导数基础知识专项练习|

导数专项练习

一、选择题(本大题共21小题，共105.0分)

1. 函数f （x ）=x 3+x 在点x =1处的切线方程为（ ）

A.4x -y +2=0 B.4x -y -2=0 C.4x +y +2=0 D.4x +y -2=0

2. 已知直线y =x +1与曲线y =ln （x +a ）相切，则a 的值为（ ）

A.1 B.2 C.-1 D.-2

3. 已知曲线y =2x 2+1在点M 处的瞬时变化率为-4，则点M 的坐标是（ ）

A. （1，3） B. （1，4） C. （-1，3） D. （-1，-4）

4. 若函数y =f （x ）的导函数y =f ′（x ）的图象如图所示，则y =f （x ）的图象可能（ ）

A. B. C. D.

5. 已知函数f （x ）=-x +ax -x -1在（-∞，+∞）上是单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）

A. （-∞，-]∪[，+∞） B.[-] C. （-∞，-）∪（，+∞） D. （-）

6. 已知函数f （x ）=x 在区间[1，2]上是增函数，则实数m 的取值32范围为（ ）

A.4≤m ≤5 B.2≤m ≤4 C. m ≤2 D. m ≤4

7. 设点P 是曲线

的取值范围是（ ） A. B.[0，）∪[，π） C. D. 上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α

8. 函数y =f （x ）导函数f " （x ）的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A. 函数y =f （x ）在（-∞，0）上单调递增

B. 函数y =f （x ）的递减区间为（3，5）

C. 函数y =f （x ）在x =0处取得极大值

D. 函数y =f （x ）在x =5处取得极小值

9. 已知y =+（b +6）x +3在R 上存在三个单调区间，则b 的取值范围是（ ）

A. b ≤-2或b ≥3 B.-2≤b ≤3 C.-2＜b ＜3 D. b ＜-2或b ＞3

10. 函数在R 上不是单调增函数则b 范围为（ ）

A. （-1，2） B. （-∞，-1]∪[2，+∞）

C.[-1，2] D. （-∞，-1）∪（2，+∞）

11. 已知函数f （x ）的定义域为（a ，b ），导函数f ′（x ）在（a ，

b ）上的图象如图所示，则函数f （x ）在（a ，b ）上的极大值点

的个数为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

y =12. 已知曲线C ：x 3-x 2-4x +1直线l ：x +y +2k -1=0，当x ∈[-3，

3]时，直线l 恒在曲线C 的上方，则实数k 的取值范围是（ ）

A. k ＞- B. C. D.

13. 曲线y =2lnx 上的点到直线2x -y +3=0的最短距离为（ ） A. B.2 C.3 D.2

f x ）f x ）14. 已知函数（=x -alnx ，当x ＞1时，（＞0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A. （1，+∞） B. （-∞，1） C. （e ，+∞） D. （-∞，e ）

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

22. 函数f （x ）的图象在x =2处的切线方程为2x +y -3=0，则f （2）+f " （2）= ______ ．

3223. 已知函数f （x ）=x -ax +3ax +1在区间（-∞，+∞）内既有极大值，又有极小值，则

实数a 的取值范围是 ______ ．

24. 已知函数f （x ）=ax 3+x +1的图象在点（1，f （1））处的切线与直线x +4y =0垂直，则实数a = ______ ．

x 25. 曲线y =e -2+1在点（0，2）处的切线与直线y =0和y =x 围成的三角形的面积为 ______ ．

三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

26. 已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx （a ，b ∈R）．若函数f （x ）在x =1处有极值-4．

（1）求f （x ）的单调递减区间；

（2）求函数f （x ）在[-1，2]上的最大值和最小值．

227. 已知函数f （x ）=x +lnx -ax ．

（1）当a =3时，求f （x ）的单调增区间；

（2）若f （x ）在（0，1）上是增函数，求a 得取值范围．

28. 已知函数f （x ）=-x 3+x 2+x +a ，g （x ）=2a -x 3（x ∈R，a ∈R）．

（1）求函数f （x ）的单调区间．

（2）求函数f （x ）的极值．

（3）若任意x ∈[0，1]，不等式g （x ）≥f （x ）恒成立，求a 的取值范围．

29. 已知函数．当x =2时，函数f （x ）取得极值． （I ）求实数a 的值；

（II ）若1≤x ≤3时，方程f （x ）+m =0有两个根，求实数m 的取值范围．

30. 若函数f （x ）=ax 3-bx +4，当x =2时，函数f （x ）有极值．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的极值；

（3）若关于x 的方程f （x ）=k 有三个零点，求实数k 的取值范围．

答案和解析

【答案】

1.B 2.B 3.C 4.C 5.B 6.D 7.B 8.D 9.D 10.D 11.B 12.B 13.A 14.D 15.C 16.D 17.A 18.A 19.D 20.D 21.A

22.-323. （-∞，0）∪（9，+∞）

24.125.

