合作博弈论和库存管理:《博弈论》看哪一本
摘要：在生产和运输最终产品或服务的过程中在供应商、制造商、分销商、零售商和客户当中的信息流和材料、产品关系的协调是供应链管理的重要内容。为了进一步减少成本和提高客户服务水平，集中库存管理是值得研究的。在本文中，我们回顾在集中库存管理系统中的博弈论。此外，我们引进一个新的集中库存的模型：多客户分布网络。
关键词：博弈论 合作博弈 集中库存管理 库存模型
引言
供给链的主要特点是：连锁的公司是努力优化他们独立目标的独立角色，他们的决策也的确会影响供给链中的其他公司的效益。这些企业决策的互动需要行为的协调，因此博弈论是非常适合解决这些互动的。供应链管理一个重要的内容是如何做好公司或零售商的库存管理。库存管理出现在20世纪初，第一篇关于库存管理的数学模型论文由Harris完成。大多数情况下，库存管理的目标是减少由库存系统产生的每单位的时间成本，同时保证服务的预先指定的最低水平。运用合作博弈论解决库存管理的论文近几年已近出现。即使这是个年轻的领域，但是也存在一些相关的文献了。在本文中，我们回顾这些文献,此外，我们将引进和研究一个分析在多客户分布网络中的合作问题的模型。
一、确定库存情况的合作
假设存在[n]个代理，[N=1,...,n]，他们都面临经济生产数量（EPQ）的问题和短缺。带有短缺问题的EPQ模型中，假设代理商卖的是一种特定的商品。他在单位时间内必须完成的需求量为[didi≥0]，这种商品每单位保存成本记为[hi(hi>0)]。每份订单的固定成本记为[a],代理商[i]假设存在不能及时完成需求量的可能性，允许商品的短缺。单位时间内单位商品的短缺成本记为[si>0]，在一个确定固定的时间（不是一般性，我们假设从零开始）下，单位时间内收到的商品记为[ri]。我们认为[ri>di]，否则这个模型没有任何意义。代理商[i]的替代率记为[ri]。代理商必须选择一个大小为[Qi]的订单和一个最大化短缺量[Mi]来使他的库存成本实现最小化，由下列公式可得
[CQi,Mi=adiQi+hiQi1-diri-Mi22Qi1-diri+siM2i2Qi1-diri]
用初等的数学方法，可得
[Qi=2adihi1-dirihi+sisi,Mi=2adihishi+si1-diri]
而且，通过用[mi=diQi]作为最优的订单数，可得
[CQi,Mi=2ami][]
现在我们认为在集合S中的代理商决定一起下订单来节约部分订单成本。所以单位时间内他们为一份订单花费的是[a],而不是[Sa]。为了把单位时间内平均库存管理成本最小化，代理商们必须协调他们的订单，所以对于所有的代理商都有[Q*idi=Q*jdj]，[Q*j,Q*i]分别表示代理商[i]和代理商[j]的最优产量。然后，单位时间内的平均总成本可以写成如下
[CQi,Mjj∈s=ad1Q1+12j∈shjdjd1Q11-djrj-2Mj+12j∈shj+sjd1M2jdjQ11-djrj]
通过使用标准差分析技术，最优最小值[C]可得
[Q*i=2ad2ij∈sdjhjsjhj+sj1-djrj,M*i=Q*ihi1-djrjhi+si]
对于所有的[i]都成立，而且
[CQ*1,M*jj∈s=2aj∈sm2j]
我们注意到最小成本仅依赖于参数[a]和代理商的最优订单数[mi]。因此，为了计算最小成本，我们假设每个代理商的最优价值[mi]，然后，多个代理商的库存成本情况可以描述为[N,a,m]，[m=mii∈N,mi]是代理商不合作的情况下，单位时间内的最优数量。
对于每个库存管理成本[N,a,m]，我们可以设置为库存成本博弈[N,c]，对于每个联盟[S≠φ,cS=2ams,ms=i∈sm2i,cφ=0]。我们注意到了对于每个[S?N,c2S=i∈sc2i]，库存博弈完全是通过定义个人成本来描述的。事实上，我们现在提出了这一类的成本分摊规则：订购份额的成本规则，简称SOC规则。这个规则提出代理商[i]要支付他自己控股和股票的成本、与他投入成正比的固定订单成本[m2i]。
通过计算，SOC规则可以写成如下形式
[SOCiN,c=c2ij∈Nc2jcN=c2icN]
[N,a,m]是库存成本情况，[N,c]是相关的库存成本博弈。
几个有缺点的EPQ模型已经从合作的角度上被研究了。Meca (2007)研究了一个有短缺的特殊的EPQ模型，这个模型中，当代理商下订单时可以得到暂时的折扣。这个合作的行为由订单成本和仓储设施决定。Federgruen（1992）、Anily和Haviv（2007）提出了另一个和库存管理相关的成本分配问题：交互联合补货模型。Federgruen（1992）表明这个合作博弈模型是凹函数。Dror和Hartman(2007)也认为这是个特殊的交互成本结构，正如Meca 等(2004)假设认为的：代理商总是通过EOQ政策手段把订单集合起来。后来，张（2009）表明在POT策略下，相互联合补货博弈模型中存在联合成本函数。
最后，Bernstein 等(2009)分析了类似于日本丰田公司的生产系统。基于这个模型，他们研究了一个知识共享网络的利益问题。这种网络的主要目标是在供应商中共享信息和知识，供应商之间的知识转移可以通过两个阶段。第一阶段，他们会分析在他们EOQ中如何通过投资来减少安装成本。对于这种知识共享的类型，我们可以考虑分享知识（像丰田），这样使所有的供应商减少他们的固定安装成本。在第二阶段，很多供应商都会向固定安装成本最小的供应商学习。供应商之间的知识转移通过固定安装成本最小化的博弈建立起了模型。在这个框架中，Bernstein 等(2009)发现在合作供应商之间，知识共享是可行的。
二、随机库存情况的合作