【[名师原创]中考数学三轮冲刺:全真模拟试卷(22)及答案解析】 中考数学全真模拟试卷

中考模拟题22

总分120分120分钟

一．选择题（共8小题，每题3分）

1.若，则a与b（ ）

A． 互为相反数 B．a=b C．互为倒数 D． 互为负倒数

2.如图是由4个相同的正方体组成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）

A．

B． C． D．

D． （﹣2x3）2=﹣8x6 3．下列运算结果正确的是（ ） A． x2•x3=2x6 B．x3•（3x）2=9x5 C．x5÷x=2x5

4.不等式组的解集是（ ）

A． x＞﹣1 B．﹣1＜x＜2 C．x＜2 D． x＜﹣1或x＞2

5.如图，五边形ABCDE中，AB∥DE，BC⊥CD，∠1、∠2分别是与∠ABC、∠EDC相邻的外角，则∠1+∠2等于（ ）

A． 150° B．135° C．120° D． 90°

6.如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（ ）

A． 3 B．4 C．5 D．

7．已知点（2﹣a，3a）在第四象限，那么a的取值范围（ ）

A． 0＜a＜2 B．a＜0 C． a＞2 8 D． ﹣a＜a＜0

8．如图，已知点A的坐标为（，3），AB丄x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=（k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若AB=3BD，以点C为圆心，CA的倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是（ ）

A． 相离 B．相切

二．填空题（共6小题，每题3分）

9.计算：C 相交 = D． 以上都有可能

10．某百货商厦统计了今年第一季度化妆品的销售额：一月份为a元，二月份比一月份有所下降，降低的百分率为m，三月份在二月份的基础上以百分率n增长，则三月份化妆品的销售额为 ．

11．如图，点A（3，n）在双曲线y=上，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C．线段OA的垂直平分线交OC于点B，则点B的坐标为 ；△ABC的周长为 ．

12．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为 ．

13．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°到正方形AB′C′D′，图中重合部分的面积为 ．

14．已知：如图，过点C（2，1）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+4于B、A两点，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过坐标原点O，且顶点在矩形ADBC内（包括三边上），则a的取值范围是 ．

三．解答题（共10小题）

15.已知，求的值．

16．甲袋中有两个红球，分别标有数字1、2；乙袋中有两个白球，分别标有数字2、3．这些球除颜色和数字外完全相同．小明先从甲袋中随机摸出一个红球，再从乙袋中随机摸出一个白球．请画出树状图，并求摸得的两球数字和为奇数的概率．

17．清明节前，某班分成甲、乙两组去距离学校4km的烈士陵园扫墓．甲组步行，乙组骑自行车，他们同时从学校出发，结果乙组比甲组早20min到达目的地．已知骑自行车的速度是步行速度的2倍，试求步行的速度．

18．如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路，现新修一条路AC到公路l，小明测量出∠ACD=30°，∠ABD=45°，BC=50m，请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；参考数据：≈1.414，≈1.732）

19．如图所示，等边三角形ABC放置在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），反比例函数的图象经过点C．

（1）求点C的坐标及反比例函数的解析式．

（2）将等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，求n的值．

20．某校组织了主题为“让勤俭节约成为时尚”的电子小组作品征集活动，现从中随机抽取部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）求抽取了多少份作品；

（2）此次抽取的作品中等级为B的作品有 ，并补全条形统计图；

（3）若该校共征集到800份作品，请估计等级为A的作品约有多少份．

21．甲、乙两车都从A地前往B地，如图分别表示甲、乙两车离A地的距离S（千米）与时间t（分钟）的函数关系．已知甲车出发10分钟后乙车才出发，甲车中途因故停止行驶一段时间后按原速继续驶向B地，最终甲、乙两车同时到达B地，根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）甲、乙两车行驶时的速度分别为多少？

（2）乙车出发多少分钟后第一次与甲车相遇？

（3）甲车中途因故障停止行驶的时间为多少分钟？

22．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点做EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG、

CG

（1）求证：EG=CG；

（2）将图甲中△BEF绕B点旋转45°，如图乙所示，取DF的中点G，连接EG、CG．问（1）中的结论是否依然成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）（2）中的EG与CG互相垂直吗？为什么？

