从“特例入手”分析和解答高考数学北京卷创新题_2018年高考数学试卷

　　【摘要】 “由特殊到一般”是人类认识新事物的普遍规律,本文是站在“特例入手”的角度,力求贴近中学教学的实际和学生接受的能力与水平,对2010、2011年数学高考北京卷最后一道解答题的分析和解答,供参考和借鉴.
　　【关键词】 “特例入手” 北京卷最后一道解答题的分析和解答
　　【中图分类号】G642 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)06(b)-0119-01
　　近几年高考数学北京卷,最后一道解答题常常是在有限集合或有限数列的背景下附加“新定义、新运算”的创新题目,目的在于考查学生对数学定义阅读理解和数学运算的能力,严密的逻辑思维和推理论证能力,综合运用所学知识和方法解决问题的能力,形成了淡化解题技巧、突出数学思想方法的命题风格.这样,既增加了考生成绩的区分度,又对今后高中数学的教学和学习起到很好的导向作用,有利于学生从追求模式化的技巧和方法熟练运用的“题海”中解放出来,有利于教师从“题型”教学真正转变到重视学生的思维发展和注重培养提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力上来.
　　目前的高中数学教材中有关“新定义、新运算”的创新题目少之又少,即使在高考复习中,如何提高学生充分认识和分析进而解决这类题目的能力,也是一个新课题.笔者在欣赏这类题目的同时做了一定的思考,觉得就如何解决这类问题,还应从思维方法上找原因.依据“由特殊到一般,再由一般到特殊”的认识规律,应从特例入手寻找解决问题的突破口.通过对特例的演算、观察、类比、归纳,甚至猜想,以及对题目证明要求和解答暗示的分析,尽可能发现其规律性和一般性质,最终完成题目的推理论证过程.
　　下面是笔者站在“特例入手”的角度,力求贴近中学教学的实际和学生接受的能力与水平,对2010、2011年数学高考北京卷最后一道解答题的分析和解答,供参考和借鉴.
　　题目1(2011年北京卷理科20题)
　　若数列满足,则称为数列.记.
　　(Ⅰ)写出一个满足,且的数列;
　　(Ⅱ)若,,证明:数列是递增数列的充要条件是;
　　(Ⅲ)对任意给定的整数,是否存在首项为0的数列,使得？如果存在,写出一个满足条件的数列;如果不存在,说明理由.
　　分析:以为例,由于,所以或,从而或,为了更好表达数列,做树形图(右图):
　　树形图与杨辉三角比较相似,有一种自然美和对称美,自上而下按照“箭头”所指方向就可以构造一个首项为0的数列.仔细分析“特例”,不难发现数列有如下性质:
　　(1)对于给定的,数列共有个;
　　(2)存在唯一的单调递增与单调递减的数列;
　　(3)与的奇偶性相反,即如果为奇数,为偶数;为偶数,为奇数;
　　(4)的互不相同的值恰有个,如果从小到大排列,则构成一个公差为2的等差数列;
　　(5)奇数项取0,偶数项取1或-1的共有项的有限数列一定是一个首项为0的数列.
　　解答:(Ⅰ)从数形图可得满足的数列共有6个,依次为;;;;;.又因,所以正确的数列共有2个,分别为或(写出一个即可);
　　(Ⅱ)必要性:因为数列是递增数列,所以,
　　从而是首项为12,公差为1的等差数列,
　　得;
　　充分性:由于,
　　,
　　,
　　所以,
　　又因为,所以,等号成立的条件是,
　　所以数列是递增数列;
　　综上,若,,则数列是递增数列的充要条件是;
　　(Ⅲ)(1)当时,由于奇数项取0,偶数项取1或-1的共有项的有限数列一定是一个首项为0的数列,所以存在首项为0的数列的项满足,,(或,)()时,使得;
　　(2)当时,由于奇数项取0,偶数项取1或-1的共有项的有限数列一定是一个首项为0的数列,所以存在首项为0的数列的项满足,,(或,)(),时,使得;
　　(3)当时,不存在存在首项为0的数列,使得.
　　理由如下:由于首项为0的数列的奇数项为偶数,偶数项为奇数,所以当时,共有项为偶数,项为奇数,从而一定是奇数,不可能为0;
　　(4)当时,不存在存在首项为0的数列,使得.
　　理由如下:由于首项为0的数列的奇数项为偶数,偶数项为奇数,所以当时,共有项为偶数,项为奇数,从而一定是奇数,不可能为0.