【Heine定理及其应用】定理

目 录

1 引言 ····································································································································· 1 2 文献综述 ····························································································································· 1 2.1 国外研究现状 ······················································································································ 1 2.2 国内研究现状 ······················································································································ 1 2.3 国内外研究现状评价 ·········································································································· 2 2.4 提出的问题 ·························································································································· 2 3 Heine 定理及其不同结论 ··································································································· 2 3.1 Heine 定理的证明 ·············································································································· 2 3.2 Heine 定理的推广 ·············································································································· 4 4 Heine 定理的应用 ············································································································· 6 4.1 判断、证明函数极限的存在性 ························································································· 6 4.2 利用Heine 定理求极限 ····································································································· 8 4.2.1 求函数极限 ························································································································ 8 4.2.2 求数列极限 ························································································································ 8 4.3 证明函数极限的性质 ········································································································· 9 4.4 判断函数在某点的可导性 ······························································································· 11 4.5 判断级数敛散性 ··············································································································· 12 4.6 对函数f (x )的局部利用海涅定理，求函数f (x )的极限·············································· 13 4.7 根据函数的特性，应用海涅定理分析解决其他问题 ··················································· 14 5 总结 ···································································································································· 16 5.1 主要发现 ···························································································································· 16 5.2 启示 ···································································································································· 17 5.3 局限性 ································································································································ 17 5.4 努力方向 ···························································································································· 17

参考文献 ···························································································································· 18

1

Heine 定理及其应用

摘 要

Heine 定理又称为归结原理，是工科数学分析和高等数学中判断数列极限和函数极限存在的一种有效的重要方法。它是分析学中的重点和难点，在极限理论中发挥了重要的作用。国内外有关Heine 定理的若干问题的探讨和应用研究非常多，涉及范围很广，说明了其重要性和应用的广泛性。国外对Heine 定理的研究主要是解决函数和数列极限存在性问题中的应用，在教学上探讨理论应用涉及甚少，而国内在其理论方面的研究甚为广泛，但Heine 定理的定义及应用仍有值得研究的问题。比如：Heine 定理通常用于极限的存在性问题，而其用途不仅仅限于此，但由于Heine 定理的充分较强，使得Heine 定理在应用中存在着一定的局限性，是否能够将Heine 定理的充分性条件进一步弱化，使得在用Heine 定理处理极限理论问题时更加实用方便，以及在判断级数敛散性、证明函数性质定理、函数求导问题中的应用，这就是文章探讨的问题所在，这样的研究在国内外相对较少。基于已有的Heine 定理若干定义，该文在前人研究的基础上，结合数学分析中的相关定义及性质，分析了Heine 定理的内涵及其推论和相应的证明，分别给出了不同形式的Heine 定理，并对Heine 定理做出了相应的推广，并利用Heine 定理和数列极限的性质，探讨函数极限的相关性质，以及判断函数极限是否存在，给出了详细的实例，通过实例分析Heine 定理在优化极限判断及运算和其他方面的应用，体现了Heine 定理在判断数列和函数极限存在及研究函数性质问题、级数敛散性判断问题中的优越性和实用性。

关键词：Heine 定理；数列；函数；极限；推广；应用

2

Heine theorem and its application

Abstract ：Heine theorem is also known as the resolution principle, is the analysis of Engineering Mathematics and higher mathematics in the judgement of sequence limits and function limit there is a kind of effective method. It is the analysis of key point and the difficulty, in the limit theory played an important role in. Domestic and foreign related Heine theorem on the study and application of very much, involve range is very wide, illustrates its importance and wide application. On Heine theorem research mainly solves the problem of the existence of the limit of a sequence of function and application in the teaching of theory and application, very involved, and in the domestic theoretical research is very widely, but the Heine theorem and application still has a problem worthy of study. For example: Heine theorem is usually used to limit existence problem, but its use is not limited to this, but since Heine theorem sufficient strong, making Heine theorem in the application of certain limitations exist, whether can be Heine theorem sufficient conditions for further weakening, the Heine theorem of limit theory more practical problem handling convenient, as well as in judging the convergence of the series, proves the function properties, function derivative problems in application, this is the article discusses problem, this research at home and apoad relatively less. Based on the existing Heine theorem several definitions, this paper on the basis of previous studies, combined with mathematical analysis in the related definition and Properties Analysis of Heine theorem, the connotation and the inference and proof of the corresponding, respectively, are given for different forms of the Heine theorem and Heine theorem, made corresponding promotion, and by using Heine theorem and the limit of a sequence of characters, the limit of a function related to nature, and judge the function limit exists, gives a detailed example, through case analysis of Heine theorem in optimizing the ultimate judgment and operation and other aspects of the application, reflects the Heine theorem in judging the sequence of numbers and function limit exists and problem, research on the properties of function series convergence and divergence of judgment the problem of the superiority and practicality.