23．如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B坐标分别为（4，2）、（0，2），线段CD在于x轴上，CD=，点C从原点出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度向右平移，点D随着点C同时同速同方向运动，过点D作x轴的垂线交线段AB于点E、交OA于点G，连结CE交OA于点F． 设运动时间为t，当E点到达A点时，停止所有运动．

（1）求线段CE的长；

（2）记S为Rt△CDE与△ABO的重叠部分面积，试写出S关于t的函数关系式及t的取值范围；

（3）连结DF，①当t取何值时，有DF=CD？②直接写出△CDF的外接圆与OA相切时t的函数关系式．

中考模拟题22答案

一．选择题（共8小题）

1.．若，则a与b（ ）

互为负倒数 A． 互为相反数 B．a=b C．互为倒数 D．

考点： 倒数．

分析： 根据乘积是﹣1的两个数叫做互为负倒数解答．

解答： 解：∵a•=﹣1，

∴a与b互为负倒数．

故选D．

点评： 本题主要考查了互为负倒数的定义，是基础题．

2.如图是由4个相同的正方体组成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）

A．

B． C． D．

考点： 简单组合体的三视图．

分析： 根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．

解答： 解：从上面看三个正方形，

故选：A．

点评： 本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．

3.．下列运算结果正确的是（ ）

A． x2•x3=2x6 B．x3•（3x）2=9x5 C．x5÷x=2x5 D． （﹣2x3）2=﹣8x6

考点： 单项式乘单项式；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法． 专题： 计算题．

分析： A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；

B、先利用积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可作出判断；

C、利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断；

D、利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．

解答： 解：A、x2•x3=x5，本选项错误；

B、x3•（3x）2=x3•9x2=9x5，本选项正确；

C、x5÷x=x4，本选项错误；

D、（﹣2x3）2=4x6，本选项错误．

故选B．

点评： 此题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的乘法、除法，积的乘方及幂的乘方运算，熟练掌握法则是解本题的关键．

4.不等式组的解集是（ ）

A． x＞﹣1 B．﹣1＜x＜2 C．x＜2 D． x＜﹣1或x＞2

考点： 解一元一次不等式组．

分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

解答： 解：由①得，x＞﹣1，

由②得，x＜2，

∴原不等式组的解集是﹣1＜x＜2．

故选B．

点评： 主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

5.如图，五边形ABCDE中，AB∥DE，BC⊥CD，∠1、∠2分别是与∠ABC、∠EDC相邻的外角，则∠1+∠2等于（ ）

A． 150° B．135° C．120° D． 90°

考点： 平行线的性质．

分析： 连接BD，根据三角形内角和定理求出∠CBD+∠CDB，根据平行线的性质求出∠ABD+∠EDB，即可求出答案．

解答： 解：

连接BD，

∵BC⊥CD，

∴∠C=90°，

∴∠CBD+∠CDB=180°﹣90°=90°，

∵AB∥DE，

∴∠ABD+∠EDB=180°，

∴∠1+∠2=180°﹣∠ABC+180°﹣∠EDC

=360°﹣（∠ABC+∠EDC）

=360°﹣（∠ABD+∠CBD+∠EDB+∠CDB）

=360°﹣（90°+180°）

=90°，

故选D．

点评： 本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．

6.如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为（ ）

A． 3 B．4 C．5 D． 8

考点： 圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理．

专题： 计算题．

分析： 连接BC，由90度的圆周角所对的弦为直径，得到BC为圆A的直径，在直角三角形BOC中，由OB与OC的长，利用勾股定理求出BC的长，即可确定出圆A的半径．

解答： 解：连接BC，

∵∠BOC=90°，

∴BC为圆A的直径，即BC过圆心A，

在Rt△BOC中，OB=8，OC=6，

根据勾股定理得：BC=10，

则圆A的半径为5．

故选

C

点评： 此题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，以及勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．

