[二重积分中值定理的推广]二重积分的中值定理推广
第２７卷第２期２０１１年４月
忻州师范学院学报
ＪＯＵＲＮＡＬ
０Ｆ
ＸＩＮＺＨＯＵ
ＴＥＡＣＨＥＲＳ
ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
Ｖ０１．２７Ｎｏ．２
Ａｐｒ．２０１１
二重积分中值定理的推广
殷风．王鹏飞
（忻州师范学院，山西忻州０３４０００）
摘要：文章从二重积分中值定理的基本形式和几何意义出发，找出二重积分中值定理成立的必要条件，将二重积分中值定理的连续性条件减弱为可积性和界值性，讨论了二重积分中值定理，：手・ｌ用界值性给出了二重积分中值定理的推广形式。进一步在二重积分中值定理函数连续性的基础上，增加了函数对两个变量的单调性（单调递增，单调递减），给出了二重积分中值定理的其它的推广形式，最后给出二重积分中值定理特殊情形，即定积分中值定理的推广
形式。
关键词：介值性；单调性；二重积分；中值定理的推广中图分类号：０１７２．２
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７１—１４９１（２０１１）０２—００１５一０２
ｌ问题的提出
二重积分中值定理在微积分中有着非常广泛的应用，文献［１—２］给出了二重积分中值定理基本形式．文献［３—４］给出了二重积分中值定理的推广形式，二重积分中值定理描述如下。
定理ｌ若函数八算，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上连续，函数ｇ（ｚ，Ｙ）在Ｄ上可积且不变号，则存在一点（ｆ，，７）ＥＤ，使得：
连续减弱为函数八五，，，）在有界闭区域Ｄ上可积且有介值性的条件下给出二重积分中值定理。
２
引理和二Ｉ积分中值定理的推广定义ｌ
函数八茗。Ｙ）在有界闭区域Ｄ上介值性是指：若
八髫Ｉ，），Ｉ）≠以善２，Ｙ２），（算ｌ，Ｙ１），（聋２，Ｙ２）ＥＤ，则对于介于八髫．，Ｙ。）以茗：，托）之间的数ｋ，比存在介于（石。，ｙ。），（茗：，扎）之间的点（ｆ，叼）使得八ｆ，１＇／）＝ｋ。
引理１
设函数以聋，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上可积，且
Ｄ，使得
肌ｚ，ｙ）ｇ（ｘ，Ｙ）ｄｘｄｙ＝“ｆ，刀）』ｇ（名，），）ｄｘｄｙ。
．ｔＤ／
葛
注释：定理中的以茗，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上连续减弱为以茗，，，）在有界闭区域Ｄ上可积时，定理不一定成立，但对一些可积的不连续函数，却有上面的结论。
例：设尺：［０≤鼻≤ｌ，０≤Ｙ≤１］，Ｖ（石，Ｙ）∈Ｒ，定义函
Ｊ肌茹，Ｙ）ｄｘｄｙ＞０，则至少存在Ｄ的一个子区域盯Ｅ
葛
以算，，，）＞０，（石，ｙ）Ｅ盯。
引理２引理３
设函数以石，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上可积，则八石，
），）在有界闭区域Ｄ上的连续点稠密。
设函数以并，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上可积。且八ｚ，
数ｇ（茗，ｙ）＝口，口为常数八石，ｙ）＝ｆ！’ｚ尹ｙ，则以算，，，）在尺
ｔＯ．石２Ｙ
ｙ）＞０，则肌茗，，，）ｄｘｄｙ＞０。
葛
上可积但不连续，易知ＪＩｆ（ｘ，），）ａｄｘｄｙ＝０，所以取（ｆ＝’７）Ｅ
篇
尺Ｊ肌戈，Ｙ）ａｄｘｄｙ＝０＝八ｆ，叼）ＪＪａｄｘｄｙ。
篇
篇
Ｅ
定理２若函数八并，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上可积，且有介
值性，函数ｇ（ｘ，Ｙ）在Ｄ上可积且不变号，则存在一点（ｆ，ｒ／）
由上述可知在二重积分中值定理中函数八髫，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上连续是充分条件．而非必要条件，也就是说可以把条件减弱。又在二重积分中值定理的证明中只用到了连续函数以戈．Ｙ）的可积性和介值性．而函数的可积性和介值性
＝
Ｄ，使得：ｆ以茗，ｙ）ｇ（ｘ，Ｙ）ｄｘｄｙ＝八ｆ，叼）恬（髫。，，）ｄｘｄｙ。
为
苗
证明以苴．Ｙ）在有界闭区域Ｄ上可积，所以，
，
Ｍｉｎｆ以髫，，，）＝ｔｎ都存在。＿
并不一定要连续．本文在将函蚶（ｚ，Ｙ）在有界闭区域Ｄ上
收稿日期：２０１０一１２—２０
基金项目：忻州师范学院院基金资助项目（２００８０５）
当＾ｆ＝ｍ时以ｚ，Ｙ）为常数，任意一点（孝，田）ＥＤ都满
作者简介：殷凤（１９７９一）．女，山西五台人，忻州师范学院数学系讲师，硕士．从事数学分析教学与研究。
万方数据
１６
忻州师范学院学报
第２７卷
