二次函数几种解析式的求法 二次函数解析式求法
二次函数的解析式求法
求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考
试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。
一、 三点型
例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函
数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x-3x+5.
这种方法是将坐标代入y=ax+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax+bx+c.
二、交点型
例2 已知抛物线y=-2x+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax+bx+c的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。
分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x+8x-9的
2
2
2
22
2
2
1顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=2 1123
x x
222. ∴y=x(x-3),即 y=
三、顶点型
例 3 已知抛物线y=ax+bx+c的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)+k.在本题中可设y=a(x+1)+4.
2
2
2
1
再将点(1,2)代入求得a=-2 1
(x +1) 2+4,
∴y=-2 127
x -x +
2. 即y=-2
由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。
四、平移型
例 4 二次函数y=x+bx+c的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数y =x -2x +1, 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.
分析 逆用平移分式，将函数y=x-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。
2
+bx +c =(x -3) -3 ∴y=x
2
2
2
2
=x-6x +6. ∴b=-6,c=6.
因此选（B ）
五、弦比型
例 5 已知二次函y=ax+bx+c为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
2
2
∆a 分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=
就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x+8x-6.
六、识图型
2
1212x +(b +2) x +c x +(b -2) x +d
例 6 如图1， 抛物线y=2与y=2其中一条的顶点为P ，
另一条与X 轴交于M 、N 两点。
（1）试判定哪条抛物线与X 轴交于M 、N 点？ （2）求两条抛物线的解析式。
12
x +(b +2) x +c
解 （1）抛物线y=2与x 轴交于M ，N 两
点（过程从略）；
12
x +(b -2) x +d 2（2）因y=的顶点坐标为（0，1），
∴b-2=0,d=1, ∴b=2.
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x +12∴Y=.
12
x
将点N 的坐标与b=2分别代入y=2+(b+2)x+c得c=6. 12x 2∴y=+4x+6
七、面积型
2
例 7 已知抛物线y=x+bx +c 的对称轴在 y 轴的右侧，且抛物线与 y 轴交于Q （0，-3），
与x 轴的交点为A 、B ，顶点为P ，ΔPAB 的面积为8。求其解析式。
2
解 将（0，-3）代入y=x +bx +c 得 c=-3.
2
AB =b +12
由弦长公式，得
-12-b 2
4点P 的纵坐标为
由面积公式，得
12-12-b 2
b +12⋅=8. 24
解得b =±2.
因对称轴在y 轴的右侧, ∴ b=-2.
2
所以解析式为y=x -2x -3
八、几何型
例 8 已知二次函数y=x -mx+2m-4如果抛物线与x 轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。
2m -4(2m -4) =m -4
解 由弦比公式，得AB=
2
(m -4) 2
4顶点C 的纵坐标为-
∵ΔABC 为等边三角形
(m -4) 21
-=⋅m -4
42∴
解得m=4±23, 故所求解析式为
2
x -(4+2) x +4+43, y=
或y=x -(4-2) x +4-43
九、三角型
2
12
2
例 9已知抛物线y=x +bx +c 的图象经过三点（0，25）、（sinA ，0）、（sinB ，0）且
A 、B 为直角三角形的两个锐角，求其解析式。 解 ∵A+B=90，∴sinB=cosA. 则由根与系数的关系，可得
⎧sin A +cos A =-b ⎨
⎩sin A ⋅cos A =c
1212
.
2525将（0，）代入解析式，得c=
（1）-(2) ⨯2, 得
2
b 2-
247=1, b =±255 ∴
7∵-b 〉0, ∴b=-5
x 2-
712x +525
所以解析式为y=
十、综合型
例 10 如图2，已知抛物线y=-x +px +q 与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴交于C 点， 若∠ACB=90，且tg ∠CAO-tg ∠CBO=2，求其解析式．
解 设A ，B 两点的横坐标分别为x 1, x 2, 则q=(-x1) ⋅x 2=OA ⋅OB . 由ΔAOC ～ΔCOB ，可得OC =OA·OB ， ∴q =q解得q 1=1,q2=0（舍去），
2
2
2
OC OC
-=2OA OB 又由tg ∠CAO-tg ∠CBO=2得
-
即
11-=2X 1X 2
2
∴x 1+x2=-2x1x 即 p=2p=2
2
所以解析式为y=-x+2x+1
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