[我·孩子·三角函数] 特殊三角函数

　　课上讲解这样一道题：毛毛用一根1米长的铁丝围了一个三角形，量得三角形的一边是米，另一边是米。第三条边长是多少米？这是一个什么三角形？　　一生板书：　　1－－=（米），答：第三条边长是米，这是一个等腰三角形。
　　师：同意吗？
　　生：我认为应该补上=这一比较的过程，说明有两条边相等。
　　师：不错，现在可以得满分了吗？
　　生（众）：可以。
　　生1：为什么不比较与，写上＜。
　　（生众笑）
　　师：大家为什么笑呢？
　　生（齐）：没有意义，≠，没有比较的必要。
　　生1（仍有疑惑）：可能它是一个锐角三角形呢？
　　生2：比较边的关系，怎么可能得出角的关系呢？
　　孩子们七嘴八舌地议论：观察比较边的关系能不能得出角的大小关系。显然生1成为众矢之的。也许他朴素的“是否能从边的长度判断角的大小，以确定三角形角的特征？”的思考在大多数学生的知识结构中已成为无法接纳的知识点。生1是个聪明的孩子，我完全相信他认可“等腰三角形”的答案，他思考的问题远在其他同学之上。三角形三条边的长度一旦确定，该三角形的形状也就唯一了，那么三个内角必然也是确定的，从这个角度分析能否从边的长度求出内角的大小，或知道内角、边中任意几个条件求出另一些内角的大小或边的长度是完全有可能的。这正是三角函数思想的最初萌芽，值得保护啊！只是生1的表达欠缺了些，需要再给个机会让生1说得明白些。
　　师：能不能把你的想法再说得清楚些吗？
　　生1：我的意思是比较边的长度只能判断出它是等腰三角形，那么从角度考虑它会是什么三角形呢？
　　师（我想我得帮助他一下）：你的意思是，既然这个三角形三条边都知道了，那么这个三角形的形状也就确定了，所以角度也应该确定了，是吗？
　　生1：对，我就是这个意思。角度确定就肯定能判断是什么三角形。我还画了图。
　　生1（上黑板边画图边讲）：当等腰三角形的底边小于一条腰的长度时，应该是锐角三角形；当底边等于腰的长度时就是等边三角形,也是锐角三角形；当底边的长度大于腰的长度时，有时是直角三角形，有时是钝角三角形。（见下图）
　　（不出我所料，我决定推波助澜。）
　　师：对呀，一个三角形三条边都知道了，它的形状也就确定了，那么有什么理由不能判断三个内角的特点呢？刚才生1小心地说“可能它是一个锐角三角形”。现在看着图我们可以肯定地说这个三角形不仅仅是等腰三角形，也是——
　　生（齐）：锐角三角形！
　　学生都沉默了，也许他们认识到了，再也不敢小觑生1了。
　　大约半分钟后，有学生兴奋地喊：“画图验证一下。米=25厘米，米=37.5厘米……”
　　我明显地感觉到学生的眼睛亮了，那是思维黑暗中的一点亮光。可是大部分学生没有马上动手画图，大家的脸上又浮出为难的神情。
　　生：画图是可以，但太麻烦了，每遇到一个问题都画图吗？而且如果不能化成整数、小数怎么办？
　　生：对呀，而且可能产生误差，如果有一个角是89度，画出来很可能看成是90度的直角。
　　师：不错，想到画图是很了不起的，数形结合很重要（我曾经和他们讲过毕达哥拉斯学派的故事）。但是数学是严密的，光靠图还不行，大家没有听了画图的建议后马上画图，说明大家已学会了思辨，这很好。
　　此时，学生真的沉默了，教室里万分寂静，静得能听到他们思维的声音。这确实是一个复杂的问题，是不是需要向他们介绍三角函数呢？如果要介绍该怎样说呢？我迅速地思考：“课堂是什么？它不应该只是数学知识的授受之所，也不仅仅是数学方法与经验的交流之地。好的课堂应该是一扇窗户，打开这扇窗，孩子们可以洞察这门学科更多的奥秘，获得对这门学科更多的憧憬与向往。”看着下面教学内容不是很紧，于是我准备试着与学生交流。
　　师：哪种三角形通过边能判断角的大小？
　　生：等边三角形。
　　师：对，如果一个三角形三条边相等，如都是3分米，那么你知道这个三角形是什么三角形吗？
　　生：三个内角都是60度，是锐角三角形。
　　师：这是一个特殊的三角形，刚才生1还给大家画了图，这给我们思考这个问题打开了思路，提供了方向。你还知道哪些呢？
　　（大约又过了半分钟）
　　生：我父母和我讲过什么勾三股四弦五。说一个三角形的边长分别是3、4、5的话，这个三角形肯定是直角三角形！
　　师：噢，是这样吗？
　　此时，学生早已按捺不住激动的心情开始画图验证起来。不一会儿，有很多人喊了起来。
　　“对的。”
　　“我还发现边长为6、8、10的三角形也是直角三角形。”
　　“还有12、16、20。”
　　“我发现一个规律，三角形三条边分别是3、4、5的倍数。”
　　“而且倍数相同，就一定是直角三角形。”
　　“也就是把3、4、5同时扩大相同的倍数。”
　　……
　　此时，我发现有很多同学已不满足这些，拿出一副三角板开始研究边长的特点是否和内角存在着某种关系。看着他们那浓厚的兴趣，我想让他们研究一整天都不会累。此时，他们是否真的能研究出什么来已经不重要了，重要的是他们有了研究的意识，有了研究的激情，保持这种学习数学的热情比什么都重要。
　　在他们津津乐道于他们对三角板的发现时，我在黑板上写下了下面的内容。
　　1.勾股定理
　　ab×4+（a-b）2=c2
　　2ab+a2-2ab+b2=c2
　　a2+b2=c2
　　任何一个三角形三条边a、b、c，若满足a2+b2=c2，则这个三角形必定是一个直角三角形。
　　2.余弦定理
　　cosα=，其中a、b为∠α的夹边，c为∠α的对边,α=arccosα。
　　我简单地介绍了勾股定理、余弦定理。学生睁大着惊讶的双眼、张大了夸张的嘴巴听着。
　　“同学们，也许数学家们一开始也像生1一样提出了疑问，经过无数数学家几百年甚至几千年的努力，终于找到了边和角之间的关系，从而改变了数学发展史，丰富了数学文化。也许你们一开始还在笑生1的幼稚提问，可现在你的心情又是怎样的呢？（我发现学生个个神情严肃）
　　“啪啪啪啪……”突然，掌声响起，久久地回荡在教室里。这掌声是给生1的，更是给这些思考着的可爱学生的。
　　“好课，不仅仅在于教师精湛的教学技艺，更在于发自教师内心自然流淌着的数学素养，并把学科素养转化为教学影响力的智慧。”今天，我和孩子们在山脚下迈开了攀登“三角函数”这座大山的第一步，明天，我相信会有孩子站在“三角函数”这座大山的顶峰！