Key words: Heine theorem; sequence; function; limit; extension; application

3

1引言

Heine 定理作为数学发展历程中的工科数学内容在分析学、代数学、几何学等数学领域已经突出巨大的研究作用. 关于它的研究，在世界范围内非常多，其中的研究领域就颇为广泛，Heine 定理通常应用于判断函数、数列极限存在和求解的问题，国内和国外的研究趋势很接近，现有Heine 定理的若干问题的探讨及应用，体现了其重要性和应用的广泛性，有关这样的研究国内外较多，涉及范围也较广，如：Heine 定理在数学分析中的应用，高等数学，复变函数中的应用等等. 但针对于Heine 定理在应用中存在的局限性，是否能够将Heine 定理进行推广，并应用于求解相关问题，这样的研究较少. 基于已有的Heine 定理若干定义的探讨和应用，本文在前人研究的基础上，结合工科数学分析教学实践，给出了Heine 定理的内涵及其推论和相应的证明，分别给出了不同形式的Heine 定理，并对Heine 定理做出了相应的推广. 归纳总结出了Heine 定理的应用并举出实例，通过实例介绍Heine 定理在优化极限判断及运算和其他方面的应用，体现了Heine 定理在判断数列和函数极限存在及函数性质证明问题、级数敛散性判断问题中的优越性和实用性.

2 文献综述

2.1国外研究现状

国外对Heine 定理的研究主要是应用于解决在极限理论中的应用和在其他学科中的应用，而在教学上探讨理论应用则很少涉及. [美]B.Gelbaum 在其文献实分析习题及解答中介绍了Heine 定理在分析学中的应用, 并举出相应的实例来做出相关说明，具有一定新颖性, 值得借鉴.

2.2国内研究现状

国内有关Heine 定理的理论从国外引进，在数列、函数极限理论中发挥了重要的作用. 国内Heine 定理很少谈及学科领域的相关计算问题，但相关的研究有一定发展. 如：刘玉琏，傅沛仁在其编写的数学分析讲义（第三版上册）中较详细地阐述了Heine 定理在判断求解函数极限、数列极限问题函数极限的四则运算等问题中的应用；马建珍在其文献数列问题与函数问题的转化中[13]描述了函数极限和数列极限之间的关系，将Heine 定理做为沟通函数极限和数列极限之间的桥梁，说明了Heine 定理在极限理论中的重要性.

4

2.3国内外研究现状的评价

上述文献中已给出了Heine 定理的若干问题的探讨和应用，说明了Heine 定理的重要性和应用的广泛性，但其还有值得研究的空间和余地. 在Heine 定理应用方面的研究国内相对于国外的研究较广泛, 而且很多研究问题及结论有很好的借鉴价值, 可以作为研究的理论基础, 而国外, 更多的研究主要在于将Heine 定理应用于解决其它前沿学科中的计算问题, 但在不同的问题当中是否都能够运用到Heine 定理，适用于解决什么样的问题，这样的研究较少.

