[基于时间满意度与服务效用的改进GMCLP研究] 效用函数u=xy怎么理解
【摘要】结合时间与服务效用，研究有容量限制的拥塞设施选址问题。从被服务者角度考察制约设施点覆盖水平的各种因素，由到达设施的时间给出时间满意度函数，由损失概率和平均等待时间给出服务效用函数，在综合考虑时间满意度与服务效用双重因素影响下建立改进的广义最大覆盖选址模型，并与基于时间满意的最大覆盖问题比较，考察对选址决策的影响与改进。
【关键词】时间满意度；服务效用；IGMCLP；拥塞设施选址
一、引 言
自Church和Revelle等于1974年提出了MCLP(Maximal Covering Location Problem)模型后，最大覆盖模型（MCLP）已被证明为是最有用的选址模型之一。但是MCLP存在一个缺陷——覆盖度的二元化假设，即任一节点i要么被完全覆盖，要么完全不被覆盖，这一假设通常会导致某些需求点被决策者放弃，但这往往是不合理的。Berman和Krass［1］于2002年提出的广义最大覆盖模型（GMCLP）弥补了这一缺陷，将覆盖度多元化，即定义为一个［0,1］之间的非增分段函数，在完全覆盖与不被覆盖之间提出了“部分覆盖”的观点，目标依然是使被覆盖节点的总权重达到最大。
近年来，国际上对拥塞设施选址问题的研究引起了广泛关注。目前，针对拥塞设施选址研究主要有两类模型，分别为覆盖模型和中位模型，已有文献多是利用MCLP或综合考虑其他因素的改进MCLP进行建模，还没有利用GMCLP进行建模。
另一方面，用传统的最大覆盖问题解决拥塞设施选址问题时，通常都只从决策者（提供服务者）的角度去考虑，没有考虑被服务者的选择条件与选择偏好。如有的服务设施建立在人口密度非常大的市中心，虽然覆盖的人口数很大，但是顾客在到达设施点的过程中经常会遇到拥堵，进入设施后又会出现排队等待，这些都是影响顾客是否选择该设施点的因素，很可能会导致部分顾客因设施拥塞而改选其他位置稍远但交通便利、顾客较少的设施点。服务设施的实际有效覆盖度并没有预期的大。
本文基于M/M/1/k排队系统，研究有容量限制的拥塞设施选址问题，从被服务者角度考察制约设施点覆盖水平的各种因素，由到达设施的时间给出时间满意度函数，由设施因拥塞而导致损失的概率和等待时间给出服务效用函数，在综合考虑时间满意度与服务效用双重因素影响下建立改进的广义最大覆盖选址模型（Improve Generalized Maximal Covering Location Problem—IGMCLP），目标是使设施的有效覆盖度达到最大。
二、模型的建立
1时间满意度函数
设tij表示从需求点i到设施点j所用时间，tij的大小受路况、出行时间的影响，往往不是一个固定值，令Dj表示在道路最拥堵情况下，到达设施j的时间上限，Lj表示最畅通情况下到达设施j的时间下限，Lj≤Dj，f(tij)为顾客对到达时间的满意度水平，它是一个［0,1］之间的非增函数。当tijDj时,满意度水平降为0；当Lj≤tij≤Dj时，f(tij)可以有多种定义形式，最常用的形式是凹凸分布曲线，即f(tij)=1-tij-LjDj-Ljα,(α>0)（2。1。1），α是正的时间敏感系数。敏感系数的大小受个人偏好的影响，所以确定α的取值应根据所面向的服务对象而定。
2基于M/M/1/k排队系统的服务效用函数
在这里假设每个设施j是一个服务台，有容量限制kj，即每个设施都可看成M/M/1/kj排队系统。顾客流是参数为λ的Poisson流，λ为单位时间内平均到达的顾客数；在任意时刻t，系统中的顾客数N(t)服从泊松分布；1μ为每个顾客的平均服务时间，ρ=λμ为系统的服务强度。
因为有容量限制，所以设施j中的顾客数量达到kj时，下一个到来的顾客将自动离开，称Pjkj为“损失概率”。如果设施j正处于忙期，顾客i在选择设施j后将进入排队等待状态，服务时间包括等待时间和服务进行时间。设服务时间为Fij，等待时间为Wij，服务进行时间为sij，则上述关系可以表示为Fij=Wij+Sij。系统的平均服务时间为Fj=Wj+Sj=Wj+1μ，则顾客i选择设施j后所产生的消耗为(1-pjkj)Fj，同时也会产生一个效用值，该效用值与消耗成反比。为把效用值控制在［0,1］范围内，采用降对数Sigmoid函数形式定义服务效用函数，即Uj=11+eβ(1-pjkj)Fj，j∈J（2。2。1），β为正的服务效用敏感系数，当β较小时，效用值随消耗的增加而下降的幅度不大；反之，则下降幅度较大。服务设施j一经建立后，设施容量即可确定，平均等待时间由平均队长决定，它恰好体现了设施的拥塞程度，也决定着设施的服务质量。
3IGMCLP模型的建立
假设一个服务网络G=(I,E)，I是节点集合(|I|=n)，E是边集合，并设J为候选设施点集合(|J|=m）。每个节点i∈N都对应一个权重wi，可以是人口密度，也可以是呼叫服务频数。
在该网络中，对每个需求点i，不同的设施点j对应不同的到达时间。如果按照到达时间的升序排列，每个点i对应一个多重时间集合：0…>f(tijm)≥0。又由于每个设施点j的容量规模和面向的顾客类型、密度不同，所以每个设施j所提供的服务质量有所不同。由不同的服务质量产生了不同的服务效用值，如果按照效用值的降序排列，每个需求点i又对应一个多重效用值集合：1≥Uij′ 1>Uij′ 2>…>Uij′ m≥0。显然，序列j1,j2,…,jm与序列j′ 1,j′ 2,…,j′ m有可能完全不同。因此，本文综合考虑到达时间与服务效用获得两个方面的因素来定义覆盖度，目标是使有效覆盖度达到最大。
对i∈I，每一j∈J对i产生两个函数值，即f(tij)与Uij，因此j对i的覆盖水平定义为线性加权组合aij=θ1f(tij)+θ2Uij,θ1,θ2>0，θ1+θ2=1（2。3。1），θ1,θ2是权重系数，aij∈［0,1］。θ1,θ2刚好体现了顾客的选择偏好，若θ1>θ2，则认为到达时间比服务质量重要；反之，则认为服务效用的获得更重要。对某一需求点i，所有j∈J对i产生一个覆盖水平序列：1≥aij1>aij2>…>aijm≥0，我们将序列j1,j2,…,jm分别对应于覆盖级别1,2,…,m，进而得到覆盖级别序列：1≥a1i>a2i>…>ami≥0。