巧吼，ｙ）ｄｘｄｙ≤弘，，批ｙ）ｄｘｄｙ≤俨㈠力岫
Ｄ
Ｄ
Ｄ
若ｇ（埘）＝ｏ，由（１）知职Ⅵ）ｇ（茗，ｙ）ｄｘｄｙ＝０，
所以对任意一点（ｆ，叩）Ｅ
Ｄ都有弘膏，），）ｇ（茗，ｙ）ｄｘｄｙ＝
以ｆ，训砖（茗，ｙ）ｄ戈ｄｙ。
职Ｗ）ｇ（髫，ｙ）ｄｘｄｙ”当ｍ＜旦］ｉ面＜肘’由确界原理知’瞒气百洲鼽训）ｇ（茗，ｙ）ｄｘｄｙ
气百叫％¨洲弘训）ｇ（ｚ，ｙ）ｄｘｄｙ
Ｄ’使得鹏川卜气鬲ｙＩ献茹，
）ｇ（ｘ
，
皓＿ｈ
ｙ）ｄｘｄｙ’耳９舻
ｙ）ｇ（鼻，ｙ）ｄｘｄｙ＝以孝，叼）肛（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，
２）当量］面５
耿聋，，，）ｇ（茗，ｙ）ｄｘｄｙ
Ｊ｜Ｉｆ（ｍ）时’有巧（肘一，（毛
，，））ｇ（工，ｙ）ｄｘｄｙ＝ｏ，又因为肛（善，ｙ）ｄｘｄｙ＞ｏ，由引理１知０≤盯（ＪＩｆ一八ｚ，ｙ））ｇ（石，ｙ）ｄｘｄｙ≤盯（Ｊ｜Ｉ，一以互，，，））ｇ（石，ｙ）ｄｚｄｙ＝ｏ，所以盯（材一以工，），））ｇ（茗，ｙ）ｄｘｄｙ＝ｏ，即存在（ｆ，ｙ））ｇ（工，ｙ）＞ｏ，（ｆ，可）Ｅ矿由引理３知Ⅱ（＾ｆ一以工，ｙ））ｇ（ｚ，
综上所述存在一点（ｆ，１，）Ｅ
Ｄ，使得：肛工，ｙ）ｇ（王。
ｙ）ｄｘｄｙ＝八ｆ，１，）肛（茗，ｙ）ｄｘｄｙ。
万方数据
值性，则存在一点（ｆ，叼）Ｅ
Ｄ，使得：肌ｘ，），）ｄｘｄｙ＝八ｆ，
．ｔＤｌ
’，）Ｓ（Ｄ），Ｓ（Ｄ）为区域Ｄ的面积。
若Ｄ＝［口，ｂ］×［ｃ，ｄ］，且八石，ｙ）ｇ（ｘ，Ｙ）＝
南“聋）ｇ（算），则有
推论２［５１若函数以茗）在［口，ｂ］上可积，且有介值性，函数ｇ（ｘ）在［口，ｂ］上可积且不变号，则存在一点ｆ∈［ｏ，
ｂ］，使得：Ｉ以ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝以ｆ）Ｉ
ｇ（茗）ｄｘ。
推论３【５３若函数八石）在［口，ｂ］上可积，且有介值性，
则存在一点ｆ∈［１１，ｂ］，使得ｌ八茗）ｄｘ＝以ｆ）（ｂ一口）。
定理３
若函数八石，ｙ）在区域［Ⅱ，ｂ］×［ｃ，ｄ］上为非负
的单调减函数，而函数ｇ（ｘ，ｙ）为可积函数，则至少存在一点
（ｆ，叼）Ｅ［口，ｂ］“ｃ，ｄ］，使得ＪＪ以ｘ，ｙ）ｇ（ｘ，Ｙ）ｄｙｄｘ＝以口，
ｃ）ｌＪｇ（ｘ，Ｙ）ｄｙｄｘ
定理４
若函数以ｘ，Ｙ）在区域［ｎ，ｂ］×［ｃ，ｄ］上为非负
的单调增函数，而函数ｇ（ｘ，Ｙ）为可积函数，则至少存在一点
（孝，＇７）Ｅ［ｎ，ｂ］×［ｃ，ｄ］，使得ＩＪ以算，ｙ）ｇ（膏，Ｙ）ｄｙｄｘ＝八ｂ，
ｄ）上上ｇ（茗，ｙ）ｄｙｄｘ
定理５
若函数八聋，Ｙ）在区域［口，ｂ］×［ｃ，ｄ］上为非负
的单调函数，而函数ｇ（ｘ，Ｙ）为可积函数，则至少存在一点
（ｆ，’，）Ｅ［口，ｂ］“ｃ，ｄ］，使得ＩＩ以鼻，ｙ）ｇ（ｘ，ｙ）ｄｙｄｘ＝以口，
ｃ、毫ｔ小。ｙ）ｄｙｄｘ＋ｆ（ｂｍ毫￡ｇｋｙ）ｄｙｄｘ
若定理３，４，５中的“互，Ｙ）ｓ以ｘ），且在［口，ｂ］上为单调函数时，ｇ（ｘ，Ｙ）ｓｇ（ｘ）为可积函数时，有定积分中值定理
的三种推广形式，即Ｊ以ｘ）ｇ（ｚ）以＝，（口）ｌ
ｇ（戈）ｄｘ，
．６■
一
上八毒）ｇ（名）ｄｘ＝以６）Ｊｆｇ（鼻）ｄｘ，
上八ｚ）ｇ（聋）出＝
“口）Ｊ｜ｎ
ｇ（石）出＋以ｂ）Ｊ．ｇ（ｘ）ｄｘ
Ｊｔ
推论ｌ
若函数以ｘ，ｙ）在有界闭区域Ｄ连续，且关于鼻，
Ｙ具有相同单调性，函数ｇ（ｘ。，，）在Ｄ上可积且不变号，则存在一点（ｆ，叼）∈Ｄ，有：
弘Ⅵ）ｇ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝以孝，田）肛（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ
推论２
若函数厂（工，），）在有界闭区域Ｄ连续，且关于工，
，，具有相同单词性，函数ｇ（ｘ，ｙ）＝ｌ则存在一点（ｆ，刀）Ｅ
Ｄ，
有：Ｊ献ｘ，ｙ）ｇ（工，ｙ）ｄｘｄｙ＝以孝，田）ｓ（Ｄ），Ｓ（Ｄ）为区域Ｄ的
苗
面积。
若函数八工，ｙ）ｚ八鼻）在有界闭，连续，且关于工具有单调性，函数ｇ（ｘ，），）ｚ１则存在一点ｆＥ，，有：瞰工）ｄｘ＝
’
八ｆ）￡（，），￡（，）为区域，的长度。
（下转第３０页）
忻州师范学院学报
第２７卷
ＴｈｅＲｅｄｕｃｔｉｏｎＴｈｏｕｇｈｔｉｓ
Ｓｏｌｖｅｔｈｅ
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ＰｏｗｅｒｆｕｌＬｅｖｅｒ
ｔｏ
ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＰｒｏｂｌｅｍｓ
ＳＯＮＧＹｕｎ・－ｆｅｎｇ
