[附录一 矢量分析与场论概念]矢量分析与场论

附录一 矢量分析与场论概念

一．标量场和矢量场

1.1 概念

标量：只有大小而没有方向的量。如电压U 、电荷量Q 、磁通ψ、面积S 等。

矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。

矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。

1.2 矢量描述

矢量A 可采用有向线段、文字、单位矢量、分量表示等多种方式来描述。单位矢量用a 表示，其绝对值（大小或长度）为1。在矢量A 方向上的单位矢量可用下式确定：

a A =

A |A |

用笛卡儿坐标系x 、y 、z 轴的单位矢量i 、j 、k ，可以将任意一个矢量表示为分量形式： A =A X i +A Y j +A z k 根据各分量含义，矢量的绝对值定义为： A =

22A x +A y +A z 2

1.3 场的" 场图" 表示

研究标量和矢量场时，用“场图”表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。

对标量场Ф(r ) ，用等值面图表示。空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面，例如气象图上的等压线，地图上的等高线等。显然，等值面的方程式为Ф(r )=常数值 。

对矢量场F (r ) ，则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为力线或流线。

力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同，即d l ⨯F (r )=0, 称为力线的微分方程式。式中d l 为力线切向的一段矢量。

在直角坐标内，力线的微分方程式可写成：

dx dy dz ==

F x (r)F y (r)F z (r)按统一规则，绘制出力线，则既能根据力线确定矢量场中各点矢量的方向，又可根据各处力线的疏密程度，判别出各处矢量的大小及变化趋势。

1.4 矢量代数 1.4-1 加减运算

作图法：遵循平行四边形法则 分量法：

附图1 力线图

A ±

B =(A x ±B x )i +(A y ±B y )j +(A z ±B z )k

1.4-2 点积运算（标量积、内积） 公式：

A ∙B =A x B x +A y B y +A z B z =ABcos θ

特点： A ∙B =B ∙A

,

|A |=

A ∙A

0≤θ≤1800

n 0

1.4-3 求矢量积 （叉积、外积） 公式：

A ⨯B =(A B s i )n 0 θn 用行列式表示为

θ

A

i

A ⨯B =A x

B x

j A y B y

k A z B z

附图2 矢量积图示（按右手螺旋关系）

=(A y B z -A z B y )i +(A z B x -A x B z )j +(A x B y -A y B x )k

特点： A ⨯B =-B ⨯A

1．4-4 矢量运算满足结合律、分配律和交换律

A ±(B ±C )=(A ±B )±C

m (A ±B )=m A ±m B , (m 1±m 2) A =m 1A ±m 2A

A ±B =B ±A

二．坐标系

2.1-1 概念

空间中任一点与有序数u 1、u 2、u 3一一对应，则称 u 1、u 2、u 3为空间点的曲线坐标。 特点：坐标曲线相互正交，且符合右手定则，即

e u 1⨯e u 2=e u 3, e u 2⨯e u 3=e u 1, e u 3⨯e u 1=e u 2

其中：e 表示为某一空间点的曲线坐标上的单位矢量。

2.1-2 三种常用的坐标系

常用的正交坐标系有三种：直角坐标系(x 、y 、z ；i 、j 、k ) ，圆柱坐标系(r、α、z ；r 0、α0、k 0) 及球坐标系(r、θ、α；r 0、θ 0、α0) 。 如附图3所示。

在以上三种坐标系中，一个矢量可以用三个相互正交的分量表示为

A =A x i +A y j +A z k 直角坐标系 A =A r r 0+A αα0+A z k 圆柱坐标系 A =A r r 0+A θθ0+A αα0 圆球坐标系

附图3 圆柱坐标系和球坐标系

2.1-3 微分体积元、微分面积元和微分线元

在三个坐标系中微分体积元dv 的表达式由附图4给出

x (a ) 直角坐标系

z

y

(b ) 圆柱坐标系

附图4

(c ) 圆球坐标系

dv =dxdydz 直角坐标系

dv =rdrd αdz 圆柱坐标系 dv =r 2sin θdrd θd α 圆球坐标系

由附图4也可求出包围微分体积的各面积元的面积，如在球坐标系中，垂直于r 0的微分面积元为 dS =(rd θ)(rsin θd α)=r 2sin θd θd α 微分线元d l 是通过Q 点处增量长方体对角线长度，有

