正弦定理的r

正弦定理的r_正弦定理与余弦定理的证明

在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，则有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R 为三角形外接圆的半径） 正弦定理(Sine theorem) （1）已知三角形的两角与一边，解三角形 （2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形 （3）运用 a：b：c=sinA：sinB：sinC 解决角之间的转换关系 直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

证明 步骤 1 在锐角△ABC 中，设 BC=a，AC=b，AB=c。作 CH⊥AB 垂足为点 H CH=a· sinB CH=b· sinA ∴a· sinB=b· sinA 得到 a/sinA=b/sinB同理，在△ABC 中,b/sinB=c/sinC 步骤 2. 证明 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如图，任意三角形 ABC,作 ABC 的外接圆 O. 作直径 BD 交⊙O 于 D. 连接 DA. 因为在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90 度 因为在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等，所以∠D 等于∠ACB.所以 c/sinC=c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。

余弦定理的证明： 在任意△ABC 中 做 AD⊥BC. ∠C 所对的边为 c，∠B 所对的边为 b，∠A 所对的边为 a 则有 BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=(sinB*c)^2+a^2-2ac*cosB+(cosB)^2*c^2 b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

正弦定理的r_正弦定理和余弦定理(教师版)

寻找最适合自己的学习方法正弦定理和余弦定理1． 正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R，其中 R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR等形式，解决不同的三角形问题．2． 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形： cos A＝b2＋2cb2c－a2，cos B＝a2＋2ca2c－b2，cos C＝a2＋2ba2b－c2.3． S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝a4bRc＝12(a＋b＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R、r. 4． 在△ABC 中，已知 a、b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a＝bsin Absin A<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解[难点正本 疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A>B?a>b?sin A>sin B；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC；在锐角三角形中，cosA<sinB,cosA<sinC·2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．1． 在△ABC 中，若 A＝60°，a＝3，则sina＋b＋c A＋sin B＋sinC＝________.2． (2012·福建)已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．3． (2012·重庆)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos A＝35，cos B＝153，b＝3，则 c＝________. 4． (2011·课标全国)在△ABC 中，B＝60°，AC＝ 3，则 AB＋2BC 的最大值为________．1寻找最适合自己的学习方法5． 已知圆的半径为 4，a、b、c 为该圆的内接三角形的三边，若 abc＝16 2，则三角形的面积为( )A．2 2B．8 2C. 22 D. 2题型一 利用正弦定理解三角形 例 1 在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°.求角 A、C 和边 c.已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 a＝1，b＝ 3，A＋C＝2B，则 角 A 的大小为________． 题型二 利用余弦定理求解三角形 例 2 在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且ccooss CB＝－2ab＋c.(1)求角 B 的大小；(2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积．已知 A，B，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为 a，b，c，且 2cos2A2＋cos A＝0. (1)求角 A 的值； (2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．