7.已知点（2﹣a，3a）在第四象限，那么a的取值范围（ ）

A． 0＜a＜2 B．a＜0 C．a＞2 D． ﹣a＜a＜0

考点： 点的坐标；解一元一次不等式组．

分析： 点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数．

解答： 解：∵点（2﹣a，3a）在第四象限， ∴，

解得a＜0，

故选B．

点评： 坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求a的取值范围．

8.如图，已知点A的坐标为（，3），AB丄x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=（k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若AB=3BD，以点C为圆心，CA的倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是（ ）

A． 相离 B．相切 C．相交 D． 以上都有可能

考点： 反比例函数综合题．

专题： 压轴题．

分析： 根据A点的坐标为（，3）、AB=3BD，可以求得点D的坐标，从而得出反比例函数y=解析式，再根据A点坐标得出AO直线解析式，进而得出两图象的交点坐标，进而得出AC的长度，再利用直线与圆的位置关系得出答案．

解答： 解：∵已知点A的坐标为（，3），AB=3BD，

∴AB=3，BD=1，

∴D点的坐标为（，1），

∴反比例函数y=解析式为：

y=，

∴AO直线解析式为：y=kx， 3=k，

∴k=，

∴

y=x，

∴直线

y=x与反比例函数y=的交点坐标为：

x=±1，

∴C点的横坐标为1，纵坐标为，

过C点做CE垂直于OB于点E，

则CO=2，

∴AC=2﹣2，

∴CA的倍=（﹣1）， CE=，

∵（﹣1）﹣=﹣＞0，

∴该圆与x轴的位置关系是相交．

故选：C．

点评： 此题主要考查了直线与圆的位置关系以及反比例函数的性质以及直线与反比例函数交点坐标的求法，综合性较强得出AC的长是解决问题的关键．

二．填空题（共6小题）

9.计算：=

．

考点： 二次根式的混合运算．

分析： 首先对二次根式进行化简，然后计算二次根式的乘法，最后合并同类二次根式即可求解．

解答： 解：原式=（4+﹣12） =2+1﹣6

=﹣4+1．

故答案是：﹣4+1．

点评： 本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．

10.某百货商厦统计了今年第一季度化妆品的销售额：一月份为a元，二月份比一月份有所下降，降低的百分率为m，三月份在二月份的基础上以百分率n增长，则三月份化妆品的销售额为 a（1﹣m）（1+n） ．

考点： 列代数式．

分析： 先求出二月份的销售额，再在二月份的基础上求出三月份的销售额． 解答： 解：根据题意可知，二月份的销售额=（1﹣m）a，

三月份的销售额=（1﹣m）a（1+n）=a（1﹣m）（1+n）．

点评： 求二月份时，是把一月份看成单位1，求三月份时，是把二月份看成单位1．

11.如图，点A（3，n）在双曲线y=上，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C．线段OA的垂直平分线交OC于点B，则点B的坐标为 （，0） ；△ABC的周长为 4 ．

考点： 线段垂直平分线的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．

分析： 先求出点A的坐标，根据点的坐标的定义得到OC=3，AC=1，再根据线段垂直平分线的性质可知AB=OB，由此推出△ABC的周长=OC+AC，再设B（b，0），根据两点间的距离公式即可求出B点坐标．