26. （1）f ′（x ）=3x 2+2ax +b ，依题意有f ′（1）=0，f （1）=-4， 即得．（4分）

所以f ′（x ）=3x 2+4x -7=（3x +7）（x -1），

由f ′（x ）＜0，得-＜x ＜1，

所以函数f （x ）的单调递减区间（-，1）．（7分）

（2）由（1）知f （x ）=x 3+2x 2-7x ，f ′（x ）=3x 2+4x +7=（3x +7）（x -1），

令f ′（x ）=0，解得x 1=-，x 2=1．

f ′（x ），f （x ）随x 的变化情况如下表：

由上表知，函数f （x ）在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增．

故可得f （x ）min =f （1）=-4，f （x ）max =f （-1）=8．（13分）

227. 解：（1）当a =3时，f （x ）=x +lnx -3x ；

∴f ′（x ）=2x +-3，由f ′（x ）＞0得，0＜x ＜或x ＞1，

故所求f （x ）的单调增区间为（0，

（2）f ′（x ）=2x +-a ， ），（1，+∞）；

∵f （x ）在（0，1）上是增函数，

∴2x +

∵2x +-a ＞0在（0，1）上恒成立，即a ＜2x +≥2（当且仅当x =时取等号） 恒成立，

所以a ＜2，

当a =2时，易知f （x ）在（0，1）上也是增函数，

所以a ≤2．

28. 解：（1）f （x ）=-x 3+x 2+x +a ，

f " （x ）=-3x 2+2x +1，

．

．

．

（2）由（1）可知， 当时，函数f （x ）取得极小值，函数的极小值为

当x =1时，函数f （x ）取得极大值，函数的极大值为f （1）=a +1，

（3）若任意x ∈[0，1]，不等式g （x ）≥f （x ）恒成立，

2即对于任意x ∈[0，1]，不等式a ≥x +x 恒成立，

设h （x ）=x 2+x ，x ∈[0，1]，

则h " （x ）=2x +1，

∵x ∈[0，1]，

∴h " （x ）=2x +1＞0恒成立，

2∴h （x ）=x +x 在区间[0，1]上单

调递增，

∴[h （x ）]max =h （1）=2∴a ≥2，

∴a 的取值范围是[2，+∞）

29. 解：（I

）由

，

则 f " （x ）=x 2+2ax +6因在x =2

时，f （x ）取到极值

所以f " （2）=0⇒4+4a +6=0

解得，

（II ）由（I ）得

且1≤x ≤3则f " （x ）=x 2-5x +6=（x -2）（x -3）

由f " （x ）=0，解得x =2或x =3；

f " （x ）＞0，解得x ＞3或x ＜2；

f " （x ）＜0，解得2＜x ＜3∴f （x ）的递增区间为：（-∞，2）和（3，+∞）； f （x ）递减区间为：（2，3） 又

要f （x ）+m =0有两个根，

则f （x ）=-m 有两解，分别画出函数y =f （x ）与y =-m 的图象，如图所示．

由图知，实数m 的取值范围：

30. 解：（1）f ′（x ）=3ax -b 由题意知， 2．

解得，

∴所求的解析式为f （x ）=x 3-4x +4；

（2）由（1）可得f ′（x ）=x -4=（x -2）（x +2）

令f ′（x ）=0，得x =2或x =-2，

∴因此，当x =-2时，f （x ）有极大值

当x =2时，f （x ）有极小值； ， 2

（3）由（2）知，得到当x ＜-2或x ＞2时，f （x ）为增函数；

当-2＜x ＜2时，f （x ）为减函数，

∴函数f （x ）=x 3-4x +4的图象大致如图． 由图可知：．

31. 解：（1）复数z 是纯虚数，则由，得，即a =0．

（2）若复数z 是实数，则a 2-3a +2=0，得a =1或a =2．

（3）在复平面内对应的点位于对应的点在第一象限， 则， 即，解得a ＜0或a ＞2．

【解析】

1. 解：∵f （x ）=x 3+x

∴f ′（x ）=3x 2+1∴容易求出切线的斜率为4当x =1时，f （x ）=2

利用点斜式，求出切

线方程为4x -y -2=0故选B ．

首先求出函数f （x ）在点x =1处的导数，也就是切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程．

