【可逆矩阵判定典型例题】 矩阵可逆

典型例题（二）方阵可逆的判定

例1 设A是n阶方阵, 试证下列各式：

（1）若|A|≠0, 则(AT)-1=(A-1)T

；

（2）若A、B都是n阶可逆矩阵, 则

(AB)*=B*A*

； （3）

(AT)*=(A*)T； （4）若|A|≠0, 则(A*)-1=(A-1)*

； （5）

(-A)*=(-1)n-1A*； （6）若|A|≠0, 则(Al)-1=(A-1)l

（l为自然数）； （7）

(kA)*=kn-1A*. 证 （1）因为|A|≠0, 故A是可逆矩阵, 且

AA-1

=E两边同时取转置可得

(AA-1)T=(A-1)TAT=(E)T=E

故由可逆矩阵的定义可知

(A-1)T是AT的逆矩阵. 即

(A-1)T=(AT)-1

（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有

(AB)*(AB)=|AB|E

另一方面

(B*A*)(AB)=B*(A*A)B=B*(|A|I)B

=|A|B*B=|A| |B|E=|AB|E

比较式（2-7）、（2-8）可知

(AB)*(AB)=(B*A*)(AB)

又因为A、B均可逆, 所以(AB)也可逆, 对上式两端右乘(AB)-1

可得

(AB)*=B*A*

（3）设 n

阶方阵A为

⎡aa12 a⎢11

1n⎤A=⎢a⎥⎢21a22 a2n⎥⎢ ⎥

⎢⎥aa⎥

⎣n1n2 ann⎦ 于是可得A的伴随矩阵A*

为

⎡AA⎢11

21 An1⎤A*=⎢A⎥⎢12A22 An2⎥⎢ ⎥

⎢⎥ ⎣AA⎥1n2n Ann注意到 ⎦A 的转置矩阵为

2-7）2-8） （

（

T

可推出A的伴随矩阵为

⎡a11⎢⎢a12

AT=⎢

⎢ ⎢a⎣1n

a21a22 a2n

A12A22 An2

an1⎤⎥an2⎥⎥ ⎥ann⎥⎦

*

比较A与(A)可知

T*

⎡A11⎢⎢A21

(AT)*=⎢

⎢ ⎢A⎣n1

*T

T*

A1n⎤⎥A2n⎥⎥ ⎥Ann⎥⎦

(A)=(A)

*-1|A|≠0AA （4）因为, 故A可逆, A的逆矩阵为, 并且由A=|A|E可知

-1-1*-1-1|A|≠0A(A)=|A|E可得 A由于, 可逆且

1

(A-1)*=A

|A|

另一方面, 由

A*=|A|A-1

A*(A-1)*=|A|A-1

*

由矩阵可逆的定义知, A可逆, 并且

*-1

-1*

1

A=E|A|

(A)=(A)

（5）对于（3）给出的矩阵A, 有

-a12⎡-a11

⎢

-a22⎢-a21

-A=⎢

⎢

⎢-a-an2⎣n1

即

a1j-1 -ai-1j-1-ai+1j-1

-anj-1

-a1n⎤

⎥-a2n⎥

⎥ ⎥-ann⎥⎦

-aij

的代数余子式为

-a11

(-1)

i+j

-a1j+1 -ai-1j+1-ai+1j+1

-anj+1

-a1n -ai-1n-ai+1n -ann

-ai-11-ai+11 -an1

故

=(-1)

n-1

Aij (i,j=1, 2, , n)

⎡(-1)n-1A11(-1)n-1A21 (-1)n-1An1⎤⎢⎥n-1n-1n-1

(-1)A22 (-1)An2⎥⎢(-1)A12n-1*

(-A)*=⎢⎥=(-1)A

⎢⎥⎢⎥n-1n-1n-1(-1)A(-1)A (-1)A1n2nnn⎦⎣

（6）因为|A|≠0, 故A可逆, 并且

l-1-1-1-1-1-1l(A)=(AA A)=AA A=(A)

l个 l个 （7）对于（3）给出的矩阵A, 有

ka11 ka1n⎤⎡ka11

⎢⎥kaka ka⎢21222n⎥kA=⎢⎥

⎢⎥⎢kakan2 kann⎥n1⎣⎦

kaijkn-1Aij

类似于（5）可知的代数余子式为, 故

**T

例2 设A是n阶非零矩阵, 并且A的伴随矩阵A满足A=A, 证明A是可逆矩阵. 证 根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式, 有

*T

反证, 假设A不可逆, 故有|A|=0, 由上式及条件A=A, 有

AA*=AAT=O （2-6）

设矩阵A为

a12 a1n⎤⎡a11

⎢⎥aa a⎢21222n⎥A=⎢⎥

⎢⎥⎢aan2 ann⎥n1⎣⎦

由式（2-6）可知

a12 a1n⎤⎡a11a21 an1⎤⎡a11

⎢⎥⎢⎥aa aaa a⎢21222n⎥⎢1222n2⎥

AAT=⎢ ⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢a⎢aan2 ann⎥a2n ann⎥n11n⎣⎦⎣⎦

nn

⎡n2⎤

aaa aa⎢1i1i2i1ini⎥i=1i=1i=1⎢⎥nnn⎢⎥2

aaa aa2i1i2i2ini⎥=O=⎢i=1i=1i=1⎢⎥ ⎢n⎥nn⎢2⎥aaaa ani1ini2ini⎢⎥i=1i=1i=1⎣⎦

比较上式两边矩阵对角线上的元素有

AA*=A*A=|A|E

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑a

i=1

n

2ji

=0 (j=1, 2, , n)