解答： 解：∵点A（3，n）在双曲线y=上，

∴n==1，

∴A（3，1），

∴OC=3，AC=1．

∵OA的垂直平分线交OC于B，

∴AB=OB，

∴△ABC的周长=AB+BC+AC=OB+BC+AC=OC+AC=3+1=4；

设B（b，0），则b=，解得b=，

∴B（，0）．

故答案为：（，0），4．

点评： 本题考查的是线段垂直平分线的性质，先根据题意将求△AMC的周长转换成求OC+AC是解题的关键．

12.如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为 3 ．

考点： 垂径定理；勾股定理．

专题： 探究型．

分析： 作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长

解答： 解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，

∵AB=CD=8，

∴BM=DN=4，

∴OM=ON==3，

∵AB⊥CD，

∴∠DPB=90°，

∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，

∴∠OMP=∠ONP=90°

∴四边形MONP是矩形，

∵OM=ON，

∴四边形MONP是正方形，

∴OP=3．

故答案为：3．

点评： 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

13.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°到正方形AB′C′D′，图中重合部分的面积为

．

考点： 旋转的性质；正方形的性质．

分析： 根据题意可以推出△ADM≌△AB′M，所以重合部分的面积为2△ADM的面积，进而求出即可．

解答： 解：连接AM，连接DC′，

∵两个正方形的边长都为1，将其中一个固定不动，另一个绕顶点A旋转45°，

∴A，D，C′三点在一条直线上，

∴B′AC′=∠B′C′A=45°，

∴MD=C′D，

在Rt△ADM和Rt△AB′M中

∴Rt△ADM≌Rt△AB′M （HL），

∴DM=B′M，

设DM=x，

∴B′M=x，MC′=1﹣x，

∴x2+x2=（1﹣x）2，

解得：x=﹣1﹣（不合题意舍去）

或x=﹣1+，

∴四边形AB′MD的面积=2S△AC′M=2××1×（﹣1+）=，

点评： 本题考查了旋转的性质，正方形的性质定理、三角形的面积、全等三角形的判定和性质．解题关键在于求出DM=B′M的长度．

14.已知：如图，过点C（2，1）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+4于B、A两点，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过坐标原点O，且顶点在矩形ADBC内（包括三边上），则a的取值范围是

．

考点： 二次函数综合题．

分析： 由过点C（2，1）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+4于B、A两点，即可求得点A与B的坐标，继而求得点D的坐标，又由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过坐标原点O，且顶点在矩形ADBC内（包括三边上），可得a＜0，然后由|a|越大，开口越小，可得当顶点在顶点在AC上时，a最小，当顶点在顶点在BD上时，a最大，继而求得答案．

解答： 解：∵过点C（2，1）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y=﹣x+4于B、A两点，

∴点A（2，2），点B（3，1），

∵四边形ABCD是矩形，

∴D（3，2），

∵二次函数顶点y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过坐标原点O，且在矩形ADBC内（包括三边上），

∴a＜0，

∵|a|越大，开口越小，

即a越小，开口越小，

∴当顶点在顶点在AC上时，a最小，

设此时顶点坐标为（2，m），且1≤m≤2，

则二次函数的解析式为：y=a（x﹣2）2+m，

∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过坐标原点O，

∴a（0﹣2）2+m=0，

解得：a=﹣，

∴当m=2时，a最小，a=﹣；

∴当顶点在顶点在BD上时，a最大，

设此时顶点坐标为（3，n），且1≤n≤2，

则二次函数的解析式为：y=a（x﹣3）2+n，

∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过坐标原点O，

∴a（0﹣3）2+n=0，

解得：a=﹣，

∴当m=1时，a最大，a=﹣；

∴a的取值范围是：﹣≤a≤﹣．

故答案为：﹣≤a≤﹣．

点评： 此题考查了二次函数的性质、二次函数的解析式一般式与顶点式以及矩形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．

三．解答题（共10小题）

15.先化简，再求值：

考点：

专题：

分析：

可．

解答： ，其中x=2+． 分式的化简求值． 计算题． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即解：原式=×﹣×

=﹣

=， 当x=2+时，原式==﹣=﹣．

点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

16.甲袋中有两个红球，分别标有数字1、2；乙袋中有两个白球，分别标有数字2、3．这些球除颜色和数字外完全相同．小明先从甲袋中随机摸出一个红球，再从乙袋中随机摸出一个白球．请画出树状图，并求摸得的两球数字和为奇数的概率．

考点： 列表法与树状图法．

分析： 首先根据题意画树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出两球的数字和为奇数情况，利用概率公式即可求得答案．

解答： 解：画树形图得：

由树形图可知共有6种等可能的结果，数字和为奇数有2种，

若记所求事件为A，则P（A）=．

点评： 此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏地表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

17.清明节前，某班分成甲、乙两组去距离学校4km的烈士陵园扫墓．甲组步行，乙组骑自行车，他们同时从学校出发，结果乙组比甲组早20min到达目的地．已知骑自行车的速度是步行速度的2倍，试求步行的速度．

