高三文科数学圆的方程以及直线与圆 直线的一般式方程
高三文科数学圆的方程以及直线与圆、圆与圆的位置关系知识点复习
一、有关圆的基础知识要点归纳
1． 圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆. 定点即为圆心，定长为半径.
2、圆的标准方程
① 圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得(x -a )+(y -b )=r 2(r >0)，其中圆心坐标为(a , b )，22
半径为r ；当a =0, b =0时，即圆心在原点时圆的标准方程为x 2+y 2=r 2；
② 圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。
3、圆的一般方程
①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，x 2+y 2+Dx +Ey +F =0D 2+E 2-4F >0； ()
② 圆的一般方程的特点：（1）x 2, y 2项系数相等且不为0；（2）没有xy 这样的二次项
③ 二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的必要条件是A =C ≠0且B =0； 二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是A =C ≠0且B =0且
D 2+E 2-4AF >0
4、圆方程之间的互化
x +y +Dx +Ey +F =0(D +E -4F >0)⇔2222配方D ⎫⎛E ⎫D 2+E 2-4F ⎛即圆心 x +⎪+ x +⎪=2⎭⎝2⎭4⎝22
1E ⎫⎛D D 2+E 2-4F -，-⎪，半径r =22⎭⎝2
5、确定圆方程的条件
圆的标准方程、圆的一般方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。如已知条件中涉及圆心与半径有关等条件，一般设圆的标准方程，即列出a , b , r 的方程组，求出a , b , r 的值，也可根据圆的特点直接求出圆心(a , b )，半径r 。当圆心位置不能确定时，往往选择圆的一般方程形式，由已知条件列出D , E , F 的三个方程，显然前者解的是三元二次方程组，后者解的是三元一次方程组，在运算上显然设一般式比标准式要简单。
6、点与圆的位置关系
设圆C :(x -a )+(y -b )=r 2，点M (x 0, y 0)到圆心的距离为d ，则有： (1)d >r ⇔点M 在圆外； 22
(2)d =r ⇔点M 在圆上； (3)d
7、直线与圆的位置关系
设圆C :(x -a )+(y -b )=r 2，直线l 的方程为Ax +By +C =0（A , B 不全为0），圆心(a , b )，判别式为△，则有：
(1) 几何特征（数形结合）：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小来判断
① d r ⇔直线与圆相离；
(2) 代数特征：由直线方程与圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系
① △＞0⇔有两组不同的实数解⇔ 直线与圆相交；
② △=0⇔有两组相同的实数解⇔ 直线与圆相切；
③ △＜0⇔无实数解⇔ 直线与圆相离.
(3) 直线与圆相交的弦长问题
①直线与圆相切时，要考虑过切点与切线垂直的半径； 22
②求弦长时，要用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，即设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则有⎛l ⎫22 ⎪+d =r . ⎝2⎭
③弦长公式：设直线交圆于A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)，则AB =+k AB ⋅x A -x B 或AB =+221⋅y A -y B . k 2
(4) 圆的切线方程：
① 设切点公式法：已知圆O 1:x 2+y 2=r 2；O 2:(x -a )+(y -b )=r 2； 22
D (x +x 0)E (y +y 0)++F =0. 22
②设切线斜率用判别式法：用点斜式写出直线方程并与圆方程联立方程组，消x （y ），再用判别式∆=0解O 3:x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则以M (x 0, y 0)为切点的圆O 1切线方程为：x 0x +y 0y =r 2；圆O 2切线方程为：(x 0-a )(x -a )+(y 0-b )(y -b )=r 2；圆O 3切线方程为xx 0+yy 0+出切线斜率k ；若点在圆上，切线一条，点在圆内无切线，点在圆外，有两条切线；对切线斜率不存在的情况，可单独考虑。
③设切线斜率用圆心到切线距离等于圆的半径法
④若M (x 0, y 0)在圆O 1外，到圆O 1有两条切线，若切点分别为A ，B ，则切点弦AB 的方程：x 0x +y 0y =r 2.
9．圆与圆的位置关系
设圆C 1:(x -a )+(y -b )=r 2，C 2:(x -m )+(y -n )=R 2且设两圆圆心距为d . 2222
(1) 几何特征（数形结合）：由圆心距与半径r 、R 的大小来判断
① d =R +r ⇔两圆外切；
② d =R -r ⇔两圆内切且两圆的连心线过切点；
③ d >R +r ⇔两圆外离；
④ d
⑤ R -r
(2) 代数特征：由两圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系
① △＞0⇔有两组不同的实数解⇔ 两圆相交；
② △=0⇔有两组相同的实数解⇔ 两圆相切；
③ △＜0⇔无实数解⇔ 两圆相离.
10．两圆的公切线
① 两圆相离时，四条公切线； ② 两圆相外切时，有三条公切线；
③ 两圆相交时，有两条公切线； ④两圆相内切时，有一条公切线；
⑤ 两圆内含时，无公切线。
11．圆系方程
① 设两相交圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0
C 1:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0
则C 3:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1) =0(λ≠-1)表示过两圆交点的圆(不包括C 2) ；
当λ=-1时(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +F 1-F 2=0表示两圆的公共弦所在的直线方程.
②x +y +Dx +Ey +F +λ(ax +by +c )=0表示过圆x +y +Dx +Ey +F =0与直线2222
ax +by +c =0交点的圆.
③ (x -a )+(y -b )=k 2(k 为变数）表示以(a , b )为圆心的同心圆系。 22
④ 端点圆方程：一个圆的直径的端点是A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)，则(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0为端点圆方程。
二、有关圆问题的注意事项
1．在用待定系数法求圆方程时，一定要注意分析已知条件中圆的特点及规律，并能运用数形结合的思想，即利用平面知识充分挖掘其几何特征，联立待定系数的方程组，使问题简单化。
2．在讨论直线与圆，圆与圆的位置问题时，一般不用∆>0, ∆=0, ∆
3．要重视基本思想、方法、规律：如数形结合的思想、化归的思想、分类讨论的思想、函数与不等式的思想、待定系数法等.