2.4提出问题

鉴于国内外的研究现状，一般的Heine 定理则不仅只能求解或判断函数、数列的极限存在与否的问题，而且该定理的充分性较强，运用中有一定的局限性，那么能否弱化Heine 定理的充分性，拓宽Heine 定理的使用范围，或者将Heine 定理推广运用到函数的性质证明、解决函数和数列的极限问题、函数在某一点的导数以及判断级数的收敛性问题，从而体现Heine 定理的优越性和应用的广泛性，本文针对此类问题作详细探讨.

3 Heine定理及其不同结论

3.1海涅定理的证明

定理 l i m f (x )=b ⇔对任意数列{a n }，a n ≠a ，且lim a n =a ，有lim f (a n )=b .

x →a

n →∞

n →∞

分析：必要性，应用函数极限定义和数列极限定义[1]，可证得极限lim f (a n )=b ，充

n →∞

分性，因为在已知条件中，数列{a n }是任意的，这样的数列是无限多的，所以从已知条件出发直接证明有lim f (x )=b 很困难. 在这种情形下，通常采用反证法. 假设lim f (x )≠b ，构

x →a

x →a

造某一个数列{a n }，a n ≠a ，且lim a n =a ，但是有lim f (a n )≠b ，与已知条件矛盾.

n →∞

n →∞

证明：必要性(⇒)已知lim f (x )=b ，即

x →a

∀ε>0，∃δ>0，∀x :0

f (x )-b

5

对任意数列{a n }，a n ≠a ，且lim a n =a . 根据数列极限定义，对上述

n →∞

δ>0，∃N ∈N +，∀n >N ， 有

0

从而∀n >N ，有

f (a n )-b

lim f (a n )=b ,

n →∞

充分性(⇐)应用反证法假设

lim f (x )≠b ，

x →a

根据函数极限的否定叙述，

∃ε >0，∀δ>0，∃x :0

f (x )-b ≥ε ，

取

δ1=1， ∃a 1:0

δ2= …… δn = ……

于是，构造出一个数列{a n }，a n ≠a ，因为

11

, ∃a n :0

，∃a 2:0

δn =

所以

1

→0(n →∞)， n

lim a n =a ，

n →∞

6

显然，

lim f (a n )≠b ，

n →∞

与已知条件矛盾 所以

lim f (a n )=b .

n →∞

小结：海涅定理又称为归结原则[2]. 它既常用来说明某些函数极限不存在，又是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁，在极限理论中处于重要的地位. 根据海涅定理的必要性，函数f (x )在a 的极限可化为函数值数列的极限；根据海涅定理的充分性，又能够把数列极限的性质转移到函数极限上来.

3.2海涅定理的推广

首先给出下列三种极限的海涅定理：

lim f (x )=b ⇔对任意数列{a n }，且 lim x n =+∞，有 lim f (a n )=b .

x →∞

n →∞n →∞

x →a +

lim f (x )=b ⇔对任意数列{a n }和任意δ>0，存在N >0，当n >N 时，有

n →∞

a n

x →a -

lim f (x )=b ⇔对任意数列{a n }和任意δ>0，存在N >0，当n >N 时，有

n →∞

a n -δ

根据海涅定理必要性的逆否命题可得以下3个推论：

推论1 若存在某个数列{a n }，且lim a n =a ，a n ≠a ，而数列{f (a n )}不存在极限，

n →∞

则函数f (x )在a 也不存在极限.

推论2 若存在某两个数列{a n }与{b n }，且lim a n =a ，a n ≠a 与lim b n =a ，b n ≠a ，

n →∞

n →∞

分别有lim f (a n )=c 与lim f (b n )=d ，且c ≠d ，则函数f (x )在a 也不存在极限.

n →∞

n →∞

推论3 函数f (x )在D 内无界⇔存在数列{a n }⊂D ，使lim f (a n )=∞.

n →∞

应用海涅定理的推论解决函数极限的存在性问题时更加方便实用，是判断函数极限不存在的一种非常好的方法. 下面介绍几种等价类型的海涅定理：

7

定理1 设f (x )在x >M 上有定义，则lim f (x )=b ⇔对于任何以∞为极限的数列

x →∞

{a n }a n >M )，都有lim f (a n )=b .