2寻找最适合自己的学习方法 题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用 例 3 (2012·课标全国)已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acos C＋ 3asin C－b－c＝0.(1)求 A；(2)若 a＝2，△ABC 的面积为 3，求 b，c.1.在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别是 a，b，c. (1)若 c＝2，C＝3π，且△ABC 的面积为 3，求 a，b 的值； (2)若 sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵c＝2，C＝π3， ∴由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C 得 a2＋b2－ab＝4. 又∵△ABC 的面积为 3， ∴12absin C＝ 3，ab＝4. 联立方程组???a2＋b2－ab＝4，??ab＝4， 解得 a＝2，b＝2. (2)由 sin C＋sin(B－A)＝sin 2A， 得 sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin Acos A， 即 2sin Bcos A＝2sin Acos A， ∴cos A·(sin A－sin B)＝0， ∴cos A＝0 或 sin A－sin B＝0， 当 cos A＝0 时，∵0<A<π， ∴A＝π2，△ABC 为直角三角形； 当 sin A－sin B＝0 时，得 sin B＝sin A，由正弦定理得 a＝b，即△ABC 为等腰三角形． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．3寻找最适合自己的学习方法2.(2011·浙江)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 sin A＋sin C＝ psin B (p∈R)，且 ac＝14b2. (1)当 p＝54，b＝1 时，求 a，c 的值；(2)若角 B 为锐角，求 p 的取值范围．?a＋c＝54， ? 解 (1)由题设并由正弦定理，得?ac＝14，??a＝1， 解得???c＝14或???a＝14， ??c＝1.(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B ＝p2b2－12b2－12b2cos B， 即 p2＝32＋12cos B.因为 0<cos B<1，所以 p2∈??32，2??，由题设知p>0，所以6 2 <p<2.3.(2012·辽宁)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.角 A，B，C 成等差数列． (1)求 cos B 的值； (2)边 a，b，c 成等比数列，求 sin Asin C 的值．题型四 三角形形状的判定 典例：(12 分)在△ABC 中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC 的形状．A 级 课时对点练(时间：40 分钟 满分：60 分)4寻找最适合自己的学习方法一、选择题(本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分) 1．在△ABC 中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则 c＝()A．5 2B．10 2解析：由正弦定理得：10 6 C. 3D．5 6sin1600°＝sinc45°，10× ∴c＝32 2 ＝1036 .2答案：C2．(2010·茂名调研)已知 a，b，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角 C 的大小为()A．60°B．90°C．120°D．150°解析：由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab 得(a＋b)2－c2＝ab.c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C.∴cos C＝－12，C＝120°.答案：C3．在△ABC 中，已知 sin Acos B＝sin C，那么△ABC 一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解析：利用正弦定理、余弦定理把已知转化为三边关系，可得 b2＋c2＝a2，因此 A＝90°.答案：A4．△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC 的面积等于()3 A. 23 B. 4C. 23或 3D.23或3 4解析：sin130°＝sin3C，∴sinC＝3 2.∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或 120°.(1)当 C＝60°时，A＝90°，∴BC＝2，此时，S△ABC＝ 23； (2)当 C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝12×3×1×sin30°＝3 4.答案：D5寻找最适合自己的学习方法5．(2010·上海卷)若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC( ) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 解析：∵sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c ∴a∶b∶c＝5∶11∶13 设 a＝5k，b＝11k，c＝13k， 则 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝25k22＋×152k1×k2－111k69k2＝－12130＜0， ∴C 为钝角． 答案：C二、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 6．