【开放探索型判断说理题】 探索万物之理

　　开放探索型判断说理题是由开放探索型问题和判断说理型问题综合而形成的新型试题，已成为各地中考命题的热点.这类问题所给条件或结论不明确、解题方向不确定、条件（或结论）不止一种，要求考生依据条件探索结论的存在性或多样性，或是给出某一结论，或是探索出使这一结论成立的条件是否存在，然后再说明其存在或不存在的理由.
　　一、条件开放探索型判断说理题
　　条件开放探索型判断说理题是指结论已经给出，要求探索能够使所给结论成立的条件.有了正确的答案，说理一般都比较容易.
　　图1
　　例1 （2011福建漳州）如图1，∠B=∠D，请在不添加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE并证明.
　　分析 因为题目中已经具备条件∠B=∠D，又∠A为公共角，要使得△ABC≌△ADE，需要添加的肯定是一组相等线段，从而可以得到三种方案，随着添加的相等线段的不同，得到的说理方法也不同.
　　解 方案1：添加的条件是AB=AD.此时，在△ABC和△ADE中，∠B=∠D，
　　AB=AD，
　　∠A=∠A，所以△ABC≌△ADE（ASA）.
　　
　　方案2： 添加的条件是AC=AE.此时在△ABC和△ADE中，∠B=∠D，
　　∠A=∠A，
　　AC=AE，所以△ABC≌△ADE（AAS）.
　　方案3：添加的条件是BC=DE.此时，在△ABC和△ADE中，∠B=∠D，
　　∠A=∠A，
　　BC=DE，所以△ABC≌△ADE（AAS）.
　　点评 本题考查了同学们对全等三角形判定方法的掌握情况，判定三角形全等有四种方法，即SSS，SAS，ASA，AAS，要根据具体情况灵活选用.想一想：如果把条件中的“∠B=∠D”换为“AB=AD”，其他不变，应该怎么解决呢？请同学们试一试.
　　二、 结论开放探索型判断说理题
　　结论开放探索型判断说理题是根据给出的条件来寻求结论，但结论通常在两个以上.解答这类问题思路必须开阔，思维必须敏捷，要善于抓住题目的关键语句，采用各种变通的方法，进行横向联系和纵向比较，探索出问题的多种答案来，再进行判断说理.
　　例2 （2011湖北黄石）2011年6月4日，李娜获得法网公开赛的冠军，圆了中国人的网球梦，也在国内掀起一股网球热.某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题.小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸到的是白球，小明听讲座.
　　（1） 爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因；
　　（2） 若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，请问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利，说明理由.
　　分析 （1） 根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平；（2） 根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，再讨论x的不同取值引起的概率大小关系的变化，根据概率大的就有利，即可求得答案.
　　解 （1） ∵ P（小明胜）＝35，P（妹妹胜）＝25，∴ P（小明胜）≠P（妹妹胜），∴ 这个办法不公平； （2） 当x＞3时对小明有利，当x<3时对妹妹有利，当x＝3时游戏公平.
　　理由如下：∵ P（小明去）＝3x-35x-3，P（妹妹去）＝2x5x-3，∴ 由3x-35x-3=2x5x-3，有3x-3=2x，解得x＝3.∴ 当x＝3时摸球的结果对双方公平，即游戏公平；当3x-35x-3＞2x5x-3，即x＞3时摸球的结果对小明有利；当3x-35x-3<2x5x-3，即x<3时摸球的结果对妹妹有利.
　　点评 此题考查了概率公式的应用和游戏公平性的判定.一个游戏规则是否公平，关键是看游戏双方获胜的概率（或得分）是否相等，若相等则公平，否则不公平.另外，如果要设计公平的新规则，一般方案不唯一，只要使两者获胜的概率（得分）相等即可.
　　三、 存在型开放探索判断说理问题
　　存在型开放探索判断说理问题通常以“是否存在”的形式设问，答案有两种可能：或存在，需要找出来；或不存在，需要说明为什么不存在.解决这类问题的一般思路是先假设所探索的结论是存在的，并把它当作已知条件，结合题设进行探索、归纳、推理、计算，如果能求出合理的结果，则说明假设成立.如果不能得到合理的结果或得到与题设、实际生活相矛盾的结果，则表明假设不成立，探求的结论不存在，从而作出正确的判断.无论最终结论是否存在，解题时都要求考生对作出的判断进行正确的说理.
　　图2
　　例3 （2011甘肃兰州）如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2 cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D4，-23.
　　（1） 求抛物线的表达式.
　　（2） 如果点P由点A出发，沿AB边以2 cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，沿BC边以1 cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设S=PQ2（cm2）.① 试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；② 当S取54时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由.
　　（3） 在抛物线的对称轴上求点M，使得M到点D、A的距离之差最大，求出点M的坐标.
　　分析 （1） 求出A、B两点的坐标后，将A、B、D三点坐标代入y=ax2+bx+c，求出a，b，c的值；（2） ① 用含t的代数式表示BP、BQ后，再用勾股定理求出S的解析式；② 根据S=54即可解出t的值，进而得出P、B、Q的坐标.然后先假设R点存在，根据P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，分类求出R点的坐标，再验证R点是否在抛物线上；（3） 利用对称将点A转化到与点D在对称轴的同一边，再利用三角形两边的差小于第三边判断出点M与点B、D在同一直线上时，差才最大，再利用一次函数求出点M的坐标.
　　解 （1） 由题意得A（0，-2），B（2，-2），又抛物线y=ax2+bx+c过点A，∴ c=-2.再把B、D两点的坐标代入，由4a+2b-2=-2,
　　16a+4b-2=-23，解得a=16,
　　b=-13.
　　∴ 抛物线的解析式为y=16x2-13x-2.
　　（2） ① S=PQ2=BP2+BQ2=(2-2t)2+t2=5t2-8t+4（0≤t≤1）；② 由5t2-8t+4=54，解得t=12或t=1110（不合题意，舍去），此时，P（1，-2），B（2，-2），Q2，-32.假设存在点R, 使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，则R3，-32或1，-52或1，-32，代入抛物线解析式检验可知，只有点R3，-32在抛物线上，所以抛物线上存在点R3，-32，使得以点P、B、Q、 R为顶点的四边形是平行四边形.
　　
　　图3
　　（3） 过点B、D的直线交抛物线对称轴于点M，则该点即为所求.因为如在对称轴上另取一点N，则ND-NA=ND-NB 点评 本题综合考查了方程（组）、函数、勾股定理、平行四边形、三角形等知识，分类讨论、数形结合、方程等数学思想方法. 本题中既有肯定存在，也有否定存在，具有一定的代表性.解决这类问题要注意：（1） 在求一次函数或二次函数的解析式时采用待定系数法是基本方法；（2） 以已知三点为平行四边形的三个顶点，求第四个顶点坐标的问题，常常要分类讨论，应注意分类的标准统一，不重复不漏解，在求第四个顶点的坐标时，一般采用平移的方法；（3） 解决像本题的点M到D、A的距离之差最大的问题，通常转化为三角形三边之间的关系来处理.