n →∞

定理2 设f (x )在a 的某一领域U (a ; δ)内有定义，则函数f (x )在点a 连续⇔对任何含于U (a ; δ)且以a 为极限的数列{a n }，都有lim f (a n )=f (a ).

n →∞

f (x )=b ⇔对于任何以定理3 设f (x )在a 的某空心右领域U +(a ; δ)有定义，则lim +

x →a

a 为极限的单调递减数列{a n }⊂U +(a ; δ)，都有lim f (a n )=b .

n →∞

定理4 设f (x )在a 的某空心左领域U -(a ; δ)有定义，则lim -f (x )=b ⇔对于任何以a

x →a

为极限的单调递增数列{a n }⊂U -(a ; δ)，都有lim f (a n )=b .

n →∞

海涅定理有许多种形式，不仅结构形式类似，证明方法也很类似，在此不再一一列举. Heine 定理在函数极限理论中起着重要的作用，为了丰富极限理论的内容，对Heine 定理进行了相应的推广. 这些推广形式，在研究函数的性质中，显得更为方便有用.

定理5 lim f (x )存在⇔∀{a n }，a n ≠a ，且有a n →a (n →∞)，都有{f (a n )}收敛.

x →a

定理6 lim +f (x )存在⇔∀{a n }，a n >a n +1，且a n →a (n →∞)，都有{f (a n )}收敛.

x →a

定理7 lim -f (x )存在⇔∀{a n }，a n

x →a

对于函数在一点连续也有相应的定理.

定理8 f (x )在a 点连续⇔∀{a n }，a n →a (n →∞)，都有{f (a n )}收敛于f (a ). 作为Heine 定理推广形式的应用，在此举2个例子：

例1证明：若函数f (x )在开区间(a , b )单调增加，且有界，则极限lim +f (x )与lim -f (x )

x →a

x →b

都存在.

证明：由于f (x )在(a , b )上有定义，则对任意数列{a n }⊂(a , b )，且

a 1>a 2>⋅⋅⋅>a n >⋅⋅⋅，a n →a

因为函数f (x )在开区间(a , b )单调增加且有界，则{f (a n )}单调减少且有下界，由于单调有界数列存在极限，故有{f (a n )}收敛，

8

由定理6，知lim +f (x )存在，

x →a

同理，可证明lim -f (x )存在.

x →b

例2证明：若函数f (x )在(a , b )有定义，且单调增加，则∀x ∈(a , b )，极限

f (x -0)=lim f (x )与f (x +0)=lim f (x )都存在，且f (x -0)≤f (x )≤f (x +0). --

x →x

x →x

证明：设x ∈(a , b )，对开区间(a , b )中任一数列{a n }，使a n →x (n →∞)且{a n }严格单调减少，因为函数f (x )在(a , b )上单调增加，则{f (a n )}单调减少，且

f (a n )≥f (x ). 由单调有界原理，有{f (a n )}收敛， 由定理6，知

f (x ) f (x +0)=lim -

x →x

存在，且

f (x )≤f (x +0)，

同理，可证得

f (x ) f (x -0)=lim -

x →x

存在，且

f (x -0)≤f (x ).

4 Heine定理的应用

海涅定理揭示了变量离散变化与连续变化之间的内在联系，在某种条件下，数列极限与函数极限可以相互转换.

4.1 判断、证明函数的极限的存在性

海涅定理是判断极限不存在的有力工具，尤其是海涅定理的推论是判断函数极限不存在的一种非常好的方法.

例1证明f (x )=

11

⋅cos 当x →0时极限不存在. x x

9

分析：要证明函数f (x )极限不存在，根据海涅定理的推论2，我们只需构造两个数列{a n }{, b n }，使他们满足以a 为极限且与它们对应的函数序列的极限存在但不相等来证明函数极限不存在.