考点： 分式方程的应用．

分析： 首先设步行的速度为x km/h，表示出骑自行车速度为2xkm/h，再根据时间=路程÷速度表示出去距离学校4km的烈士陵园扫墓步行所用的时间与骑自行车所用时间，根据时间相差20min可得方程．

解答： 解：设步行的速度为x km/h，则骑自行车的速度为 2x km/h．由题意可得：

，

解这个方程得：x=6，

经检验x=6是方程得解．

答：步行的速度为 6km/h．

点评： 此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄懂题意，表示出步行所用时间与骑自行车所用时间．

18.如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路，现新修一条路AC到公路l，小明测量出∠ACD=30°，∠ABD=45°，BC=50m，请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；参考数据：≈1.414，≈1.732）

考点： 解直角三角形的应用．

分析： 根据AD=xm，得出BD=xm，进而利用解直角三角形的知识解决，注意运算的正确性．

解答： 解：假设AD=xm，

∵AD=xm，

∴BD=xm，

∵∠ACD=30°，∠ABD=45°，BC=50m，

∴tan30°

=∴=，

+1）≈68.3m．

此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知假设出AD的长度，进而表

是解决问题的关键． =， ∴AD=25（点评： 示出tan30°

=

19.如图所示，等边三角形ABC放置在平面直角坐标系中，已知A（0，0）、B（6，0），反比例函数的图象经过点C．

（1）求点C的坐标及反比例函数的解析式．

（2）将等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，求n的值．

考点： 反比例函数综合题．

分析： （1）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，设反比例函数的解析式为y=，根据等边三角形的知识求出AC和CD的长度，即可求出C点的坐标，把C点坐标代入反比例函数解析式求出k的值．

（2）若等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，则此时B点的横坐标即为6，求出纵坐标，即可求出n的值．

解答： 解：（1）过C点作CD⊥x轴，垂足为D，设反比例函数的解析式为y=， ∵△ABC是等边三角形，

∴AC=AB=6，∠CAB=60°，

∴AD=3，CD=sin60°×AC=×6=3，

∴点C坐标为（3，3），

∵反比例函数的图象经过点C，

∴k=9，

∴反比例函数的解析式y=；

（2）若等边△ABC向上平移n个单位，使点B恰好落在双曲线上，

则此时B点的横坐标为6，

即纵坐标

y==，也是向上平移n=．

点评： 本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及平移的相关知识，此题难度不大，是中考的常考点．

20.某校组织了主题为“让勤俭节约成为时尚”的电子小组作品征集活动，现从中随机抽取部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，并根据结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

（1）求抽取了多少份作品；

（2）此次抽取的作品中等级为B的作品有 48 ，并补全条形统计图；

（3）若该校共征集到800份作品，请估计等级为A的作品约有多少份．

考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

专题： 计算题．

分析： （1）根据C的人数除以占的百分比，得到抽取作品的总份数；

（2）由总份数减去其他份数，求出B的份数，补全条形统计图即可；

（3）求出A占的百分比，乘以800即可得到结果．

解答： 解：（1）根据题意得：30÷25%=120（份），

则抽取了120份作品；

（2）等级B的人数为120﹣（36+30+6）=48（份），

补全统计图，如图所示：

故答案为：48；

（3）根据题意得：800×=240（份），

则估计等级为A的作品约有240份．

点评： 此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．

21.甲、乙两车都从A地前往B地，如图分别表示甲、乙两车离A地的距离S（千米）与时间t（分钟）的函数关系．已知甲车出发10分钟后乙车才出发，甲车中途因故停止行驶一段

时间后按原速继续驶向B地，最终甲、乙两车同时到达B地，根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）甲、乙两车行驶时的速度分别为多少？