本题比较简单，主要应用导数的几何意义，求出切线方程．

2. 解：设切点P （x 0，y 0），则y 0=x 0+1，y 0=ln （x 0+a ）， 又∵

∴x 0+a =1∴y 0=0，x 0=-1∴a =2．

故选项为B

切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．

本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线

3. 解：∵y =2x 2+1，∴y ′=4x ，

令4x =-4，则x =-1，∴y =3∴点M 的坐标是（-1，3）

故选C ．

求导函数，令其值为-4，即可求得结论．

本题考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

4. 解：由y =f ′（x ）可得y =f ′（x ）有两个零点，x 1，x 2，且0＜x 1＜x 2，

当x ＜x 1，或x ＞x 2时，f ′（x ）＜0，即函数为减函数，

当x 1＜x ＜x 2，时，f ′（x ）＞0，函数为增函数，

即当x =x 1，函数取得极小值，当x =x 2，函数取得极大值，

故选：C

根据函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性即可．

本题主要考查函数图象的判断，结合函数单调性，极值和导数之间的关系是解决本题的关键．

325. 解：∵f （x ）=-x +ax -x -1，

2∴f " （x ）=-3x +ax -1，

要使函数f （x ）在（-∞，+∞）上是单调递减函数，则f " （x ）≤0恒成立， 即f " （x ）=-3x 2+ax -1≤0恒成立，

∴△=a 2-4（-3）•（-1）=a 2-12≤0， 解得，

即实数a 的取值范围是[]．

故选：B ．

求函数的导数，函数f （x ）在（-∞，+∞）上是单调递减函数，则f " （x ）≤0恒成立，解不等式即可．

本题主要考查导数的应用，要求熟练掌握导数与函数单调性，极值，最值之间的关系．

6. 解：函数f （x ）=x

x ， 在区间[1，2]上是增函数， 可得f ′（x ）=x 2-mx +4，函数f （x ）=2可得x -mx +4≥0，在区间[1，2]上恒成立，

可得m ≤x +，x +≥2=4，当且仅当x =2，时取等号、

可得m ≤4．

故选：D ．

求出导函数，利用函数的单调性，推出不等式，利用基本不等式求解函数的最值，推出结果即可．

本题考查函数的导数的应用，考查最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及

计算能力．

27. 解：y ′=3x -

∴α∈[0，）∪[≥-，tan α≥-， ，π），

故答案选 B．

先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围． 本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率．

8. 解：由函数y =f （x ）导函数的图象可知：

当x ＜-1及3＜x ＜5时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；

当-1＜x ＜3及x ＞5时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增．

所以f （x ）的单调减区间为（-∞，-1），（3，5）；单调增区间为（-1，3），（5，+∞）， f （x ）在x =-1，5取得极小值，在x =3处取得极大值．

故选D ．

利用导数与函数单调性的关系以及函数在某点取得极值的条件即可判断．

本题考查函数的单调性及极值问题，本题以图象形式给出导函数，由此研究函数有关性质，体现了数形结合思想．

9. 解：若y =+（b +6）x +3在R 上存在三个单调区间，

只需y ′=x 2+2bx +（b +6）=0有2个不相等的实数根，

即只需△=4b 2-4（b +6）＞0，解得：b ＜-2或b ＞3，

故选：D ．

2问题转化为只需y ′=x +2bx +（b +6）=0有2个不相等的实数根即可．

本题考查了函数的单调性问题，考察二次函数的性质，是一道基础题．

3210. 解：∵y =x +bx +（b +2）x +3，

2∴y ′=x +2bx +b +2，

∵f （x ）是R 上的单调增函数，

∴x 2+2bx +b +2≥0恒成立，

∴△≤0，即b 2-b -2≤0，

则b 的取值是-1≤b ≤2．

∴y =x 3+bx 2+（b +2）x +3在R 上不是单调增函数，

实数b 取值范围是b ＜-1或b ＞2，

故选：D ．

三次函数y =x 3+bx 2+（b +2）x +3的单调性，通过其导数进行研究，故先求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题．