证明：令数列

a n =

11

， b n =， 2n π2n +1π

其中

n =1, 2, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，且a n →0，b n →0但a n ≠0，b n ≠0，

则有

lim

11

⋅cos =lim (2n π)⋅cos (2n π)=+∞， n →∞a a n n →∞n

lim 因为

11

⋅cos =lim [(2n +1)π]⋅cos [(2n +1)π]=-∞， n →∞b b n n →∞n

+∞≠-∞，

所以

f (x )=

11

⋅cos ， x x

11

⋅sin 在(0, 1]内无界，但当x →0+时f (x )不是无穷大. x x

在当x →0时极限不存在.

例2证明：函数f (x )=证明：取

a n =

则a n ∈(0, 1]，且

12n π+

2

，(n =1, 2, 3⋅⋅⋅)，

f (a n )=2n π+

π

2

→∞，(n →∞)，

由海涅定理的推论3可知，f (x )在(0, 1]内无界， 若取

10

b n =

1

，(n =1, 2, 3⋅⋅⋅)， 2n π

则b n ∈(0, 1]，且

f (b n )≡0， 当

n →∞时，b n →0+，

有

lim f (b n )=0，

n →∞

所以当x →0+时f (x )不是无穷大.

4.2求极限

极限运算是工科数学的核心内容，这是因为导数是函数因变量与自变量改变量之比的极限，定（重）积分是一个黎曼和的极限[3-6]，级数的收敛问题是通过转化为极限的存在问题解决的，恰当的运用Henie 定理及其推论能够很好的实现优化极限运算的目的. 4.2.1求函数极限

例3 已知lim x sin

x →0

1

存在，求此极限. x

分析：已知函数极的限存在，要求函数极限时，只要取一个特殊的数列就可以求得函数极限.

解：根据海涅定理，取 x n =则

lim

1

sin n π=0， x →0n π

1

=0. x

1

，(n =1, 2⋅⋅⋅) n π

所以

lim x sin

x →0

4.2.2 求数列极限

在直接求数列极限比较困难的情况下，可先考察与之相对应的函数极限，利用函数性质及海涅定理可求出数列极限.

n +1π⎫2⎛

例4求极限lim -⎪n +1，(n ∈N +).

n →∞n 4⎭⎝

x +1π⎫2⎛

分析：令 f (x )= -⎪x +1，若lim f (x )存在，则设a n =n ，有

n →+∞x 4⎭⎝lim a n =+∞，a n ≠+∞，由海涅定理可求的极限.

n →∞

解：令

x +1π⎫⎛

f (x )= a r c t -⎪x 2+1，

x 4⎭⎝

则

x +1π⎫2⎛

lim f (x )=lim -⎪x +1 x →+∞x →+∞x 4⎭⎝

x +1π⎫⎛

a r c t -⎪

x 4⎭

=lim ⎝

x →+∞1

x 2+1

3x 2+1

=l i 2 （由洛必达法则得）

x →+∞6x +4x +1

=由Heine 定理，有

n +1π⎫21⎛

l i m a r c t -⎪n +1=. n →∞n 4⎭2⎝

1

2

4.3证明函数极限的性质

利用海涅定理，可以把函数极限的问题转化为数列极限，再根据数列极限的性质，可证明相应的函数性质.

例5 若∀x ∈U (a )，有f (x )≤g (x )≤h (x )，且lim f (x )=lim h (x )=b ，则lim g (x )=b .

x →a

x →a

x →a

证明：已知

lim f (x )=lim h (x )=b ，

x →a

x →a

根据海涅定理的必要条件，U (a )内任意数列{a n }，a n ≠a ，且

lim a n =a ，

n →∞

有

lim f (a n )=lim h (a n )=b ，

x →∞

n →∞

又已知∀n ∈N ，有

f (a n )≤g (a n )≤h (a n )， 由数列的两边夹法则[7-11]，有 lim g (a n )=b ,

n →∞

再根据海涅定理的充分条件，有

g (x )=b . l i m

x →a

例6对∀ε>0，∃A >0，∀x " >A 与∀x " >A 有f (x " )-f (x "

x →+∞

在.