（2）乙车出发多少分钟后第一次与甲车相遇？

（3）甲车中途因故障停止行驶的时间为多少分钟？

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）分别根据速度=路程÷时间列式计算即可得解；

（2）方法一：观察图形可知，第一次相遇时，甲车停止，然后时间=路程÷速度列式计算即可得解；

方法二：设甲车离A地的距离S与时间t的函数解析式为s=kt+b（k≠0），利用待定系数法求出乙函数解析式，再令s=20求出相应的t的值，然后求解即可；

（3）求出甲继续行驶的时间，然后用总时间减去停止前后的时间，列式计算即可得解． 解答： 解：（1）v甲==（千米/分钟），

所以，甲车的速度是千米/每分钟；

v乙

==1（千米/分钟），

所以，乙车的速度是1千米/每分钟；

（2）方法一：∵t乙==20（分钟），

∴乙车出发20分钟后第一次与甲车相遇；

方法二：设甲车离A地的距离S与时间t的函数解析式为：s=kt+b（k≠0），

将点（10，0）（70，60）代入得：

解得，， ， 所以，s=t﹣10，

当s=20时，解得t=30，

∵甲车出发10分钟后乙车才出发，

∴30﹣10=20分钟，乙车出发20分钟后第一次与甲车相遇；

（3）∵t=（60﹣20）÷=30（分钟），

∵70﹣30﹣15=25（分钟），

∴甲车中途因故障停止行驶的时间为25分钟．

点评： 本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，待定系数法求一次函数解析式，读懂题目信息理解甲、乙两车的运动过程是解题的关键．

22.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点做EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG、

CG

（1）求证：EG=CG；

（2）将图甲中△BEF绕B点旋转45°，如图乙所示，取DF的中点G，连接EG、CG．问（1）中的结论是否依然成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）（2）中的EG与CG互相垂直吗？为什么？

考点： 四边形综合题．

分析： （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．

（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．

（3）利用（2）中等腰三角形“三线合一”的性质推知EG与CG互相垂直．

解答： （1）证明：如图甲，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DCF=90°，

∵在Rt△FCD中，G为DF的中点，

∴CG=FD，

同理，在Rt△DEF中，EG=FD，

∴CG=EG．

（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG．

证法一：如图乙①，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中，

，

∴△DAG≌△DCG（SAS），

∴AG=CG．

在△DMG与△FNG中，

，

∴△DMG≌△FNG（ASA），

∴MG=NG．

∵∠EAM=∠AEN=∠AMN=90°，

∴四边形AENM是矩形，

∴AM=EN．

在△AMG与△ENG中，

，

∴△AMG≌△ENG（SAS），

∴AG=EG，

∴EG=CG．

证法二：延长CG至M，使MG=CG，

连接MF，ME，EC，

在△DCG与△FMG中，

，

∴△DCG≌△FMG（SAS）．

∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，

∴MF∥CD∥AB，

∴EF⊥MF．

在Rt△MFE与Rt△CBE中，

，

∴△MFE≌△CBE（SAS），

∴∠MEF=∠CEB．

∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，

∴△MEC为直角三角形．

∵MG=CG，

∴EG=MC，

∴EG=CG．

（3）（2）中的EG与CG互相垂直．理由如下：

由（2）知，△MEC是等腰直角三角形．

∵G为CM中点，

∴EG⊥CG．

点评： 考查了四边形综合题，难度较大．作出辅助线是解决的关键．利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质．

23.如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．

考点： 二次函数综合题；平行四边形的判定与性质；坐标与图形变化-平移． 专题： 代数几何综合题；压轴题；待定系数法．

分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．设点M的横坐标为x，则求出MN=|x2﹣4x|；解方程|x2﹣4x|=3，求出x的值，即点M横坐标的值；

（3）设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），利用平移性质求出S的表达式：S=﹣（t﹣1）2+；当t=1时，s有最大值为．