本题考查函数的单调性及单调区间、利用导数解决含有参数的单调性问题，属于基础题．

11. 解：导函数f ′（x ）在（a ，b ）上的图象如图所示，

由函数取得极大值点x 0的充要条件是：在x 0左侧的导数大于0，

右侧的导数小于0，

由图象可知：函数f （x ）只有在点A ，C 处取得最大值，

而在B 点处取得极小值，而在点O 处无极值．

故选：B ．

导函数f ′（x ）在（a ，b ）上的图象如图所示，由函数取得极大值点x 0的充要条件是：在x 0左侧的导数大于0，右侧的导数小于0，即可判断出结论．

本题考查了函数取得极大值在一点x 0的充要条件是：在x 0左侧的导数大于0，右侧的导数小于0，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．

12. 解：命题等价于x 在（-3，3）内，

（-x -2k +1）-（

即k ＜

设y =

y "=所以函数y ==， ， （3-x ）（1+x ） ， ）＞0恒成立

在[-3，-1）内y 递减，（-1，3]内递增

所以x =-1，y 取最小值

所以k ＜

故选B ．

将已知条件当x ∈[-3，3]时，直线l 恒在曲线C 的上方，等价于x 在（-3，3）内（-x -2k +1）-＞0恒成立，构造函数，通过求导数，判断出函数的单调性，进一步求出函数的最值．

求函数在闭区间上的最值，一般的方法是求出函数的导函数，令导函数为0，判断出根左右两边的导函数值，求出函数的极值及区间两个端点处的函数值，选出最值．

13. 解：设与直线2x -y +3=0平行且与曲线y =2lnx 相切的直线方程为2x -y +m =0． 设切点为P （x 0，y 0），

∵y ′=

∴斜率， =2，

解得x 0=1，因此y 0=2ln 1=0．

∴切点为P （1，0）．

则点P 到直线2x -y +3=0的距离d ==．

∴曲线y =2lnx 上的点到直线2x -y +3=0的最短距离是．

故选：A ．

设与直线2x -y +3=0平行且与曲线y =2lnx 相切的直线方程为2x -y +m =0．设切点为P （x 0，y 0），利用导数的几何意义求得切点P ，再利用点到直线的距离公式即可得出．

本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间的距离、点到直线的距离公式，属于中档题．

14. 解：f ′（x ）=1-=，

当a ≤1时，f " （x ）≥0在（1，+∞）上恒成立，

则f （x ）是单调递增的，

则f （x ）＞f （1）=1恒成立，则a ≤2，

当a ＞1时，令f ′（x ）＞0，解得：x ＞a ，令f ′（x ）＜0，解得：1＜x ＜a ， 故f （x ）在（1，a ）上单调递减，在（a ，+∞）上单调递增，

所以只需f （x ）min =f （a ）=a -alna ＞0，解得：x ＜e ，

综上：a ＜e ，

故选：D ．

由f （x ）＞0对x ∈（1，+∞）上恒成立可分a ≤1和a ＞1来讨论转化为函数的最小值大于等于0的问题来求解．

本题考查函数的导数以及利用导数求函数的单调区间和极值问题；考查了利用函数的导数讨论含参数不等式的恒成立问题，求参数的取值范围，主要转化为函数的最值问题利用导数这一工具来求解．

15. 解：z =1+2i ，则===i ．

故选：C ．

利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．

本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．

16. 解：∵（1-i ）=|1+i |，∴（1-i ）（1+i ）=

∴z =-i

-=0． （1+i ），∴=+i 则复数z 的实部与虚部之和=故选：D ．

利用复数的运算法则、共轭复数的定义、实部与虚部的定义即可得出．

本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、实部与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

17. 解：∵∴复数=， 对应的点的坐标为（3，1），位于第一象限．

故选：A ．

利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数所对应点的坐标得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

18. 解：由（1+3i ）z =i -3， 得故选：A ．

由（1+3i ）z =i -3，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． =， 本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．

19. 因为 ＝i ，所以 ＝i 2016＝i 4×504＝i 4＝1.

