【数理统计与概率 极限定理】概率定理

极限定理

极限定理是概率与数理统计学的基本理论之一。其中有两个重要的极限定理-------“大数定律”和“中心极限定理”。通常，把叙述在什么条件下，一随机变量序列的算术平均值（按某种意义）收敛于某数的定理称为“大数定律”，而把在什么条件下，大量的随机变量之和具有近似于正态分布的定理归为“中心极限定理”。

一、大数定律

先介绍两个定义：

定义1. 设ξ。。。，ξn ，。。。为一列随机变量，若存在随机变量ξ1，ξ2，，

使得任意ε>0，有

|ξn -

ξ|≥ε

）=0 或等价于

ξn -ξ|

则称随机变量序列{ξn }依概率收敛于随机变量ξ，并记作：

ξ

n ξ

显然ξn ξ与ξn - ξ是等价的。

定义2. 设{ξn }为一随机变量序列，E （ξn ）（n ≥1）存在，若 ∑ξ

i =1n i

n -0 则称{ξn }服从大数定律

定理1. （马尔可夫大数定律）设{ξn }是一随机变量序列，若成立

定理2. （贝努里大数定律）设μn 是n 重贝努里试验中事件A 发生的次数，而p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对任意ε>0，都有：

|

μn - p|

定理3. （辛钦大数定律）设{ξn }为一相互独立同分布的随机变量序列，且数学期望存在：E （ξi ）=a，则对任意的ε>0，成立

1n |∑ξi -a |

变量，则当n 充分大时，算术平均值ξ1+ξ2+... +ξn

n 一定以接近于1的

概率落在真值a 的任意小的领域内。据此，如果要测定一个物体某指标值a ，可以独立重复地测量n 次，得到一组数据：x 1，x 2，... ，x n ，当n 充分大时，可以确信：a ≈x 1+x 2+... +x n n

辛钦大数定律也是数理统计学中参数估计理论的基础。