解答： 解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．

∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx． ∴， 解得，

∴抛物线的表达式为：y=﹣x2+x．

（2）存在．

设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入，

求得k=，

∴直线OD解析式为y=x．

设点M的横坐标为x，则M（x， x），N（x，﹣ x2+

∴MN=|yM﹣yN|=|x﹣（﹣x2+x）|=|x2﹣4x|． x），

由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3． ∴|x2﹣4x|=3．

若x2﹣4x=3，整理得：4x2﹣12x﹣9=0，

解得：x=或x=；

若x2﹣4x=﹣3，整理得：4x2﹣12x+9=0，

解得：x=．

∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：或或．

（3）∵C（1，3），D（3，1）

∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=x．

如解答图所示，

设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．

设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；

设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．

设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），

则图中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t， +t），C′（1+t，3﹣t）．

设直线O′C′的解析式为y=3x+b，

将C′（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，

∴直线O′C′的解析式为y=3x﹣4t．

∴E（t，0）．

联立y=3x﹣4t与y=x，解得x=t，

∴P（t， t）．

过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=t．

∴S=S△OFQ﹣S△OEP=OF•FQ﹣OE•PG

=（1+t）（+t）﹣•t•t

=﹣（t﹣1）2+

当t=1时，S有最大值为．

∴S的最大值为．

点评： 本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第

（2）问中，解题关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法．

24.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B坐标分别为（4，2）、（0，2），线段CD在于x轴上，CD=，点C从原点出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度向右平移，点D随着点C同时同速同方向运动，过点D作x轴的垂线交线段AB于点E、交OA于点G，连结CE交OA于点F． 设运动时间为t，当E点到达A点时，停止所有运动．

（1）求线段CE的长；

（2）记S为Rt△CDE与△ABO的重叠部分面积，试写出S关于t的函数关系式及t的取值范围；

（3）连结DF，①当t取何值时，有DF=CD？②直接写出△CDF的外接圆与OA相切时t的函数关系式．

考点： 相似形综合题．

分析： （1）直接根据勾股定理求出CE的长即可；

（2）作FH⊥CD于H．，由AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD可知四边形ODEB是矩形，故可用t表示出AE及BE的长，由相似三角形的判定定理可得出△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG，由相似三角形的性质可用t表示出CF及EG的长，FH∥ED可得出=，故可求出HD的长，由三角形的面积公式可求出S与t的关系式；

（3）①由（2）知CF=t，当DF=CD时，作DK⊥CF于K，则CK=CF=t，CK=CDcos∠DCE，由此可得出t的值；

②先根据勾股定理求出OA的长，由（2）知HD=（﹣t），由相似三角形的判定定理得出Rt△AOB∽Rt△OFH，故=，由此可用t表示出OF的长，因为当△CDF的外接圆与OA相切时，则OF为切线，OD为割线，由切割线定理可知OF2=OC•OD，故可得出结论． 解答： 解：（1）∵在Rt△CDE中，CD=，DE=2，

∴CE===；

（2）如图1，作FH⊥CD于H．

∵AB∥OD，DE⊥OD，OB⊥OD，

∴四边形ODEB是矩形，

∴BE=OD，

∵OC=t，

∴BE=OD=OC+CD=t+，

∴AE=AB﹣BE=4﹣（t+）=﹣t，

∵AB∥OD，

∴△OCF∽△AEF，△ODG∽△AEG， ∴=

=，==，

又∵CF+EF=2.5，DG+EG=2， ∴=，=，

∴CF=t，EG=，

∴EF=CE﹣CF=2.5﹣t，

∵FH∥ED， ∴=，即HD=•CD=（﹣t），

∴S=EG•HD=××（﹣t）=（﹣t）2，

t的取值范围为：0≤t≤；

（3）①由（2）知CF=t，

如图2，当DF=CD时，如图作DK⊥CF于K，

则CK=CF=t，

∵CK=CDcos∠DCE，

∴t=×，

解得：t=；

∴当t=时，DF=CD；

②∵点A，B坐标分别为（4，2），（0，2），

∴AB=4，OB=2，

∴OA==2，

∵由（2）知HD=（﹣t），

∴OH=t+﹣（﹣t）=，

∵∠A+∠AOB=∠AOD+∠AOB=90°，

∴∠A=∠AOD，

∴Rt△AOB∽Rt△OFH， ∴=

=，

=，

解得

OF=，

∵当△CDF的外接圆与OA相切时，则OF为切线，OD为割线，

∴OF2=OC•OD，即（t）2=t（t+），得t=．

点评： 本题考查的是相似三角形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质及切割线定理，涉及面较广，难度较大．