在△ABC 中，2b＝a＋c，∠B＝30°，△ABC 的面积为32，那么 b 等于________．解析：由 2b＝a＋c，两边平方 a2＋c2＝4b2－2ac，又 S△ABC＝12acsin B＝14ac＝32， ∴ac＝6，∴a2＋c2＝4b2－12， ∴b2＝a2＋c2－2accos B＝4b2－12－6 3， ∴b2＝4＋2 3. ∴b＝1＋ 3. 答案：1＋ 3 7．(2010·广东卷)已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边，若 a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则 sin A＝________. 解析：在△ABC 中，A＋B＋C＝180°， 又∵A＋C＝2B， ∴3B＝180°即 B＝60°. 由正弦定理sina A＝sinb B，所以 sin A＝asibn B ＝1×323＝12. 答案：12 8．(2010·山东卷)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝ 2，b＝2，sin B6寻找最适合自己的学习方法＋cos B＝ 2，则角 A 的大小为________．解析：∵sin B＋cos B＝ 2sin??B＋π4??＝ 2，∴sin??B＋π4??＝1，解得 B＝π4.由正弦定理sina A＝sinb B得 sin A＝12，即 A＝π6.答案：π6三、解答题(本题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分)9．(2010·重庆卷)设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，且 3b2＋3c2－3a2＝4 2bc. (1)求 sin A 的值；(2)求2sin??A＋1－4π??scions??2BA＋C＋π4??的值．解：(1)由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2 3 2，又 0＜A＜π，故 sin A＝ 1－cos2A＝13.(2)原式＝2sin??A＋1－4π??csoins??2πA－A＋π4??＝2sin??A＋2sπ4i??ns2iAn??A－π4??＝2??2 2 sinA＋2 2 cosA????2 2 sin2sin2AA－2 2 cosA??＝sin22As－in2cAos2A＝－72.10．已知平面四边形 ABCD 中，△BCD 为正三角形，AB＝AD＝1，∠BAD＝ θ，记四边形的面积为 S. (1)将 S 表示为 θ 的函数， (2)求 S 的最大值及此时 θ 的大小．7寻找最适合自己的学习方法解：(1)在△ABD 中，由余弦定理得 BD2＝2－2cos θ，又 S＝S△ABD＋S△BCD＝12sin θ＋12(2－2cos θ)sinπ 3.所以 S＝sin??θ－π3??＋ 23，θ∈(0，π)．(2)∵θ∈(0，π)，∴－π3＜θ－3π＜23π.所以θ－3π＝π2时，即θ＝56π时，S取得最大值，最大值为1＋3 2.B 级 素能提升练(时间：30 分钟 满分：40 分)一、选择题(本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分)1．(2010·长春调研)锐角△ABC 中，若 A＝2B，则ab的取值范围是A．(1,2)B．(1， 3)C．( 2，2)D．( 2， 3)解析：∵△ABC 为锐角三角形，且 A＝2B，()?0＜2B＜2π，∴??0＜π－3B＜π2，∴π6＜B＜π4.∵A＝2B，∴sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B，∴ab＝ssiinn AB＝2cos B∈( 2， 3)．答案：D2．在△ABC 中，如果 lg a－lg c＝lg sin B＝－lg 2，并且 B 为锐角，则△ABC 的形状是( )A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形解析：由已知得ac＝sin B＝ 22，得 B＝4π，由余弦定理知：b2＝a2＋c2－2accos B，∴b2 ＝a2＋( 2a)2－2·a· 2a·cos π4＝a2，∴a＝b，又 c＝ 2a，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC 为等腰 直角三角形． 答案：D 二、填空题(本题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分)8寻找最适合自己的学习方法3．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，若三角形的面积 S＝14(a2＋b2－c2)， 则角 C 的度数是________． 解析：由 S＝14(a2＋b2－c2) 得12absin C＝14·2abcos C. ∴tan C＝1.又 0＜C＜π，∴C＝45°. 答案：45°4．已知△ABC 三边满足 a2＋b2＝c2－ 3ab，则此三角形的最大内角为________． 解析：∵a2＋b2－c2＝－ 3ab， ∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝－ 23， 故 C＝150°为三角形的最大内角． 答案：150°三、解答题(本题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分) 5．在△ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，已知 a2－c2＝2b，且 sin Acos C＝3cos Asin C，求 b. 解：由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bc cos A．又 a2－c2＝2b，b≠0. 