【微积分习题答案上海同济大学数学】

微积分习题答案Chapter-3_上海同济大学数学三 1．解：(1) vtlim

s(t)t

v0lim

v0gtt;

12glim

2tt(t)

t

2

t0t0t0

v0gt.

(2)由 vtv0gt0有t

12

(3)由vtv0gt有vTg(2t)v0.。

3．求曲线y=x(1-x)在横坐标为1处的切线的斜率。 解：由y=1-2x可知当x=1时，y=-1。 (0)lim5．解：(1) y



x0

x0x00

2

(0)lim0,y



x0

x0x0

x

2

0y(0)0;

(0)lim(2)y



x0

x

11

x0

(0)limlimx,y



x0

x0



0

x0

limx,

x0



因此，只有当为有理数且

n2m

时y(0)limx0成立。

x0

6．解：由于得f(x)在x=0和x=1点处可导，则必然在x=0和x=1点处连续，因此

(1) f(0)f(0),即lim(e1)lim(xa)a0;

x0

x0

x

(2) f(1)f(1),即lim

x1

x1



7．设f(x)在x=0点连续，且lim

x1

f(x)1

x

x0

lim

x1

bsin(x1)11

x1

b1.

x0

1，(1)求f (0); (2) 问f(x)在x=0点是否可导？

解：由于得f(x)在x=0点连续，则limf(x)f(0).

由lim

f(x)1x

x

1有：

limxlim

x0

x0

(1) limx

x0

f(x)1f(x)1x

x0

0limf(x)10limf(x)1，

x0

x0

即f (0)=1;

(2) lim

f(x)1x

x0

lim

f(x)f(0)

x0

x0

1f(0)1.

8．解:函数g(x)在x=0点连续,则当x0时, 存在某个领域U(0),在此领域内g(x)是有界量。 因此

f(0)lim

f(x)f(0)

x0

x0

lim

g(x)sinxg(0)sin0

x

x0

lim

g(x)sinx

x

x0

g(0).

9．设f(0)1,g(1)2,f(0)1,g(1)2,求 (1)lim

cosxf(x)

x

lim

(cosx1)(f(x)1)

x

x0x0

lim

cosx1

x

x0

lim

f(x)f(0)

x

x0



12

f(0);

(2)lim

2f(x)1

x

x

x0

lim

2f(x)f(x)f(x)1

x21x

x

x

x0

limf(x)

x0

lim

f(x)1x

x0

f(0)ln2f(0);

(3)lim

x1x1

lim

x1

x1

1x1

lim

x1

2lim

x1

lim

x1

.

2lim

x1

g(1)1;

10．设f(0)1,f(0)1,求极限lim解: lim

f(lnx)11x

x1

x1

f(lnx)1tlnxf(t)1f(t)f(0)

limlimf(0); tt0t01x1et

f(2x)1x2x

2

x2

11．设f(0)1,f(0) (2)求极限lim1,(1)求当x0时,f(x)1的主部；.

解：(1) 求当x0时,f(x)1f(0)(x1)o(x1),因此f (x)-1的主部为1-x ;

f(2x)1x2x

2

(2) lim

x2

lim

x2

f(2x)1t2xf(t)f(0)

lim

t0x(x2)t(t2)

1t2

lim

t0

lim

t0

f(t)f(0)

t



12

limf(0)

t0

12

;

17．解: (1) 由f(x)在(,)内可导，有

lim

f(x)f(0)

x0

limx

x0

1

x0

sin

1x

,

当>1时,上述极限存在；



(2) 当x 0时, f(x)xsin

1x

x

1

sin

1x

x

2

cos

1x

,

由limf(x)存在可知 >2，且有

x0

1112

xsinxcos,x0

f(x) xx

0,x0

18．解: 已知yxa与ybln(12x)在x=1点相切，即

2

 xa

2



x=1

bln(1

x2x)12

23

bb3;

在切点处函数值相等，则

xax=13ln(12x)x1a13ln3a3ln31.

2