故

aj1=aj2= =ajn=0 (j=1, 2, , n)

因此有A = O, 与A是n阶非零矩阵矛盾, 故A是可逆矩阵. 例3 设A、B都是n阶可逆矩阵, 证明：

(AB)-1=A-1B-1的充要条件是AB=BA

-1

证 必要性：因为(AB)

=A-1B-1=(BA)-1

(AB)(AB)-1(BA)=(AB)(BA)-1(BA) 因此

AB=BA 即

充分性：因为AB=BA, 故

(AB)-1=(BA)-1=A-1B-1.

T-1

|A|=1,A=A 例4 设A是一个n阶方阵, n为奇数, 且, 证明(I-A)不可逆.

T-1

证 因为A=A, 故

因此有

AAT=AA-1=E

所以

故E-A是不可逆矩阵.

-1

(E-A)求.

TT

|E-A|=|AA-A|=|A(A-E)|

T

=|A| |(A-E)|=|A-E|

=(-1)n|E-A|=-|E-A|

|E-A|=0

k

例5 设A是n阶方阵且对某个正整数k满足A=O, 证明E-A是可逆矩阵, 并

证 由于

k2k-1

1-x=(1-x)(1+x+x+ +x)

故对于方阵A的多项式, 仍有

k

注意到A=O, 故有

E-Ak=(E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)

因此(E-A)可逆, 并且

(E-A)(E+A+A2+ +Ak-1)=E (E-A)-1=E+A+A2+ +Ak-1

(A*)*是A的伴随矩阵A*的伴随矩阵, 证明：

例6 设A是

n(n>2)阶方阵,

2

**n-2(A)=|A|A； （1）

**(n-1)

（2）|(A)|=|A|.

证 （1）利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系, 有

即 从而有

*

AA*=|A|E

A*(A*)*=|A*|E

AA*(A*)*=|A|(A*)*=A[A*(A*)*]=|A*|A

对AA=|A|E两边取行列式, 有

*n-1

若A可逆, |A|≠0, 故|A|=|A|, 于是有

|AA*|=|A||A*|=||A|E|=|A|n

***|A|=0(A)=0, 仍有 A若A不可逆, 则, 的秩小于或等于1, 故

**n-2(A)=|A|A ****

A(A)=|A|E两边取行列式, 有 （2）对

********n|A(A)|=|A||(A)|=||A|E|=|A| *n-1|A|≠0|A|=|A|≠0, 于是可知 若A可逆, 所以, 从而有***n-1n-1n-1(n-1)

|(A)|=|A|=(|A|)=|A| **(n-1)2

若A不可逆, 则|(A)|=0=|A|

22

例7 设A、B是同阶方阵, 已知B是可逆矩阵, 且满足A+AB+B=O, 证明A和A+B都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵.

2

|A*|

(A)=A=|A|n-2A

A

**

22

A+AB=A(A+B)=-B 证 因为, 由于

2n2

|A(A+B)|=|A||A+B|=|-B|=(-1)|B|≠0

所以|A|≠0, |A+B|≠0

因而有 A,A+B可逆.

2-1

-(B)A(A+B)=E 由

2-1

由 -A(A+B)(B)=E

-12-1

(A+B)=-(B)A 可知

-12-1

可知A=-(A+B)(B).

例8 设A、B均是n阶方阵, 且

-1

E+AB可逆, 则E+BA也可逆, 并且

-1

(E+BA)=E-B(E+AB)A

证 考察两个矩阵的乘积

因此(E+BA)可逆, 并且

(E+BA)(E-B(E+AB)-1A)=E+BA-B(E+AB)-1A-BAB(E+AB)-1A

-1-1

=E+BA-B[(E+AB)A+AB(E+AB)A]

-1

=E+BA-B(E+AB)(E+AB)A

=E+BA-BA=E

例9 设n阶矩阵A、B和A+B均可逆, 证明：

-1-1-1-1-1-1-1(A+B)=A(A+B)B=B(A+B)A A+B （1）也可逆, 且

-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1

(A+B)=A-A(A+B)A=B-B(A+B)B （2）

(E+BA)-1=E-B(E+AB)-1A

证 （1）因为

-1-1-1-1-1-1-1B

A+B=AA(A+B)BB=A(A+B)

两边取行列式有

-1-1-1-1|A+B|=|A||A+B||B|

-1

因为

-1-1

故 A+B是可逆矩阵.

-1|A|≠0 A+BA、B、可逆, 故

|A-1+B-1|≠0

|B-1|≠0

|A+B|≠0所以有

(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=(E+B-1A)(A+B)-1B

-1-1-1

=(E+BA)[B(A+B)]

故

(A+B)

-1

-1-1

=A(A+B)-1B

=(E+B-1A)(E+B-1A)-1=E

同理可证 （2）因为

(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A.

(A+B)[A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1]=(A+B)[A-1-A-1A(A+B)-1BA-1]

-1

(A+B)=(A+B-B)A-1=AA-1=I

=A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1

=(A+B)[I-(A+B)-1B]A-1

故

同理可证

(A+B)-1=B-1-B-1(A-1+B-1)-1B-1.