一般情况下两共轴圆线圈间互感系数的简便计算:线圈的互感系数
第30卷第4期2011年4月大 学 物 理COLLEGE P HY SICS V o. l 30N o . 4
A pr . 2011
大学生园地
一般情况下两共轴圆线圈间互感系数的简便计算
龚 禔
(河南师范大学物理与信息工程学院河南新乡 453007)
摘要:采用级数展开的方法, 得到了一般情况下两共轴圆线圈间互感系数的严格无穷级数表达式, 所得结果在除两线圈重合之外的所有情况下均是收敛的. 并且在计算过程中利用磁矢势而非磁感应强度求出磁通量, 使得该方法较为简便.
关键词:互感系数; 共轴线圈; 圆环电流; 磁矢势; 无穷级数
中图分类号:O 44113 文献标识码:A 文章编号:1000-0712(2011) 04-0046-03
根据定义, 任意两个闭合线圈L 1与L 2之间的互感系数可以表示为
[1]
1 特殊情况下两共轴圆线圈间的互感系数
首先考虑一种特殊情况1若两圆线圈的半径和距离满足b n a 且b n d , 此时L 1产生的磁场在L 2所围面积内可以近似看作匀强磁场, 于是根据载流圆线圈轴线上的磁场表达式磁感应强度大小为
L 0I 1a
B =223/2
2(a +d )
数为
512P b 2L a b 0P
M =M 12===I 1I 12(a +d )
2
2
2
[2]
L 0
M =M 12=M 21=
4P
R L 1
L 2d l 1#d l 2
r
(1)
这里包含了沿闭合线圈L 1与L 2的两个回路积分, 因而当线圈具有不规则的几何形状时, 其计算是极其复杂的, 一般而言很难得到用初等函数表达的解析式.
即便这两个线圈都具有高度的对称性, 例如图1所示的两个共轴圆线圈L 1和L 2, 其半径分别为a 和b , 通过的电流分别为I 1和I 2, 两圆心相距为d , 要求出它们之间的互感系数也不很容易
.
, 可知L 1在L 2处产生的
(2)
方向沿两线圈的轴线方向. 于是二者之间的互感系
(3)
其中512表示线圈L 1激发的磁场通过线圈L 2的磁通量.
2 一般情况下两共轴圆线圈间的互感系数
在近似条件无法满足的一般情况下, 由于线圈所围面积内的磁场不均匀, 使得磁通量及互感系数的计算变得比较复杂. 在已有的几篇文献中, 文献[3]只是在远场的特殊情况下得到了共轴圆线圈与圆板间互感系数的近似表达式, 文献[4]采用数值计算和曲线拟合的方法得到了共轴等大圆线圈间互感系数的近似结果, 而文献[5]虽然得到了任意两
图1 两共轴圆线圈示意图
共轴圆线圈间互感系数的严格表达式, 但却是用椭圆积分表示的, 所以说这些结果不够普遍或简单. 本文采用级数展开的方法, 得到了用无穷级数表示的
收稿日期:2010-06-23; 修回日期:2010-11-07
基金项目:国家大学生创新性实验计划资助项目(091047621)
作者简介:龚禔(1983) ), 男, 河南开封人, 河南师范大学物理与信息工程学院2007级本科生.
第4期 龚 禔:一般情况下两共轴圆线圈间互感系数的简便计算 47
任意两共轴圆线圈间的互感系数公式, 所得结果在除两线圈重合之外的所有情况下均是收敛的. 2. 1 线圈L 1在空间任一点的矢势
首先以两线圈的轴线方向为z 轴, L 1的圆心O 为原点, 所在平面为xy 平面建立直角坐标系. 然后根据这一问题的轴对称性, 采用柱坐标(Q ,
所得结果为
数时依次为P , 3P /4, 5P /8, , , 所以有A
L 0I 1a 4P
a +Q +z
PA +
153
PA +, =8
(7)
L 0I 1A 152
a Q 1+A +, 4Q 8
一点的矢势.
2. 2 线圈L 1与L 2之间的互感系数
这样便得到了用无穷级数表示的线圈L 1在空间任
为了求出两线圈间的互感系数, 需要得到线圈L 1产生的磁场通过线圈L 2的磁通量512. 由于矢势A 沿任一闭合回路L 的环量代表相应的磁场B 通过以该回路为界的任一曲面S 的磁通量5, 即
$@A #d S =Q B #d S =5R A #d l =Q
L
S
S
(8)
因此将线圈L 1产生的矢势沿线圈L 2作回路积分, 就得到所求磁通量.