所以 b＝2c cos A＋2，① 又 sin Acos C＝3cos Asin C， ∴sin Acos C＋cos Asin C＝4cos Asin C， sin(A＋C)＝4cos Asin C，即 sin B＝4cos Asin C. 由正弦定理得 sin B＝bcsin C，故 b＝4c cos A，② 由①，②解得 b＝4. 6．在△ABC 中，角 A、B、C 所对边长分别为 a、b、c，设 a、b、c 满足条件 b2＋c2－bc＝ a2 和bc＝12＋ 3，求角 A 和 tan B 的值． 解：由 b2＋c2－bc＝a2，得b2＋2cb2c－a2＝12， 即 cos A＝12，又 0＜A＜π，∴A＝π3. 又bc＝12＋ 3，ssiinn CB＝12＋ 3， C＝π－A－B＝23π－B，9寻找最适合自己的学习方法∴sin??23π－B??＝??12＋ 3??sin B，整理得3 2 cosB＋12sin B＝12sin B＋3sin B.∴12 cos B＝sin B，则 tan B＝12.答案要点梳理 abc1.sin A sin B sin C abc(3)2R 2R 2R2．b2＋c2－2bccos Aa2＋b2－c2 2ab(1)sin A∶sin B∶sin C (2)2Rsin A 2Rsin B 2Rsin Ca2＋c2－2accos Ba2＋b2－2abcos Cb2＋c2－a2 2bca2＋c2－b2 2ac基础自测1．22.16 3. 34. 35.C题型分类·深度剖析 例 1 解 由正弦定理得sina A＝sinb B，sin3A＝sin425°，∴sinA＝3 2.∵a>b，∴A＝60°或 A＝120°.当 A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝bssiinnBC＝6＋ 22；当 A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bssiinnBC＝6－ 22 .变式训练 1π 6例 2 解 (1)由余弦定理知： cos B＝a2＋2ca2c－b2， cos C＝a2＋2ba2b－c2.将上式代入ccooss CB＝－2ab＋c得：10寻找最适合自己的学习方法a2＋2ca2c－b2·a2＋2ba2b－c2＝－2ab＋c，整理得：a2＋c2－b2＝－ac. ∴cos B＝a2＋2ca2c－b2＝－2aacc＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B＝23π. (2)将 b＝ 13，a＋c＝4，B＝23π 代入 b2＝a2＋c2－2accos B，得 b2＝(a＋c)2－2ac－2accos B，∴13＝16－2ac??1－12??，∴ac＝3.∴S△ABC＝12acsinB＝343 .变式训练 2 解 (1)∵cos A2＝25 5， ∴cos A＝2cos2A2－1＝35，∴sin A＝45.又→AB ·→AC ＝3，∴bccos A＝3，∴bc＝5.∴S△ABC＝12bcsin A＝12×5×45＝2.(2)由(1)知，bc＝5，又 b＋c＝6，根据余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos A ＝36－10－10×35＝20，∴a＝2 5.例3解?a＋c＝54， ? (1)由题设并由正弦定理，得?ac＝14，??a＝1， 解得???c＝14或???a＝14， ??c＝1.(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B ＝p2b2－12b2－12b2cos B， 即 p2＝32＋12cos B.因为 0<cos B<1，所以 p2∈??32，2??，由题设知p>0，所以6 2 <p<2.变式训练 3 解 (1)∵c＝2，C＝π3，∴由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C得 a2＋b2－ab＝4.又∵△ABC 的面积为 3， ∴12absin C＝ 3，ab＝4.11寻找最适合自己的学习方法联立方程组???a2＋b2－ab＝4， ??ab＝4，解得 a＝2，b＝2.(2)由 sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，得 sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin Acos A，即 2sin Bcos A＝2sin Acos A，∴cos A·(sin A－sin B)＝0，∴cos A＝0 或 sin A－sin B＝0，当 cos A＝0 时，∵0<A<π， ∴A＝π2，△ABC 为直角三角形；当 sin A－sin B＝0 时，得 sin B＝sin A，由正弦定理得 a＝b，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．课时规范训练A组1．D2.C3.B52 4. 35.26.4 或 57．解 (1)∵ 3b＝2a·sin B，由正弦定理知3sin B＝2sin A·sin B.∵B 是三角形的内角，∴sin B>0， 从而有 sin A＝ 23，∴A＝60°或 120°，∵A 是锐角，∴A＝60°. (2)∵10 3＝12bcsin 60°，∴bc＝40，又 72＝b2＋c2－2bccos 60°，∴b2＋c2＝89.8．解 ∵sin B＝4cos Asin C， 由正弦定理，得2bR＝4cos A2cR，∴b＝4ccos A， 由余弦定理得 b＝4c·b2＋2cb2c－a2，∴b2＝2(b2＋c2－a2)，∴b2＝2(b2－2b)，∴b＝4.B组1．D 2.D 3．A4．60° 正三角形 5．4 π6.47．解 (1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即 a2＝b2＋c2＋bc.①12寻找最适合自己的学习方法由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A， 故 cos A＝－12，又∵0°<A<180°，∴A＝120°.