证明：取数列{x n }，且x n →+∞(n →∞)，即 A >0，∃N 1∈N ，∀n >N 1⇒x n >A ， 由已知条件

∀n >N 1，∀m >N 1⇒f (x n )-f (x m

根据数列柯西收敛准则[12-14]，数列{f (X n )}收敛，设 lim f (x n )=b ，

n →∞

即

∀ε>0，∃N 2∈N ，∀n >N 2⇒f (x n )-b

下面证明，对任意数列{y n }，y n →+∞(n →∞)都有

lim f (y n )=b ，

n →∞

已知

y n →+∞(n →∞)，

即

A >0，∃N 3∈N ，∀n >N 3⇒y n >A ， 由已知条件，有

f (x n )-f (y n

∀n >N ⇒f (y n )-b ≤f (y n )-f (x n +f (x n )-b

即

lim f (y n )=b ，

n →∞

根据海涅定理，有

lim f (x )=b ，

x →+∞

所以极限lim f (x )存在.

x →+∞

4.4判断函数在某点的可导性

应用海涅定理，可求得函数差商的极限，从而可判断函数再某点的可导性. 例7证明函数f (x )=x 2D (x )（其中D (x )为Dirichlet 函数[15]）在原点可导，而在其他点出不可导.

证明：因为

f (x )-f (0)x 2D (x )-0lim =lim =lim xD (x )=0=f " (0)， x →0x →0x →0x -0x

所以f (x )在原点可导且f " (0)=0，

"

当x ≠0时，设数列{x n }是大于且趋于x 的有理数列，数列x n 是大于且趋于x 的无理

{}

数列，于是，当x 为无理数时，因为

2

f (x n )-f (x )x n

lim =lim =+∞，

n →∞n →∞x n -x x n -x

但

"

f x n -f (x )lim =0， " n →∞x n -x

()

由海涅定理可知f (x )在无理点x 处不可导； 当x 为非零有理点时，因为

2

f (x n )-f (x )x n -x 2

lim =lim =lim (x n +x )=2x ，

n →∞n →∞x -x n →∞x n -x n

但

"

f x n -f (x )lim =-∞， " n →∞x n -x

()

由海涅定理可知f (x )在非零有理点x 处也不可导， 所以f (x )=x 2D (x )只在原点可导，而在其他点出不可导.

4.5判断级数敛散性

级数实质上是一个和式的极限，因此运用Henie 定理及其推论判断常数项级数的敛散性是一种有效的方法.

⎛1n +1⎫

⎪的敛散性. -ln 例8判断级数∑ n ⎪n n =1⎝⎭

∞

解：构造函数

f (x )=x -ln 1+x 2，

当x →0时，f (x )经过Taylor 展开为： f (x )=x -ln 1+x 2

⎡⎤x

=x -⎢x 2-+o x 6⎥

x ⎣⎦

4

()

1

2

⎡x 4⎤ =x -x ⎢1-+o x ⎥

2⎣⎦

2

()

1

2

因为x →0时，

⎡x x 24⎤ ⎢1-+o x ⎥→1-+o x 4

24⎣⎦

2

()

1

2

()

所以，当x →0时，

⎡x x 34⎤ x -x ⎢1-+o x ⎥→+o x 5

24⎣⎦

2

()

1

2

()

即当x →0时，f (x )与x 3为同阶无穷小， 或

lim

x →0

f (x )1

= 4x 3

令

a n =

1n

，

由海涅定理，有

1n -ln ⎛1⎫ ⎪ ⎪⎝n ⎭

n +1n

3

lim

x →0

=

1 4

又因为级数

⎛1⎫

⎪ ∑ ⎪收敛， n ⎭n =1⎝

∞

3

所以级数

⎛1n +1⎫ ⎪ 收敛. -ln ∑ n ⎪n n =1⎝⎭

∞

4.6对函数f (x )的局部利用海涅定理，求函数f (x )的极限

如果函数f (x )能写成几个函数的乘积形式，其中一个或几个函数的极限能够比较方便地利用海涅定理求出，并且其他函数的极限的求得比较简单. 这时求函数f (x )的极限就可用这种方法.

