立体几何中的轨迹和最值问题:立体几何的轨迹问题

立体几何中轨迹和最值问题

高三数学组 梅向平 2011、11、30

在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化。对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题。对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性。

立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题。其一般方法有：

1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值； 2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均

值定理等，求出最值。

一、轨迹问题

【例1】 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC . 则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( )

D

A ． B ． C ． D ．

解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、

BD . 设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG 。由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC . 又∵EG ∥SB

∴EG ⊥AC

∴AC ⊥平面EFG ，

∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE . 另解：本题可用排除法快速求解。B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ；

C 中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 成π

4

角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在

的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为锐角，显然也不满足PE ⊥AC 。

评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形。不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型。这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹。

【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、

DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BDD 1.

(2) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P (3) 正方体ABCD —A 1B 111A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是(4) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为3 3

，它的长度是 .

C 1

1

1

C 1

A A 1

A A E C

C

A

(1)

(2)

(3)

(4)

若将“在正方体的侧面BCC 3

1B 1上到点A 3

的点的集合”改为“在正方体表面上

与点A 23

3

的点的集合” 那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 .

【例3】 (1)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C C 1

1D 1的距离相等，则动点P 的轨

迹所在的曲线是 ( D ) A A ． A 直线 B ．圆 C ．双曲线 D ．抛物线

变式：若将“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等”改为“P 到直C

线BC 与直线C 1D 1的距离之比为1：2(或2：1) ”， 则动点P 的轨

迹所在的曲线是 椭圆 (双曲线).

(2)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂

直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 (A )

l

A . 一条直线 B ．一个圆 C ．一个椭圆 D ．双曲线的一支 A

解：设l 与l "是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个α 平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面B C 与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面

内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A .

D C 1

(3)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 在棱AB 上，A 1 B 1

且AM 1

3

点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差

为1，则点P 的轨迹为 抛物线 .

C (4)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段A P

M MN 点一个端点M 在DD D B

C 1

1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上

运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积A

1 B 为 πM 1

3 2 【例4】 若三棱锥A -BCD 的侧面ABC

内一动点P 到底面BCD D C

的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形A N

3

B 3 可能是：( D )

B A

B

C

D

【例5】 四棱锥P -ABCD ，AD ⊥面P AB ，BC ⊥面P AB ，底面ABCD 为梯形，

AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是( )

A ．圆 B ．不完整的圆 C ．抛物线 D ．抛物线的一部分 分析：∵AD ⊥面P AB ，BC ⊥平面P AB ∴AD ∥BC 且AD ⊥P A ，CB ⊥PB P ∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPB

C ∴AD CB

P A =PB ∴PB =2P A

A 在平面APB 内，以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (-3，0) 、B (3，0) ，设P (x ，y )(y ≠0)，则(x -3) 2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)

即(x +5)2+y 2=16(y ≠0) ∴P 的轨迹是(B ) 二、最值问题

【例6】 将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 (C )

A ． 3+26 3 B ． 2 3 C ．4+ 26 3 D 46 3

【例7】 用一张钢板制作一个容积为4 m 3的无盖长方体水箱. 可用的长方形钢板有四种不同的规格(长×宽的尺寸如选项所示，单位均为m ) 若既要够用，又要所剩最少，则应选择钢板的规格是( )

A .2×5 B .2×5.5 C .2×6.1 D .3×5

【例8】 如图，在边长为a 的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．

解析: 设容器的高为x ．则容器底面正三角形的边长为a －2

3x ,(0

23

∴V (x

34x (a －3x ) 2

=3

4

x 3－43ax 2+a 2x )

求导数，V ′(x )= 3

4x 2－83ax +a 2)

令V ′(x )=0得x 33

1= 18 ，x 2= 6

，

当0

18 a 时，V ′(x )>0，V (x ) 单调递增；

当3 18

时，V ′(x )

18

a 时，V (x ) 最大

3a 3

故当容器的高为D 1 C 1

18 a 时，容器的容积最大，其最大容积为54

A 1

【例9】 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B B 上存在一点P ，使得AP +D 1

1P 最小，最小值是。

分析：将等腰直角三角形AA 1B 沿A 1B 折起至A ′AB ，使三角形

C

A ′AB 与四边形A 1BCD 1共面，连接A ′D 1，则A ′D 1的长即为AP +D 1P

的最小值。

A

A ′D 1=1+1-2×1×1×cos(90°+45°)=2

D 1

C 1

【例10】 如图，在直三棱柱ABC －A A 1

1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 12，P 是BC 1上一动点，′B 1

则CP ＋P A 1的最小值是_____

C 解：连A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开与△A 1BC 1在同一个平面内，A ′

如图所示，连A

1C ，则A 1C 的长度就是所求的最小值。通过计算可

A

得∠A 1C 1C ＝90︒又∠BC 1C ＝45︒

A C

∴∠A B

C

1C 1C ＝135︒

由余弦定理可求得A 1C ＝52

【例11】 如图，正三棱锥P —ABC 有一个半

P 径为R 的内切球，求所有这样的正三棱锥中体积A 1 C 1

最小的正三棱锥的体积。

C 1解：设正三棱锥的底边边长为x ，高为h (h >2R )

A 1

1

则AD =3x ，PD =h 213) 2

232h 2+x 212

由V P -ABC =V O -ABC +3V O -CBP 得S △ABC ·h =S △ABC ·R +3S △PBC ·R ∴S △ABC (h －R )=3S △PBC ·R

∴342(h －R 12h 2+122·R A O

E

∴x (h －R )= 12h +x R

C 平方得，(h －R ) 2x 2=(12h 2+x 2) R 2 2

B ∴x 2=12R h 2

h －2Rh

1321312R 2∴三棱锥的体积V (h )=34x h =34h 2h 2

h －2Rh =h －2R 3R 2

3R 2[4R +(h －2R )+4R

2h －2R

R 2[4R+4R ]

(等号成立当且仅当h －2R =4R 2

h －2R

h =4R 时)

∴当h =4R 时，三棱锥体积最大，最大值为8R 2。