dl =

直角坐标系

dl = 圆柱坐标系

dl 圆球坐标系

三．矢量的通量、散度

3.1 矢量的通量

面元矢量：有两种情况

d S 为一个开表面上的面元，其方向与围成该开表面的闭合回路的方向呈右螺旋关系。 d S 为一个闭合面上的面元，其方向为该闭合面的外法线方向，如附图5所示。 n

(a ) 开表面

(b ) 闭合表面

附图5面元矢量

通量定义：矢量A 沿某一有向曲面S 的面积分为A 通过S 的通量，即 ψ=

A ⋅d S

S

物理意义：矢量通过闭合面的通量反映了闭合面内源的性质。 3.2 矢量的散度

目的：研究闭合面内每一点附近的通量。

定义：在矢量场A 中，围绕Q 点做一闭合面，所围体积为∆v ，若垂直穿过闭合面的通量与∆ v之比的极限存在，则该极限称为矢量场A 在Q 点的散度，即 div A =lim

A ⋅d S

S

∆v →0

∆v

物理意义：矢量的散度是通量体密度，即通过包围单位体积闭合面的通量。

计算公式：在附图6所示的直角坐标系中，我们以所研究的点(x,y,z ) 为顶点作一个平行六面体，其三个边分别为∆x ，∆y 和∆z ，分别计算三对表面穿出的A 的通量。

从左，右一对表面穿出的净通量等于

∂A y ∂A y ⎛⎫ ⎪-A ∆x ∆z +A +∆y ∆x ∆z =∆x ∆y ∆z y y ⎪∂y ∂y ⎝⎭

附图6 在直角坐标系中计算散度图示

从上，下一对表面穿出的净通量等于

∂A z ∂A z ⎛⎫

-A z ∆x ∆y + A z +∆z ⎪∆x ∆y =∆x ∆y ∆z

∂z ∂z ⎝⎭从前，后一对表面穿出的净通量等于 ∂A x ∂A x ⎛⎫

-A x ∆y ∆z + A x +∆x ⎪∆y ∆z =∆x ∆y ∆z

∂x ∂x ⎝⎭故从六面体穿出的净通量等于

⎛∂A x ∂A y ∂A z ⎫⎛∂A x ∂A y ∂A z ⎫ ⎪⎪++∆x ∆y ∆z = ++ ψ=A ⋅d S = ⎪ ⎪∆v ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ⎝⎭⎝⎭S

令∆ v→0，则

div A =lim

引入哈密尔顿算符 ∇=所以

A ⋅d S

S

∆v →0

∆v

=

∂A x ∂A y ∂A z

++ ∂x ∂y ∂z

∂∂∂

i +j +k ∂x ∂y ∂z

∂A x ∂A y ∂A z

++=∇⋅A div A =∂x ∂y ∂z

3.3 （高斯）散度定理

考虑由任意曲面发出的通量，则有

A ⋅d S =⎰⎰⎰div A dv =⎰⎰⎰∇⋅A dv

S

v

v

上式为散度定理表达式，等式左边表示通过S 面发出的总通量，等式右边则表示S 所包围的体积V 内向外发出的总通量，显然两边应该相等。

证明：将闭合面S 所围的体积dv 分成许多体积元，计算包围每个体积元的小闭合面上穿出的A 的通量，然后叠加。 由散度的定义式

div A =∇⋅A =lim

A ⋅d S

S

∆v →0

∆v

得

A ⋅d S

S i

i

=∇⋅A dv i

由于相邻两体积元有一个公共表面，这个公共表面上的通量对这两个体积元来说恰好等值异号，求和时就相互抵消了。除了邻近S 面的那些体积元外，所有体积元都是由几个与相邻体积元的公共表面包围而成的，这些体积元的通量总和为零。而邻近S 面的那些体积元，它们有部分表面是S 面上

的面元，这部分表面的通量没有被抵消，其总和刚好等于从闭合面S 穿出的通量。故得到

A ⋅d S =∑A ⋅d S

S

i

S i

i

=⎰⎰⎰∇⋅A dv

v

四．矢量的环流、旋度

4.1 矢量的环流

定义：矢量A 沿某一有向闭合曲线 l 的线积分为A 沿l 的环流，即

A ⋅d l

l

物理意义：矢量沿闭合曲线的环流反映了闭合曲线内源的性质。 4.2 矢量的旋度

目的：研究闭合曲线内每一点处的环流。

定义：在矢量场A 中，围绕Q 点做一闭合回路，所围面积为∆S ，A 的旋度是矢量，其大小为∆S →0 时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方向，即