⎡例9求极限lim n ⋅⎢x -x n +1)⎤ (x >0) ⎥n →∞⎣⎦

2

解：因为

⎡⎤ 2n +1)⎤n +1)⎡(n +1)n ⋅⎢x -x =n ⋅x ⋅x -1⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2

=x

n +1)

x (n +1)-1n

⋅⋅

1n +1⋅(n +1)n

由于

x t -1lim =lim x t ⋅ln x =ln x t →0t →∞t

有海涅定理可知

x (n +1)-12⎡ lim =ln x ⋅l i m n ⋅⎢x -x n +1)⎤⎥n →∞1n →∞⎣⎦⋅(n +1)

n

=lim x

n →∞

n +1)

x (n +1)-1n

⋅lim ⋅lim

n →∞1n →∞n +1

⋅(n +1)n

=ln x .

4.7根据函数的特性，应用海涅定理分析解决其他问题

例10设f (x )为周期函数，且lim f (x )=0，证明f (x )≡0.

x →+∞

分析：抓住f (x )为周期函数. 假设有一点x 使得f (x )≠0，则有无穷多个点x +nT ，

(n =1, 2, ⋅⋅⋅)，使得f (x +nT =f (x )>0. 当n 充分大时，x +nT 也可以取得充分大. 由

条件lim f (x )=0推出f (x +nT

x →+∞

证法一：用反证法

假设f (x )≡0不成立，则至少存在一点x 使得

f (x )≠0，

因为

x →+∞

lim f (x )=0

故对于

ε =f (x )>0，

总存在M >0，当x >M 时，有

f (x

x +nT >M ，

则有

f (x +nT

由于f (x )为周期函数，所以

f (x +nT =f (x 这与上式矛盾，所以 f (x )≡0.

证法二：设T 为f (x )的周期，x 为任一固定实数， 取

x n =x +nT ， (n =1, 2, ⋅⋅⋅)

于是由周期函数的定义有

f (x n )=f (x +nT )=f (x )，(n =1, 2, ⋅⋅⋅) 所以有

lim n →∞

f (x n )=f (x )， 由于

x lim →+∞

f (x )=0，

又

lim n →∞

x n =+∞，

所以根据海涅定理有

n lim →+∞

f (x n )=0， 于是由(1)和(2)式，并由极限的唯一性可得

f (x )=0，

(1)(2)

又因为x 为任一实数，所以对一切实数x ，有 f (x )≡0.

例11命题：“若f " (x )在(-∞, +∞)上连续，f (x )在(-∞, +∞)上有界，则f " (x )在

(-∞, +∞)上也有界”是否正确？

解 因为

f (x )=sin x 2

在(-∞, +∞)上有界且其导数在(-∞, +∞)连续， 但在点

x n =2n

处有

f " (x n )=22n π，

从而

lim f " (x n )=∞.

n →∞

所以命题不正确.

若能充分观察到sin x 2所特有的有界性及在∞点领域内的无限振荡性，及狄利克莱函数D (x )在任意领域内的无线振荡性，，则很多举反例的问题就迎刃而解了。

小结：以上的举例应用了Heine 定理来判断证明函数极限、数列极限的存在，求极限，级数的收敛性问题以及函数性质的证明问题，体现了Heine 定理在极限理论应用中的重要性和优越性. 从上可知，Heine 定理是一座沟通函数极限与数列极限之间内在的“桥梁”，它有着广泛的应用. 在解决问题是，跟据海涅定理，我们可以把关于数列极限的问题与关于函数极限的问题相互转化，使问题简单明了.

5 总结

5.1 主要发现

本文通过分析验证了Heine 定理及其在极限理论和在级数收敛、函数性质问题中的

应用，弱化了Heine 定理的充分性条件，给出了相应的推广定理，拓展了Heine 定理的运用范围，使得在处理极限问题时更加方便实用，从而体现Heine 定理无论在证明上还是在求解极限问题上都有重要性和优越性.

5.2 启示

通过探讨Heine 定理及应用，体现了一定的优越性和实用性。问题是若能将Heine 定理引到其它数学分支中做应用，如：针对实变函数论和泛函分析的相关问题，复变函数中的相关问题，将更好地体现Heine 定理应用的广泛性，这是一类值得讨的问题.