（ＸｉｎｚｈｏｕＳｕｂｓｉｄｉａｒｙＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｇｅｏｆＦｏｒｅｉｇｎＬａｎｇｕａｇｅｓＳｃｈｏｏｌ，Ｘｉｎｚｈｏｕ０３４０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｒｅｄｕｃｔｉｏｎｔｈｏｕｇｈｔｉｎｇ
ｗａｙ
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ｔｈｅｔｈｏｕｇｈｔｏｆｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｎｇ，ｓｅｅｎ
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ｔｈｏｕｇｈｔ，ｉｓ
ｔｈｅｂａｓｉｃａｎｄｅｓｓｅｎｔｉａｌｔｈｉｎｋ・
ｉｎｓｅｎｉｏｒｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ｗｈｉｃｈｓｐｒｅａｄｓｉｎｔｏａｌｌｆｉｅｌｄｓｏｆ
ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
ｔｅａｃｈｉｎｇａｎｄｖａｒｉｏｕｓｓｔａｇｅｓｏｆｓｏｌｖｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ
ｇｅｏｍｅｔｒｙ。ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ａｎａｌｙｔｉｃｉｔｙｏｆａｎａｌｙｔｉｃｇｅｏｍｅｔｒｙ，Ｔｈｅ
ｅｓｓａｙ
ｇｅｏｍｅｔｒｙ，ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｗｉｔｈｔｈｅｈｅｌｐｏｆｆｅａｔｕｒｅｓ，ｇｒａｐｈｉｃｓ，ａｎｄｆｏ珊ｕｌ∞ｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄｔｈｅｓｉｍｐｌｉｃ・
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ｈｉｄｄｅｎｂｅｈｉｎｄｔｈｅｋｎｏｗｌｅｄｇｅｉｔｓｅｌｆ
ｍａｋｅｉｔｃｌｅａｒｅｒａｎｄｅａｓｉｅｒ
ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒｅｄｕｃｔｉｏｎｔｈｏｕｇｈｔ；ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｆｕｎｃｔｉｏｎ
生生誓‘，ｋｊＩ‘●簟囊坐－叠—｝■｝螺坐ｊｋ＿■｝★●—｝●业ｊＩ■—ｋ■｝螺＿■｝—譬●●■ｔ业簟坐坐ｊｋ－坐峰－坐●■｝业
（上接第１６页）
邹成．二重积分中值定理的推广［Ｊ］．石河子大学学报，２００６，２４（５）：６４７—６４９．［５］
李衍禧．积分第一中值定理的推广［Ｊ］．数学的实践与认识。２００ｒ７，３７（９）：２０３—２０６．［６］
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（‘责编：唐晓燕）
参考文献：［１］
华东师范大学数学系．数学分析（下册）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９９１．［２］
刘玉琏，等．数学分析讲义（下册）（４版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００５．［３］
刘
［４］
淼．关于二重积分中值定理的推广［Ｊ］．伊犁师范
学院学报，２００２，（４）：８０—８２．
ＴｈｅＥｘｔｅｎｓｉｏｎｏｆＤｏｕｂｌｅＩｎｔｅｇｒａｌ
Ｍｅａｎ
ＶａｌｕｅＴｈｅｏｒｅｍ
ＹＩＮＦｅｎｇ．ＷＡＮＧＰｅｎｇ—ｆｅｉ
（ＸｉｎｚｈｏｕＴｅａｃｈｅｒｓ
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ。ｆｒｏｍｔｈｅ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉｎｚｈｏｕ
０３４０００，Ｃｈｉｎａ）
ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｍｅａｎｉｎｇａｎｄｂａｓｉｃｆｏｒｍｏｆｔｈｅｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍｓｔａｒｔｉｎｇ，ａｎｅｃｅｓｓａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｆｏｒ
