[[圆的一般方程]教案] 圆的方程的教案

《圆的一般方程》教案

教学目标

的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

2、使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．

3、通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础． 1、学生掌握圆的一般方程的特点；能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心

教学重难点

重点：能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

难点：圆的一般方程的特点．

教学过程

一、情景导入

问题：

222前面，我们已经讨论了圆的标准方程(x -a ) +(y -b ) =r ，

22222现将展开可得x +y -2ax -2by +a +b -r =0．

22可见，任何一个圆的方程都可以写成x +y +Dx +Ey +F =0．请大家思考一下：形如

x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的方程的曲线是不是圆？

二、交流展示

1、你所知道的圆的方程有几种形式

2、怎样用待定系数法求出圆的一般方程

三、合作探究

探究一：圆的一般方程的定义

教师：请同学们写出圆的标准方程并把圆的标准方程展开整理：

222学生：(x －a ) ＋(y －b ) =r ，圆心(a ，b ) ，半径r

22222 展开得：x ＋y －2ax －2by ＋a ＋b －r =0．

22222教师：取D =-2a E =-2b F =a +b -r 得：x +y +Dx +Ey +F =0 ①

这个方程是圆的方程．

反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ 把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0配方得 ②

这个方程是不是表示圆？

当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示

（1）D 2＋E 2－4F ＞0时，表示以（-）为圆心， 为半径的圆

（2）D 2＋E 2－4F =0时，方程只有实数解x =- ,y =即只表示一个点（-）

（3）D 2＋E 2－4F

上所述，方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0表示的曲线不一定是圆

只有当D 2＋E 2－4F ＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F =0的表示圆的方程称为圆的一般方程

我们来看圆的一般方程的特点：

① x 2和y 2的系数相同，不等于0

② 没有xy 这样的二次项

③ 圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了

④ 与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显

例：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标

22解：设所求的圆的方程为：x ＋y ＋Dx ＋Ey ＋F =0

∵A （0，0），B （1，1），C （4，2）在圆上，所以它们的坐标是方程的解. 把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D 、E 、F ,, 的三元一次方程组，

即

解此方程组，可得：D =-8，E =6，F =0

∴所求圆的方程为：x 2＋y 2-8x ＋6y =0

r =5 圆心坐标为（4，-3）

四、课堂小结

2222圆的一般方程可以写成x +y +Dx +Ey +F =0且只有当D ＋E －4F ＞0时，它表示的曲线才是

圆

五、巩固练习

求过三点O (0，0) 、A (1，1) 、B (4，2) 的圆的方程