(2)由①得 sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C. ∴34＝(sin B＋sin C)2－sin Bsin C，又 sin B＋sin C＝1， ∴sin Bsin C＝14. 解②③联立的方程组，得 sin B＝sin C＝12.因为 0°<B<60°，0°<C<60°，故 B＝C.所以△ABC 是等腰的钝角三角形． 8．解 (1)∵B＋C＝π－A，即B＋2 C＝π2－A2，由 4sin2B＋2 C－cos 2A＝72， 得 4cos2A2－cos 2A＝72， 即 2(1＋cos A)－(2cos2A－1)＝72，整理得 4cos2A－4cos A＋1＝0， 即(2cos A－1)2＝0. ∴cos A＝12，又 0°<A<180°，∴A＝60°.(2)由 A＝60°， 根据余弦定理 cos A＝b2＋2cb2c－a2， 即b2＋2cb2c－a2＝12，∴b2＋c2－bc＝3，又 b＋c＝3， ∴b2＋c2＋2bc＝9.①－③整理得：bc＝2.解②④联立方程组得???b＝1， 或???b＝2， ??c＝2， ??c＝1.② ③① ② ③ ④13

正弦定理的r_正弦定理知识点

1．1．1 正弦定理 课上讲解： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A其中 R 为三角形外接圆半径。

2.正弦定理的基本作用：?bsin B?csinC=2R①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a ?b sin A ； sin B②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 sin A ? sin B 。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

3.常用变形： ① A? B ?C ?? ② sin( A ? B) ? sin C, cos(A ? B) ? sin C ③ S ?abc ?a b1 ab sin C 2题型一：已知两角和一边（唯一确定） 例 1. 已知在 ?ABC中，c ? 10, A ? 450 , C ? 300 , 求a, b和B .变式练习 1： 1.已知Δ ABC，已知 A=60 ，B=30 ，a=3；求边 b=（）: A.3 2.已知Δ ABC A.8 B.20 0 0C. 30D. 2已知 A=45 ，B=75 ，b=8；求边ａ＝（） B.40 0C.4 3 -3D.8 3 -83.已知 a+b=12，B=45 ，A=60 则 a=_____，b=_____题型二：已知两边和其中一边所对的角（两种情况，由 y=sin x 的性质决定） 例 2.在 ?ABC中，b ? 3, B ? 600 , c ? 1, 求a和A, C变式练习 1： ?ABC中，c ? 6, A ? 450 , a ? 2, 求b和B, C变式练习 2： ?ABC中，a ? 2, A ? 1350 , b ? 3, 求B变式练习 3： 在 ?ABC 中，已知角 B ? 45 ，c ? 2 2 , b ??? ? ?4 3 ，则角 A 的值是 3? ?A. 15B. 75C. 105D. 75 或 15变式练习 4：在 ?ABC 中，若 B ? 60? ，b ? 7 6 , a ? 14 ，则 A=。题型三：外接圆问题 例 3. 试推导在三角形中a b c = = =2R 其中 R 是外接圆半径 sin A sin B sin C变式练习 1：在△ABC 中， A 2R王新敞奎屯 新疆BR王新敞奎屯 新疆a b c ? ? ? k ,则 k 为( )? sin A sin B sin C 1 C 4R D R (R 为△ABC 外接圆半径) 2王新敞奎屯 新疆王新敞奎屯新疆变式练习 2：在 ?ABC 中， A ? 20 , B ? 40 , c ? 5 ，则 2 R 为o o（）A、10 3 3B、 10C、 5 2D、 10 2 （ ）变式练习 3：在 ?ABC 中， A、 sin A ? sin B C、 sin( A ? B)a b cos B ? cos A ? 2R 2RB、 sin( A ? B) D、 cos(A ? B)变式练习 4：设△ABC 的外接圆半径为 R，且已知 AB＝4，∠C＝45°，则 R＝________．题型四：比例问题 例 4.在 ?ABC 中,已知a b c ? ? , 判断 ?ABC 的形状． cos A cos B cos C变式练习 1：已知 ? ABC 满足条件 a cosA ? b cosB ，判断 ? ABC 的类型。变式练习 2：△ABC 中，sin A = sin B +sin C，则△ABC 为( A 直角三角形? B 等腰直角三角形? C 等边三角形王新敞奎屯 新疆222)?王新敞奎屯新疆王新敞奎屯新疆D 等腰三角形王新敞奎屯 新疆变式练习 3：在三角形 ABC 中，A 为锐角， lg b ? lg 是 （ ）1 ? lg sin A ? ? lg 2 ，则三角形 ABC cA、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形例 5.在 ?ABC 中，三个内角之比 A : B : C ? 1 : 2 : 3 ，那么 a : b : c 等于____变式练习 1：在△ABC 中, 若A ? 30?, B ? 60?, 则a : b : c ? 变式练习 2：在△ABC 中,A:B:C=4:1:1,则 a:b:c= A 4:1:1 B 2:1:1 C ( )2 :1:1 D0 03 :1:1变式练习 2：在 ?ABC 中，B=135 ，C=15 ，a=5 则此三角形的最大边长为_____ 变式练习 3：已知在Δ ABC 中,三内角的正弦比为 4:5:6，有三角形的周长为 7.5，则其三边 长分别为________变 式 练 习 4 ： 在 △ ABC 中 , sin A : sin B : sin C ? 6:5:4 ， 则 (2b+c):(3c+a):(a+4b) =_______________ 变 式 练 习 5 ： △ ABC 的 三 个 内 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 分 别 为a、b、c，a sin A sin B ? b cos2 A ? 