rot A =Curl A =∇⨯A =lim

A ⋅d l

l

∆S →0

∆S

max

n 0

物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。

4.3 旋度计算公式：

如附图8示，以M 为顶点，取一个平行于yz 平面的矩形面元，则面元矢量与x 轴平行，其模用 ∆S x 表示。则M 点的矢量A 为

A =A x i +A y j +A z k A 沿图示矩形回路l 的积分为

S

附图7 矢量的旋度在面元矢量上的投影

∂A z

dy y +

∂A y ∂z

dz

⎛⎫∂A z ⎪A ⋅d l =A ∆y +A +∆y ∆z y z ⎪∂y ⎝⎭l

∂A y ⎛⎫ ⎪-A +∆z ∆y -A z ∆z y ⎪∂z ⎝⎭⎛∂A z ∂A y ⎫= ∂y -∂z ⎪⎪∆y ∆z ⎝⎭

故，

A y 附图8 在直角坐标系中计算旋度

∆S x →0

lim

A ⋅d l

l

∆S x

=

∂A z ∂A y

- ∂y ∂z

由上所述，此极限是rot A 在i ∆S x 上的投影，也即rot A 在x 轴上的投影。相似地，取面元∆S y , ∆S z 分别平行于y 轴和z 轴，用与上面相同的运算得到rot A 在y 轴和z 轴上的投影。所以

i j k

⎛∂A z ∂A y ⎫⎛∂A x ∂A z ⎫⎛∂A y ∂A x ⎫∂∂∂

⎪ ⎪rot A =∇⨯A == -i +-j +-k ⎪ ⎪ ⎪∂x ∂y ∂z ∂z ⎭⎝∂z ∂x ⎭∂y ⎭⎝∂y ⎝∂x

A x A y A z

推论：任一矢量的旋度的散度恒为零，即

∇⋅(∇⨯A )=0

4.4 斯托克斯定理

考虑沿任一闭合曲面的环量，可得

l

A ⋅d l =⎰⎰(rot A )⋅d S

l

S

证明：将闭合回路 l 所围的面积S 分成许多面元，计算沿包围每个面积元的小闭合回路d l i 上的A 的环流，然后叠加。应用旋度矢量的定义式可得

A ⋅d l

l i

i

=∇⨯A ⋅d S i

附图9 沿大回路的环流的计算

可以看出，将上式所有环流相加时，各个小回路在公共边上的那部分积分相互抵消（因为相邻小回路在公共边界上积分方向一定相反），仅在没有公共边的部分没有抵消，故所有小回路环流的总和等于沿大回路l 的环流，即

∑A ⋅d l

i l i

i

=A ⋅d l

l

该式左边当无限多个无限小的面元相加时，可以写为

∑∇⨯A ⋅d S

S i

i

=⎰⎰∇⨯A ⋅d S

S

从而证明了斯托克斯定理。

五．标量的梯度

5.1概念

由求等值面的最大变化率引出标量的梯度概念。

定义：标量场u 在某点的梯度是一个矢量，其方向为u 增加最大的方向，即等值面法线方向；其大小等于u 在该方向上的增加率，即最大增加率，如附图10所示。

物理意义：标量的梯度表示了标量u 增加率的最大值及方向。 计算公式：

∂u 0

grad u =∇u =grad u n 0=n

∂n

u +du u

r r +dl

(a ) 标量场 (b ) u 沿不同方向的变化率

附图10 标量场与梯度

5.2 梯度与方向导数的关系：

标量沿某一方向的方向导数等于标量的梯度在该方向上的投影，即

du du dl n

==∇u cos θ=∇u ⋅n 0 dl dl n dl

特点：∇u 是矢量，与坐标系无关，∇u 与u 的等位面正交。 推论：任一标量的梯度的旋度恒为零，即 ∇⨯(∇u )=0

六．亥姆霍兹定理

6.1 亥姆霍兹定理：

位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度以及它在区域边界上的场分布给定之后，该矢量场就被唯一确定；对于无限大空间，如果矢量在无限远处减少至零，则该矢量由其散度和旋度唯一确定。

6.2 几个场的名称和性质 6.2-1保守场

∇u 沿线积分与路径无关，沿闭合回路的积分为零。即

p 2

p 1

⎰∇u ⋅d l =u (p

2

) -u (p 1)

则∇u 称为保守场，u 称为保守位场。 6.2-2 无旋场

旋度为零的矢量场叫做无旋场。

标量函数的梯度是无旋场，如静电场。 无旋场的散度不能处处为零。 6.2-3 无散场

散度为零的矢量场叫做无散场。 矢量的旋度是无散场，如恒定磁场。 无散场的旋度不能处处为零。 6.2-4 一般场

既有旋度，又有散度的矢量场。

这个矢量场可以表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和，即

F (r ) =F 1(r ) +F 2(r )

