巧借东风 巧借割代换,妙解数学题

　　利用平方关系“sin2α+cos2α=1”，“1+tan2α=sec2α”，“1+cot2α=csc2α”进行三角换元来解题是大家所熟知的，利用倒数关系“tanαcotα=1” 进行三角换元则鲜有人提及。本文枚举数例说明利用倒数关系“tanαcotα=1” 进行三角换元在解题中同样大有可为。
　　例1 （1996年全国初中数学联赛试题）实数a，b满足ab=1，设m=11+a+11+b，n=a1+a+b1+b，则m，n的关系是（ ）。
　　（A）m＞n （B）m=n
　　（C）m＜n（D）不确定
　　解：设a=tanθ，b=cotθ，0＜θ＜π2，
　　则m=11+a+11+b=11+tanθ+11+cotθ
　　=11+tanθ+tanθ1+tanθ=1，
　　n=a1+a+b1+b=tanθ1+tanθ+cotθ1+cotθ
　　=tanθ1+tanθ+11+tanθ=1。
　　∴m=n，选B。
　　例2 若a＞1，b＞1， ab－(a+b)=1，求证：a+b≥22+2。
　　证明：∵ab－(a+b)=1，∴(a－1)(b－1)=2，
　　令a－1=2tanθ，b－1=2cotθ，0＜θ＜π2，
　　则a+b=2(tanθ+cotθ)+2≥22+2。
　　例3 （1998年湖南高中数学竞赛题）已知x，y∈（0，+
　　䥺SymboleB@），且19x+98y=1，则x+y的最小值是多少？ 
　　解：∵19x+98y=1，
　　∴(x－19)(y－98)=19×98。
　　令x－19=738tanθ，
　　y－98=738cotθ，0＜θ＜π2，
　　则x+y=19+738tanθ+98+738cotθ
　　≥117+2×738=117+1438，
　　故x+y的最小值是117+1438。
　　例4 （1997年黄冈初中数学竞赛题）若xy=1，求1x4+14y4的最小值。
　　解：设x=tan2θ，y=cot2θ，
　　则1x4+14y4=cot2θ+14tan2θ≥2×14=1，
　　故1x4+14y4的最小值为1。
　　例5 设x＞0，y＞0，x+y=1，求1x+4y的极值。
　　解：设x=1a，y=1b，则
　　1a+1b=1，(a－1)(b－1)=1。
　　令a－1=tanθ，b－1=cotθ， 0＜θ＜π2，
　　则1x+4y=a+4b=5+2(tanθ+cotθ)
　　≥5+2×2=9，
　　∴1x+4y有极大值为9。
　　例6 已知x＞0，y＞0，x+y=1，求证：x3－2x+y3－2y≥12。
　　证明：∵x+y=1，∴(3－2x)+(3－2y)=4。
　　令3－2x=1a，3－2y=1b，则1a+1b=4，
　　∴(4a－1)(4b－1)=1。
　　令4a－1=tanθ，4b－1=cotθ，0＜θ＜π2，
　　则3－2x=41+tanθ，
　　3－2y=41+cotθ，
　　x=3tanθ－12(1+tanθ)，y=3cotθ－12(1+cotθ)，
　　代入x3－2x+y3－2y，
　　化简得x3－2x+y3－2y
　　=38(tanθ+cotθ)－14≥38×2－14=12。
　　进一步可证明下题：
　　已知x，y，λ，μ，λ－μx，λ－μy都大于0，x+y=1，则xλ－μx+yλ－μy≥22λ－μ。
　　（作者单位：河南省栾川县城关中学）