如何培养初中生的数学思维向纵深发展|数学思维导图
摘 要：课堂知识的延伸有利于学生对问题的触类旁通，灵活地应用知识来解决实际的问题。教师要鼓励学生深入思考、善于发现问题理清知识网络，让学生在学习的过程中培养自己的思维能力。
关键词：触类旁通；学会思考；发散思维
随着课改的不断深入，如何使学生在数学思维上有一个更大的突破是数学教师共同的话题，很多老师投入的精力与收到的效益并不完全一样，教学效果也并不令人满意。本人在教学过程中不断加以总结，有几个观点提出来与大家一起探讨。
一、注重课堂知识的延伸
教师在教学中，不应只注意面上的教学，就事论事，这样学生所学到的知识面会比较狭窄，不利于学生对知识的灵活应用。我们在教学中应进一步深入研究，把学生的思维进一步延伸。
例：在研究a（b+c）=ab+ac时，可以把公式拓展成为 a（b+c+d）=ab+ac+ad；在研究相似比时，可以把公式■=■=…=■=■进一步拓展成相似三角形的周长比。在平时的教学中，教师对书中的例题可做改换，让学生去研究，以便做到触类旁通。
二、注重对例题的分析
对教材上例题的研究仅停留在表面上，没有进一步深入研究，就不能充分发挥例题的作用。教师只有对例题研究透，才能有效帮助学生灵活运用知识来解决实际问题。
（一）注意知识点的纵横交错
一道例题，教师要深入挖掘其所应用的知识以及如何应用这些知识，即如何从题中把有用条件挖掘出来是教师在教学中应该做好的事。
例：图1，如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，EF经过点D，且EF∥BC.求证：EF=BE+CF.
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思路分析：①可以从已知条件出发，挖掘已知条件的作用；②也可以从所要证明的结论出发，挖掘需要的条件；③也可两面同时进行，找出架在他们之间的桥梁。在这个过程中，很重要的一点是，应与图形紧密地结合，把已知条件标在图形上，比较直观，便于思考。
教师与学生共同探索解决本题的思路：BD、CD在这里有什么作用、EF有什么作用，并且找出联结它们之间的纽带，这样学生就会发现EF与BE、CF之间的关系，做到水到渠成。证明中，可将综合法与分析法同时应用，能比较快地找到解题的思路。
方法的点拨：在探究出如何解这道题后，有必要对数学思想以及所用的方法给学生提出来，有助于学生思维的进一步发展。
本例中所涉及到的数学方法有以下几种：
1．抽象思维
如图2，图3，通过该图形，我们可以对重要部分进行强调，让学生对常见部分、典型部分加深理解，增加印象。
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图2 图3
强调平行线与角平分线的组合作用：
∵BD是角平分线
∴∠1=∠2
又∵EF∥BC
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
2．分解图形
对较复杂的图形，会影响学生的视觉，扰乱学生的思维，思此，教师在分析问题结合图形时，除了要强调整体感知效应的同时，也应注意图形的分析，让学生有直观、明了的效应。例如：如图4，图5，△ABD、△ACE都是等边三角形.求证：CD=BE.
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本例中除了要结合原图形之外，还把△ADC和△ABE从图形中分解出来，便于学生探究∠1+∠2=∠2+∠3，这样除了这道题会解外，对相关如图5的问题，今后都将迎刃而解。
3．线段的和差
所采用的方法是截取、拼接等，把它作为一种方法提升到重要的启发地位。
知识点的延伸：
例1：如图6，角平分线BO、CO交于点O，过点O作MN∥BC，若AB=12，BC=16，AC=8，则△AMN的周长是多少？
提示：将MN分成两段MO+ON，由平行线与角平分线的作用得
BM=MO，CN=NO
∴MN=BM+CN
例2 如图7，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E、F是垂足，DE=BF.求证：AE=CF.
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图7
关键点：∵AF=CE
∴AF-EF=CE-EF
∴AE=CF
图形的延伸：
通过图形的延伸，可以发散学生的思维，能培养学生加强迁移应用知识的能力。
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（二）能做到触类旁通
一道例题，教师不能就题论题，要找出题中的内在联系，分类研究，一通百通。在研究一道例题时，教师应准备好另一道类似题，在适当的时候及时抛出，这样，学生不但能够巩固所学方法，还能让其加深理解，对这类题的解题思路进一步明确，从而能应用自如，做到触类旁通。
例：如图8，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB＝2AD．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）保持图8中△ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图9中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；
（3）保持图9中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图10中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．
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之后马上抛出：如图11，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，∠BAD＝120°，∠MAN＝60°，将图11中的∠MAN绕点A按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜120°），边AM、AN分别交直线BC、CD于E、F两点．
（1）当0°＜α≤60°时，其他条件不变，如图12、如图13所示．
①如图12，判断线段BE、DF、EF的数量关系，并直接写出结论；
②如图13，①中的结论是否依然成立？若成立，请利用图13证明；若不成立，说明理由．
（2）当60°＜α＜120°时，其他条件不变，请在图14中画出一个符合条件的图形，直接写出所画图形中线段BE、DF、EF的数量关系。