周期法求与角α终边相同的角的集合:终边相同的角的集合
摘要 在中学数学三角函数“角的概念推广”这部分内容中， 如何求与角α终边相同的角的集合?对此有好多学生感到束手无策。本人在多年的教学经验中，总结了一种方法“周期法”可快速便捷地找到答案。
关键词 角α；角α终边；旋转周期；周期法
中图分类号O657.7+2 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2011）35-0086-02
下面来介绍利用“周期法”解决此类问题的思路：
1 通过举例来说明“周期法”
1.1 如图
写出始边、终边与α相同的角的集合。
分析：α角的终边是一条射线，这条射线就是题目所要求的角的终边所在的位置。让我们来沿不同方向旋转α的终边OB，则得：
α+360 α-360
α+2・360α-2・360
α+3・360α-3・360
等角，这些角的终边都与角α终边相同，即与OB重合。不论角α终边沿什么方向旋转。只要旋转360度的整数倍即K周，都会落在OB上，360度即角α终边的旋转周期，如果角α终边按这个周期旋转，所形成的角的终边都与α角的终边重合。如果在直角坐标系中讨论这个问题，通常使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合。则这些终边与α角相同（默认它们始边相同）的角的集合可写为：
｛x|x=α+k・360，k∈Z｝.
1.2 例如：写出终边在y轴上的角的集合
本题所要求的终边位置在y轴上，y轴是一条直线，不是一条射线。这时，我们首先找出这条直线与始边（即x轴的正半轴）的最小夹角（可以是正角，也可以是负角），这个最小夹角即α角，然后让α角的终边沿一定方向旋转，每旋转一定的角度A，α角的终边就会与问题中所要求的直线重合，则这个角度A就是本问题中的周期。就拿本题而言，y轴这条直线与始边的最小夹角是90度，90度的终边沿逆时针或顺时针方向旋转，每旋转180度就会落在y轴上，这说明90度角终边的旋转周期是180度。这样我们可写出终边在y轴上的角的集合为：
｛x|x=90+k・180，k∈Z｝.
2 周期法求与角α终边相同的角的集合
通过以上例子，我们可以总结出写出终边在某条射线或直线上的角的集合的步骤：
1）确定α角
即先确定题目所要求的射线或直线（角的终边位置）与始边所夹的最小角α。
2）明确周期
即旋转α角的终边， 不论沿什么方向旋转，看每旋转多少度就落在了这条所要求的射线或直线上，这个旋转度数即周期T。
3） 写出集合
即写出与α角终边相同的角的集合，格式：
｛x|x=α+k・T，k∈Z｝.
说明：1）α角终边所在的位置如果是一条射线，α角可以是锐角，也可以是钝角，α角终边旋转的周期是一个确定的值：360度；（比如例题一）。
2）如果α角终边所在的位置是一条直线，α角一般取该直线与X轴正向的较小的夹角，如果在第一象限取正值，在第四象限则取负值；如果α角终边沿逆时针方向旋转，则周期为正，如果沿顺时针方向旋转，周期则为负值。
3 通过练习来熟悉这种方法
3.1 写出终边在x负半轴上的角的集合
分析： 终边位置x负半轴是一条射线，这条射线与始边即X正半轴的最小夹角为180度，即α=180度,让180度的终边旋转，每旋转360度就落在x负半轴上，即周期T=360 度，所以，终边在x负半轴上的角的集合为：
｛x|x=α+k・360，k∈Z｝.
3.2 写出终边在直线y=x上的角的集合
分析：终边位置是直线y=x，与始边即X正半轴的最小夹角是45°，即α=45°，让45度的终边旋转，每旋转180度就落在直线y=x上，即周期T=180度，所以终边在直线y=x上的角的集合为：
｛x|x=45+k・180，k∈Z｝.
4 巩固练习
4.1 思考题
4.1.1写出终边在x轴、y轴上的角的集合
（分析：x轴、y轴是两条直线，根据前几例的思路，可先找出这两条直线与始边的最小夹角：0度，然后让0度的终边旋转，发现它每旋转90度就落在了所要求的直线上。从而可知，终边在x轴、y轴上的角的集合为：｛x|x=0+k・90，k∈Z｝，简化为：
｛x|x= k・90，k∈Z｝。）
4.1.2写出终边在x轴、y轴、y=x 、y=-x上的角的集合
（分析：先找出这四条直线与始边的最小夹角：0度，然后让0度的终边旋转，每旋转 45°就落在了所要求的直线上，可得终边在x轴、y轴、y=x、y=-x上的角的集合为：
｛x|x= k・45，k∈Z｝。）
通过以上思考题我们发现：如果终边位置是多条直线，只要这些直线经过同一点，而且在同一个平面内分布均匀，就可以轻而易举地给出答案。
4.2引申思考题
1）求sin(1920)
解：因为1920=α+5・360
得α=1200
所以sin（1920）= sin（120+5・360）= sin（1200）=
2）求使函数y=2+ sinx取最大值时的x值的集合
解：因为使函数y=2+ sinx取最大值时的x，就是使函数y= sinx取最大值时的x，即终边在y的正半轴上的角的集合，所以函数y=2+ sinx取最大值时的x值的集合为：
{x|x= +2kπ，k∈Z}
总之，只要你平时多动脑筋，勤于思考，善于总结，就会有所发现，有所收获，有所创新。
参考文献
[1]中等职业教育国家规划教材《数学》第一册.
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