其中F 1(r ) 为无旋度分量，其散度不为0，设为ρ (r ) ，F 2(r ) 为无散度分量，而它的旋度不为0，设为J (r ) ，因此有:

∇⋅F (r ) =∇⋅(F 1(r ) +F 2(r ) )=∇⋅F 1(r ) =ρ(r )

和

∇⨯F (r ) =∇⨯(F 1(r ) +F 2(r ) )=∇⨯F 2(r ) =J (r )

如上可见，F (r ) 的散度代表着形成矢量场的一种“源”ρ (r ) ，而的旋度则代表着形成的另一种“源”J (r ) 。一般当这两类源在空间的分布确定时，矢量场本身也就唯一的确定了。这一规律即为亥姆霍兹定理。由亥姆霍兹定理可知，对矢量场的研究应从散度和旋度两方面进行。散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本微分方程，通量方程和环流方程组成了矢量场的基本积分方程。

七．常用矢量分析公式

设u 、v 为标量（数量），A 、B 为矢量，则有

∇(uv ) =u ∇v +v ∇u ∇⋅(u A ) =∇u ⋅A +u ∇⋅A ∇⨯(u A ) =∇u ⨯A +u ∇⨯A

∇(A ⋅B ) =(A ⋅∇)B +(B ⋅∇)A +A ⨯(∇⨯B )+B ⨯(∇⨯A )∇⋅(A ⨯B ) =B ⋅(∇⨯A )-A ⋅(∇⨯B )

∇⨯(A ⨯B ) =A (∇⋅B )-(A ⋅∇)B +(B ⋅∇)A -(∇⋅A )B ∇⨯(∇⨯A ) =∇(∇⋅A )-∇2A ∇⨯(∇u ) =0∇⋅(∇⨯A ) =0

⎰⎰⎰∇udV =ud S

v

s

⎰⎰⎰(∇⋅A )dV =A ⋅d S

v

s

⎰⎰⎰(∇⨯A )dV =(n

v

s

⨯A d S

)

⎰⎰(n

s s

⨯∇u d S =ud l

l l

)

⎰⎰(∇⨯A )⋅d S =A ⋅d l

2

u ∇v ⋅d S =u ∇⎰⎰⎰v +∇u ∇v dV s

v

()

∂u ⎫⎛∂v 22u -v dS =u ∇v -v ∇u dV ⎪⎰⎰⎰∂n ∂n ⎭s ⎝v

()

八．梯度、散度、旋度及∇ 算符在柱坐标和球坐标系的表达式

8.1 柱坐标系

∇U =

∂U r 0+∂U α0+∂U

k ∂r ∂α∂z

∇⋅A =1∂

r ∂r (rA 1∂A α∂A z

r ) +r ∂α+

∂z

10r r α01∂

∂r k ∂∇⨯A =∂r

∂α∂z A r

rA α

A z

2

1∂∂U 1∂2U ∂2∇U =r ∂r (r U

∂r ) +r 2∂α2

+∂z

2

∇2A =r 0⎛ 2∂A A r ⎫⎛

2∂A A ε⎫⎝∇2A αr -r 2∂α-r 2⎪⎭+α0 ⎝

∇2A r α+r 2∂α-r 2⎪⎭+k (∇2A z

)

8.2 球坐标系

∇U =∂U 01∂U 01∂U

∂r r +r ∂θθ+rsin θ∂αα0

∇⋅A =1∂21∂

r 2∂r (r A r ) +rsin θ∂θ(A θsin θ)+1∂A α

rsin θ∂α

1

r 2sin r 01θ010

∂θrsin ∂θr α

∂

∇⨯A =∂r ∂θ∂α

A r rA θr s i θn A α

2U =1∂2∂U 1∂⎛∂U ⎫1∂2∇U

r 2∂r (r ∂r ) +r 2s i n θ∂θ ⎝s i n θ∂θ⎪⎭+r 2s i n 2θ∂α2∇2A =r 0⎛ ∇2A ⎫

⎝r -2⎛

r 2 ⎝A ∂A α∂A θ

r +A θc t g θ+c s θc ∂α+∂θ⎪⎫

⎭⎪⎪⎭

+θ0⎛ ⎝∇2A θ-1⎛

r 2 ⎝A θc s c 2θ-2∂A α

∂θ+2c t g θ⋅c s θc ∂A ε⎫⎫

∂α⎪⎭⎪⎪⎭

+α0⎛ 21⎛2∂A r ∂A θ⎫⎫

⎝∇A α-r 2 ⎝A αc s c θ-2c s θc ∂α-2c t g θ⋅c s θc ∂α⎪⎭⎪⎪⎭

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