5.3 局限性

对于Heine 定理相关的定理及其相关的推广和应用，针对Heine 定理的充分性较强，在运用中存在一定的局限性，相应的弱化了Heine 定理的充分性条件，使充分性弱化后的Heine 定理在处理函数极限的有关问题时，更加方便实用. 但没有得到更好的应用，若能进一步将弱化后的Heine 定理引到其他数学分支中做应用，如：实变函数和泛函分析等学科中的相关问题，将更好地体现其研究意义和广泛应用性，对于此问题，限于本人的知识水平有限，未作探讨.

5.4 努力方向

在已有知识水平的基础上，本文对Heine 定理及其应用的问题作了一定的探讨，并通过实例，体现了Heine 定理在判断求解函数极限和数列极限、级数判断，函数性质证明的问题方面的实用性和优越性. 然而，Heine 定理的应用有一定局限，今后若能针对不同知识和相关性质，对Heine 定理的充分性条件进一步弱化，进行合理推广，将能更好的促进其应用的深入研究，这些问题，有待今后不断的学习和探讨.

参考文献

[1] 欧阳光中．姚允龙. 数学分析（上，下册）[M]．上海：复旦大学出版社，2004：31—32．

[2] B.Gelbaum. 实分析习题及解答［M ］．西安：陕西人民教育出版社，1982：46—47．

[3] 朱宇光．关于函数极限归纳原则的一个等价命题[J]．商丘师专学报，1985(1)：7—8．

[4] 李冬梅．极限运算中的几种数学思想 [J]．渤海大学学报（自然科学版），2004,25(1)：62—63．

[5] 华东师范大学数学系．数学分析（第三版上册）[M]．北京：高等教育出版社，2001：52—53．

[6] 刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义（第三版上册）[M]．北京：高等教育出版社，1992：85—86．

[7] 格·马·菲赫金哥尔茨．微积分学教程 [M]．北京：人民教育出版社，1980：109—112．

[8] 复旦大学数学系．数学分析(下册)[M]．北京：高等教育出版社，1983：236—238．

[9] 周国强．数列极限的几何意义[J]．甘肃高师学报，2005，10(2)：70—71．

[10] 郭明普．复合函数极限的存在性[J]．南阳师范学院学报，2001，21(6)：91—92．

[11] 周家云．数学分析的方法[M]．济南：山东教育出版社，1991：75—76．

[12] 华东师范大学数学系．数学分析（上册）[M]．北京：高等教育出版社，2001：52—54．

[13] 马建珍．数列问题与函数问题的转化[J]．邢台学院学报，2006，21(2)：96—98．

[14] 赵红发．三类数列的极限[J].长春师范学院学报（自然科学版），2005，24 (3)：1—2．

[15] 刘玉琏．数学分析指导书[M]. 北京：高等教育出版社, 1989：37—38．

致 谢

四年的大学生活在这个季节即将划上一个句号，而我的人生却只是一个逗号，我将面对的是下一次征程的开始。在我的论文即将付梓之际，把我的敬意和赞美献给指导老师—铁勇老师。铁勇老师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度、积极进取的科研精神以及诲人不倦的师者风范是我终生学习的楷模。使我不仅接受了全新的思想观念，领会了基本的思考方式，更教会了我为人处事的道理。

本次毕业设计过程中，铁勇老师对该论文从选题、构思、资料收集到最后定稿的各个环节给予细心指引与教导，使我对Heine 定理及其应用有了深刻的认识，使我得以最终完成毕业设计，在此表示衷心感谢。铁勇老师高深精湛的造诣与严谨求实的治学精神将永远激励着我。

在四年的大学生里，还得到众多老师的关心支持和帮助。文中有诸多不足之处，敬请各位老师指教，以便帮助我进一步提高。

在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里感谢所有关心我的老师和学友们，你们在这四年中所给予我的帮助和支持，谨向老师们和同学们致以衷心的感谢和崇高的敬意，谢谢你们!