ｅｓｔａｂｌｉｓｈｍｅｎｔｏｆｔｈｅｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌｍｅａｎｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍ
ｖａｌｕｅ
ｗａ￥ｆｏｕｎｄ．Ｔｈｅ
ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｉｓｗｅａｋｅｎｅｄ
ｔｏｔｈｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｗｉｔｈｉｎｔｅｒ－
ｍｅｄｉａｔｅｐｒｏｐｅｒｔｙｉｎｔｈｅｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌｍｅａｎｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍ，ｔｈｅｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌｍｅｇｎｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍＷａｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ｔｈｅｇｅｎｅｒａｌ・
ｏｎ
ｉｚｅｄｆｏｒｍａｔ
ｏｆｔｈｅｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌｍｅａｎｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍｉｓｇｉｖｅｎｂｙｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｖａｌｕｅｐｒｏｐｅｒｔｙ．Ｆｕｒｔｈｅｒ
ｏｎ
ｔｈｅｂａｓｉｓ
ｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ
ｏｆｔｈｅｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌｍｅａｎｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍ。ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｏｆｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎ
ｔｗｏ
ｖａｒｉａｂｌｅｓｉｓｉｎｃｒｅａｓｅｄ，（ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ，ｍｏｎｏｔｏｎｉｃ
ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇ），ｔｈｅｏｔｈｅｒｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｆｏｒｍａｔｏｆｔｈｅｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌｍｅａｎｖａｌｕｅｔｈｅｏｍｍｉｓｇｉｖｅｎ．Ｉｎｔｈｅｌａｓｔｓｐｅｃｉａｌ
Ｆ“ｍｅａｎｖａｌｕｅＫｅｙ
ｃ躐ｏｆｔｈｅ
ｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅ－
ｔｈｅｏｒｅｍｉｓｇｉｖｅｎｔｈｅｅｘｔｅｎｓｉｏｎｏｆＩｎｔｅｇｒａｌｍｅａｎｖａｌｕｅｖａｌｕｅ
ｔｈｅｏｒｅｍ．
ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｏｆｍｅａｎｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍ
ｗｏｒｄｓ：ｉｎｔｅｒｍｅｄｉａｔｅｐｒｏｐｅｒｔｙ；ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｔｙ；ｄｏｕｂｌｅ
ｉｎｔｅｇｒａｌ；ｔｈｅ
万方数据
二重积分中值定理的推广
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
殷凤， 王鹏飞， YIN Feng， WANG Peng-fei忻州师范学院,山西,忻州,034000
忻州师范学院学报
JOURNAL OF XINZHOU TEACHERS UNIVERSITY2011,27(2)
参考文献(6条)
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本文链接：.cn/Periodical_xzsfxyxb201102006.aspx