显然在L 2处, L 1产生的矢势大小恒定, 方向沿积分路径, 这样可以方便地求得
12=
R
L 2
A #d l =2P b [A
Q =b
(9)
将A
图2 在圆线圈上建立坐标系
可得a +b +d
L 0I 1a
A
4P
2P
cos
512=
(4)
L 0P I 1B 2
1+B +82512L 0PB 2
=ab 1+B +I 128
(10)
因而线圈L 1与L 2之间的互感系数为
M =M 12=
(11)
这是一个椭圆积分, 无法表示为初等函数的形式. 为
了求出A
令A =222则式(4) 可写为
a +Q +z
2P
L 0I 1a A
4P +Q +z
此即用无穷级数表达的两共轴圆线圈间的互感系数公式.
3 分析与讨论
第一, 由于在将式(6) 代入式(5) 逐项积分的过程中, 去掉了一半的项, 其余的项均乘上一个有限大
的系数得到式(7), 而后又将式(7) 作变量代换并乘上有限大的系数得到式(11). 因此在满足|B |
第二, 在计算互感系数的过程中, 利用矢势A 的物理意义, 直接将矢势作回路积分以得到所需磁通量, 而不必求出磁感应强度的表达式, 使运算得到了简化.
将
2A cos
1-2A cos
-1/2
(1-2A cos
2233
1+A cos
22
(6)
此幂级数的收敛区间为(-1, 1), 即|2A cos
22
即(Q -a ) +z >0. 于是该幂级数在整个空间除线圈L 1处之外处处收敛. 将式(6) 代入式(5), 并注意到积分
Q
2P
cos
n
48大 学 物 理 第30卷
第三, 将互感系数的级数展开式(11) 只保留第一项, 并将B 代入, 可得
L a b 0P
M =2223/2
2(a +b +d )
2
2
2
上完成的, 在此向任课老师景辉教授表示谢意.
参考文献:
(12)
[1] 赵凯华, 陈熙谋. 电磁学(下册) [M ].2版. 北京:高等
教育出版社, 1985:864.
[2] 赵凯华, 陈熙谋. 电磁学(上册) [M ].2版. 北京:高等
教育出版社, 1985:356.
[3] 秦志浩, 蒋式勤. 共轴圆线圈和圆板的互感系数计算
[J ].电脑知识与技术, 2008, 4(1):244-246.
[4] 张伟, 陈俊斌. 同轴等大线圈互感系数及相互作用力
的近似解析公式[J ].大学物理, 2004, 23(8) :36-37. [5] 张星辉, 何钰, 徐行可. 任意两共轴圆线圈间的互感系
数及磁感线的分布[J ].大学物理, 2007, 26(7) :21-24. [6] 郭硕鸿. 电动力学[M ].3版. 北京:高等教育出版社,
2008:80.
式(12) 只是在分母上比式(3) 多了一项b , 而式
(3) 成立的条件为b n a 且b n d , 在这种情况下显然式(12) 与式(3) 将趋于一致. 因此一般情况下的互感系数级数表达式的首项即包含了第1节中所讨论的特殊情况.
第四, 虽然本文得到了一般情况下两共轴圆线圈间互感系数的严格级数表达式, 且该级数是收敛的, 但并未对其收敛的快慢作详细讨论, 而这一点在用计算机编程求解实际问题的过程中会显得十分重要, 这也是今后需要进一步研究的工作.
致谢:本文是在一道电动力学课后习题的基础
A si m ple met hod to calcul ate mut ual i nductance bet ween t wo coaxi al circul ar
coils i n general sit uation
GONG T i
(Co lleg e o f P hys i cs and Infor m ation Eng i neeri ng , H enan N o r m al U niversity , X i nx i ang , H enan 453007, Chi na)
A bstract :The series expansi o n m ethod is used to get the exact i n finite series expressi o n of the mutual i n duc-t
ance bet w een t w o coax i a l circu lar co ils i n general situation . The infinite series is conver gent in all cases except for the t w o coils co i n cide w ith each other . M oreover , vector po tentia, l instead o fm agnetic inducti o n , is used to calcu -late the m agnetic flux , w hich m akes the m e t h od m ore conven ien. t
K ey words :m utua l i n ductance ; coax ia l coi; l c ircular current l o op; m agnetic vecto r po tentia; l i n finite series
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num erica ll y . The theory of diffraction is verified , the d iffraction patter ns o f non-ax is space and s m all square ho le are also ob tained . Th is can expand t h e concepts of d iffracti o n and prov ide a reference for better undersa t n di n g of d iffraction.
K ey words :H uygens-Fresnel pri n c i p le ; num erical calcu lation ; square ho le Fraunhofer diffracti o n ; MAT -LAB