2a ．求 ba例 6.在 ?ABC 中，已知 b ? 2c sin B ，求 ?C 的度数变式练习 1：在△ABC 中，若 3 a = 2b sin A，则∠B 为( A.)π 3B.π 6C.π 5π 或 6 6D.π 2π 或 3 3A ? B ? C ? ? 技巧的应用：例 7.在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，且 4 sin2 (1)求∠A 的大小； (2)若 a = 3 ，b + c = 3，求 b 和 c 的值.B?C 7 ? cos 2 A ? . 2 2变式练习 1：△ABC 中，若 sin(A + B)sin(A - B)= sin C，则△ABC 是( A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形2)D. 等腰三角形变式练习 2： 若△ABC 的三内角?A ，?B ，?C 满足 sin A ? 2sinCcos B ，则△ABC 为 _______三角形. 变式练习 3： 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边， a=1,b= 3 , A+C=2B, 若 则 sinC= .变式练习 4：在 ?ABC 中， sin( C ? A) ? 1, sinB ? 1）求 sin A 的值； 2）设 AC ?1 ， 36 ,求 ?ABC 的面积.题型五：面积问题 例 8.在△ABC 中， AB ? 6, A ? 30?, B ? 120? ,则三角形 ABC 的面积为 变式练习 1：在△ABC 中，b = 8，c = 8 3 ，S△ABC = 16 3 ，则∠A 等于( A. 30 ? B. 60? C. 30? 或 150? )D. 60? 或 120?变 式 练 习 2 ： 已 知 △ABC 中 ， AB ＝ 6 ， ∠A ＝ 30° ， ∠B ＝ 120° ， 则 △ABC 的 面 积 为 ( )A．9B．18C．9 3D．18 3变式练习 3：若△ABC 的三边长分别为 4，5，7，则△ABC 的面积 ? ? .， 内切圆半径变式练习 4： 如图△ABC 中， D 在边 BC 上， BD = 2， = 1， B = 60°， ADC = 150°， 点 且 DC ∠ ∠ 求 AC 的长及△ABC 的面积.提高题： 1.如图，在Δ ABC 中，∠A 的平分线 AD 与边 BC 相交于点 D，求证：BD AB ? DC ACAB D C高考真题： 1.（2011·浙江高考文科·Ｔ 5）在 ?ABC 中，角A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .若a cos A ? b sin B ，则 sin A cos A ? cos 2 B ?2、 （2011·新课标全国高考理科·Ｔ16） V ABC 中，B ? 60 在 的最大值为 .?2C , AC ? 3 ， A ? B 则 B3、 （2011· 北京高考理科· 在 ?ABC 中， b ? 5, ?B ? T9） 若 4、 （2011·北京高考文科·T9）在 ?ABC 中，若 b ? 5, ?B ??4, tan A ? 2 ， sn A ? 则i；?1 ,sin A ? ，则 4 3a=.5、(2009·广东高考)已知△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝c＝ 6＋ 2，且∠A＝75°，则 b＝ 6、在锐角△ABC 中，BC＝1，B＝2A，则 的值等于______，AC 的取值范围为________． cosA 7、在△ABC 中，已知 2sinAcosB＝sinC，那么△ABC 一定是 π 8、.在△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，B＝ ，则△ABC 的面积等于 6 9、锐角△ABC 中，若 A＝2B，则 的取值范围是 三角形ACa b；? ? A 2 5 ??? ??? 10、 (浙江高考)在△ABC 中， A，， 所对的边分别为 a，，， 角 B C b c 且满足 cos ＝ ， · AC AB 2 5＝3.求△ABC 的面积11、已知 a，b，c 为△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，向量 m＝( 3，－1)，n＝(cosA， sinA)，若 m⊥n，且 acosB＋bcosA＝csinC，则角 B＝________.12、 （2011·安徽高考文科·Ｔ16）在 ?ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边长， a= 3 ，b= 2 ， 1 ? 2cos( B ? C )? 0 ，求边 BC 上的高.13.（2011·辽宁高考文科·Ｔ17） （本小题满分 12 分）△ 所对的边分别为ABC的三个内角 A ， B ， Ca 、 b 、 c ， a sin Asin B ? b cos2A ? 2a ． 求 b ；a14、 （2011·山东高考文科·Ｔ17） （本小题满分 12 分） 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 cos A-2 cos C = 2c-a .求 sin C 的值；cos B bsin A15、 （2011·湖南高考理科·T17） （12 分）在 ?ABC中， A，B，C 所对的边分别为 a,b,c， 角 且满足 csinA=acosC. （1）求角 C 的大小； （2）求 3 sin A ? cos( B ??4) 的最大值，并求取得最大值时角 A，B 的大小.16、 （2011·浙江高考理科·Ｔ18） （本题满分 14 分）在 ?ABC 中，角 A，B，C 所对的边 分别 为 a,b,c. 已知 sin A ?sin ? p sin ? p? R 且 ac ? b 2 C B ? ,1 4. （Ⅰ） 当5 p ? , b ? 1 时，求 a , c 的值； 4