【直线与圆位置关系的应用】直线与圆的位置关系

　　对于直线与圆的位置关系，初中教科书上已经有了初步介绍，而高中教材中这部分内容，是在原有的基础知识上再加深拓展。直线与圆的位置关系紧接直线以及圆的方程表示，是研究圆有关性质的基础，也为圆与圆的位置关系作了铺垫。
　　在对口单招数学考试中，直线与圆位置关系的考题多出现在选择、填空题中，我结合高三综合试题，分析一下直线与圆的位置关系的应用。
　　一、直线与圆位置关系的判断
　　例：（2012南通调研）直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是（ ）
　　A.相交 B.相切
　　C.相离 D.不确定，与m的取值有关
　　分析：判断直线与圆的位置关系，主要是比较圆心到直线的距离d和圆半径r之间的大小，当dr时，直线和圆相离。本题的难点在于对距离d的化简。
　　解：由题意，圆心坐标C（0,1），半径 ，
　　圆心C到直线的距离 ，
　　容易看出 ，因此 ，又∵ 直线和圆相交，选A。
　　小结：直线与圆的位置关系的判断依据比较简单，学生容易掌握，本题的难点在于将距离表达式中的|m|化为 ，
　　这样就能很容易比较出 与 的大小，问题就迎刃而解了。
　　二、圆上的点到直线距离
　　例：求圆C：（x-1）2+(y-1)2=4上的点到直线l:x-y-5=0的最远和最近距离。
　　分析：首先判断直线与圆的位置关系，作出草图，找出距离该直线最远和最近的点，根据点的特征，计算出最远和最近距离。
　　解：∵圆心C（1，1），半径r=2,∴圆心C到直线的距离 ，∴直线与圆相离，如图，过C作CP⊥直线l，交圆C于点A，反向延长AC交圆C于点B，则圆C上的点到直线l的最远距离为|BP|=|CP|+|CB|=d+r=
　　,最近距离为|AP|=|CP|-|CA|=d-r= 。
　　小结：学生在遇到没见过的题目时，往往不知道从何下手，点到直线的距离即点到直线的垂线段的长，何时达到最大或最小值，要引导学生观察、分析、猜测、验证、下结论。
　　三、截距相等问题
　　例：与圆C:x2+(y+3)2=1相切，且在x轴和y轴上截距相等的直线共有______条。
　　分析：截距相等问题，首先考虑截距都为0的情况，截距不为0时要考虑符号必须相同，截距不同于距离，距离是非负的，而截距可以是负的。本题并未要求求出直线方程，因此只需要在图中作出符合条件的直线即可。
　　解：如左图，①当截距a=b=0时，即直线经过原点，且与圆C相切，为直线l1和l2；②当ab＞0（a≠0且b≠0）时，当a与b同正时，无满足条件的直线；当a与b同负时，为直线l3和l4，因此，符合条件的直线共有4条。
　　小结：纵截距和横截距均为0的情况是容易被忽视的，在解题中要引导学生特殊情况优先考虑；a=b≠0时要注意同号，截距可以为一切实数，只有符号和长度都相等才满足截距相等。
　　四、直线与圆相交
　　例：若直线2ax-by+2=0(a＞0,b＞0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的线段长为4，则+的最小值为（ ）
　　A.2 B.4 C. D.
　　分析：直线和圆相交也是常见题型，应放到直角三角形中来考虑弦长和半径之间的关系，而+的最小值利用不等式来解。
　　解：圆化为标准方式为(x+1)2+(y-2)2=4,则圆心C(-1,2),半径r=2。过圆心C做CD⊥AB，则D为AB中点，∵|AB|=4，所以|AD|=2，又∵|AC|=r=2,则在直角三角形ACD中，斜边|AC|=直角边|AD|=2，不合题意，那产生矛盾的原因是什么呢？就是AC与AD重合，即直线AB过圆心C，将C（-1，2）代入直线方程，则2a?(-1)-b?2+2=0,∴a+b=1,而 ，选B。
　　小结：本题的题干比较常见，而要求的+结合了不等式里的内容。通过常规的解题方法得出矛盾，学生很难再往下解，必须找出矛盾的原因，思维要开阔，从而解决矛盾。
　　解几何题时，首先要求学生根据题意作出草图，而草图的准确性直接影响到解题的准确。在解直线与圆的位置关系的习题中，首先要掌握直线与圆的三种位置关系，这是解题的基础。但考试中出现的题型往往不是浮于表面，这就要求学生在掌握概念的同时，灵活运用，通过观察图形找出切入点，数形结合，从而更快更准确地找出答案。
　　（作者单位：江苏省启东市第二中等专业学校）