但有效地把我们的初等函数和直线型函数结合在一起，最常见的二次函数、对勾函数、指数函数、对数函数，反比例函数结合在一起，既有不同的解法又有让我们的学生进行探索式的研究变量的取值范围，针对不同程度的考生可以采用不同的方式方法去解决，体现了高考是对学生选拔性的考试。下面本人对高考导数压轴题进行预测，请读者思考，本题有效地结合了指数函数和对数函数、一次函数的考查实在是一道好题。
　　例题4：2012年包头市一模试题
　　设函数f(x)=ln(x+1)+ae-x-a，a∈R
　　（1）当a=1时，证明f(x)在（0，+∞）是增函数。
　　（2）若x∈[0,+∞)，f(x)≥0，求a的取值范围。
　　解：（1）f′(x)=-ae-x=,设g(x)=ex-(x+1),g′(x)=ex-1,所以x∈(0,+∞).g′(x)>g′(0)=0，所以g(x)在(0,+∞)单调递增,g(x)>g(0)=0,所以f′(x)>0,所以在x∈(0,+∞)是增函数。
　　（2）f′(x)=-ae-x=考查分子，令h(x)=ex-a(x+1)，h′(x)=ex-a，当x∈[0,+∞)，ex≥1下面分类讨论。
　　①当时a≤1, h′(x)=ex-a≥0, h(x)单调递增,所以h(x)>h(0)=1-a≥0,所以f′(x)≥0,所以f(x)在x∈[0,+∞)单调递增有f(x)≥f(0)=ln1+a-a=0恒成立。
　　②当a>1时，令h′(x)=ex-a=0,x=lna>0,所以x∈[0,lna),h′(x)=ex-a<0, h(x)为减函数,此时h(x)