20. 解：由（1+i ）（x +yi ）=2，得x -y +（x +y ）i =2， 即，解得，

∴|2x +yi |=|2-i |=．

故选：D ．

把已知等式变形，然后利用复数相等的条件求得x ，y 的值，则答案可求．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础的计算题．

21. 解：复数==，它是纯虚数，所以a =2， 故选A

复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后它的实部为0，可求实数a 的值．

本题是基础题，考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．

22. 解：由已知切点在切线上，

所以f （2）=-1，

切点处的导数为切线斜率，

所以f " （2）=-2，

所以f （2）+f ′（2）=-3．

故答案为：-3．

先将x =2代入切线方程可求出f （2），再由切点处的导数为切线斜率可求出f " （2）的值，最后相加即可．

本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．

23. 解：求导函数：f ′（x ）=3x 2-2ax +3a ，

∵函数f （x ）=x 3-ax 2+3ax +1在区间（-∞，+∞）内既有极大值，又有极小值，

2∴△=4a -36a ＞0，∴a ＜0或a ＞9故答案为（-∞，0）∪（9，+∞）

先求导函数，根据函数在区间（-∞，+∞）内既有极大值，又有极小值，故导函数为0的方程有不等的实数根，可求实数a 的取值范围

本题的考点是函数在某点取得极值的条件，主要考查学生利用导数研究函数极值的能力，关键是将问题转化为导函数为0的方程有不等的实数根．

24. 解：由f （x ）=ax 3+x +1，得f ′（x ）=3ax 2+1，

∴f ′（1）=3a +1，即f （x ）在x =1处的切线的斜率为3a +1，

∵f （x ）在x =1处的切线与直线x +4y =0垂直，

∴3a +1=4，即a =1．

故答案为：1．

求出原函数的导函数，得到f （x ）在x =1处的导数，再由f （x ）在x =1处的切线与直线x +4y =0垂直，得到f （x ）在x =1处的导数值，从而求得a 的值．

本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程，考查了两直线垂直的条件：斜率之积为-1，是基础题．

x 25. 解：∵y =e -2+1，

x ∴y ′=-2e -2，

∴切线的斜率k =y ′|x =0=-2，且过点（0，2），

∴切线为：y -2=-2x ，∴y =-2x +2，

∴切线与x 轴交点为：（1，0），与y =x 的交点为（∴切线与直线y =0和y =x 围成的三角形的面积为：s =故答案为：；

x ，）， =， ×1×先对函数y =e -2+1求导，求出y 在x =0处的斜率，根据点斜式求出切线方程，再利用面

积公式进行求解；

此题利用导数研究曲线山的点的切线，注意斜率与导数的关系，此题是一道基础题． 26.

（1）首先求出函数的导数，然后令f ′（x ）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解．

（2）由（1）求出函数的单调区间，可以运用导数判断函数的单调性，从而求出函数f （x ）在[-1，2]上的最大值和最小值．

此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，难度较大． 27.

（1）求单调增区间，先求导，令导函数大于等于0即可；

（2）已知f （x ）在区间（0，1）上是增函数，即f ′（x ）≥0在区间（0，1）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．

本题考查利用导数研究函数的单调性和二次函数在定区间上的最值问题，体现了分类讨论和转化的思想方法，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．

28.

（1）利用导数来求出函数的单调区间．

（2）利用导数来求出函数的极值，利用（1）的结论．

22（3）不等式g （x ）≥f （x ）恒成立转化为不等式a ≥x +x 恒成立，h （x ）=x +x ，x ∈[0，

1]，利用导数，求出h （x ）的最大值，问题得以解决．

本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题等等知识点，属于中档题． 29.

（I ）因为f （x ）在x =3是取极值，则求出f ′（x ）得到f ′（3）=0解出求出a 即可． （II ）由（Ⅰ）得f （x ），若关于x 的方程f （x ）+m =0在[1，3]上恰有两个不同的实数根，即函数f （x ）的图象与直线y =-m 有两个交点，利用导数即求函数f （x ）在区间[1，3]上的最值，结合图象可得实数m 的取值范围．

考查利用导数研究函数的极值、单调性等问题，体现了数形结合和转化的思想方法，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．

30.

（1）先对函数进行求导，然后根据f （2）=，f ′（2）=0可求出a ，b 的值，进而确定函数的解析式．

（2）根据（1）中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x 的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而函数的极值；

（3）由（2）得到函数的单调区间进而确定函数的大致图象，最后找出k 的范围． 本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系．导数是高等数学下放到高中的内容，是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．

31.

（1）复数为纯虚数，则实部为0，虚部不等于0．

（2）复数为实数，则虚部等于0．

（3）若复平面内对应的点位于第一象限，则实部大于0，虚部大于0．

本题主要考查复数的有关概念，建立条件关系是解决本题的关键，比较基础．