复变函数与积分变换试题_复变函数与积分变换期末试题(附有答案)
复变函数与积分变换期末试题
一．填空题（每小题3分，共计15分）
1．
1-i 的幅角是
；2.
2
(5)
Ln (-1+i ) 的主值是
1f (z ) =）f （
；3.
1+z 2，(0) =（ 0 ），4．z =0是
z -sin z 1
f (z ) =的（ 一级 ）极点；5． ，Re s [f (z ), ∞]=（-1 ）；
z 4z
二．选择题（每题3分，共15分）
1．解析函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 的导函数为（ ）；
（A ）
f "(z ) =u x +iu y ； （B ）f "(z ) =u x -iu y ；
（C ）
f "(z ) =u x +iv y ； （D ）f "(z ) =u y +iv x .
C
2．C 是正向圆周z =3，如果函数f (z ) =（ ），则f (z ) d z =0．
33(z -1) 3(z -1) ； （B ）； （C ）；
2z -2z -2(z -2) （A ）
n
c z 3．如果级数∑n
n =1
∞
在z =2点收敛，则级数在
（A ）z
=-2点条件收敛 ； （B ）z =2i 点绝对收敛；
共6页第 页
（C ）z =1+i 点绝对收敛； （D ）z =1+2i 点一定发散．
４．下列结论正确的是( )
（A ）如果函数f (z ) 在z 0点可导，则f (z ) 在z 0点一定解析；
（C ）如果
C
f (z ) dz =0，则函数f (z ) 在C 所围成的区域内一定解析；
（D ）函数
f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是
u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ ）．
1
∞为sin 的可去奇点；(A) (B) ∞为sin z 的本性奇点；
z
(C)
∞为
的孤立奇点sin z
1
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）
（1）．设f (z ) =x +axy +by +i (cx +dxy +y ) 是解析函数，求
2
2
2
2
a , b , c , d .
解：因为f (z ) 解析，由C-R 条件
共6页第 页
∂u ∂v ∂u ∂v ==- ∂x ∂y ∂y ∂x
2x +ay =dx +2y ax +2by =-2cx -dy ,
a =2, d =2, ，a =-2c , 2b =-d , c =-1, b =-1,
给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
e z
d z 其中C 是正向圆周： （2）．计算C 2
(z -1) z
解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程
e z
因为函数f (z ) =在复平面内只有两个奇点z 1=0, z 2=1，分别以z 1, z 22
(z -1) z 为圆心画互不相交互不包含的小圆
c 1, c 2
且位于c 内
e z
C (z -1) 2z d z =C 1
e z e z (z -1) 2d z d z + C 2(z -1) 2z
e z e z
=2πi () "+2πi
z z =1(z -1) 2
=2πi
z =0
无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。
z 15
（3）．d z
z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3
解：设f (z ) 在有限复平面内所有奇点均在：z
共6页第 页
z 15
z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3d z =-2πi Re s [f (z ), ∞] -----（5分）
11
=2πi Re s [f () 2] ----（8分）
z z
11f () 2=z z
1() 15(1+
12143) (2+() ) 2
z z
1
2z
111f () 2=有唯一的孤立奇点z =0, z z z (1+z 2) 2(2z 4+1) 3
11111Re s [f () 2, 0]=lim zf () 2=lim =1 2243
z z z z (1+z ) (2z +1) z →0z →0
z 15
∴d z =2πi --------（10分）
z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3
z (z 2-1)(z +2) 32
(z -3) （4）函数f (z ) =在扩充复平面上有什么类型的奇
(sinπz ) 3
点？，如果有极点，请指出它的级. 解
：
z (z 2-1)(z +2) 3(z -3) 2
f (z ) =的奇点为z =k , k =0, ±1, ±2, ±3, ，∞3
(sinπz )
sin πz ）=0的三级零点，（1）z =k , k =0, ±1, ±2, ±3, 为（
，z =±1, 为f (z ) 的二级极点，z =-2是f (z ) 的可去奇点，（2）z =0
（3）z
3
=3为f (z ) 的一级极点，
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（4）z =2, -3, ±4 ，为f (z ) 的三级极点；
（5）∞为f (z ) 的非孤立奇点。
备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。
1
在以下区域内展开成罗朗级数； 2
z (z -1)
四、（本题14分）将函数f (z ) =
（1）0
解：（1）当0
111
f (z ) =2=-[]"
z (z -1) (z -1) (z -1+1)
∞1
]"=[∑(-1) n (z -1) n ]" 而[
(z -1+1) n =0
=∑(-1) n n (z -1) n -1
n =0
∞
f (z ) =∑(-1) n +1n (z -1) n -2 -------6分
n =0
∞
（2）当0
111f (z ) =2=-2=-2
z (z -1) z (1-z ) z
n
z ∑ n =0
∞
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=-∑z n -2 -------10分
n =0
∞
（3）当1
f (z ) =
11
=
z 2(z -1) z 3(1-1)
z
1n ∞1
() =∑n +3 ------14分 ∑n =0z n =0z
∞
1
f (z ) =3
z
每步可以酌情给分。
五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题：
⎧y ""(x ) -5y "(x ) +4y (x ) =e -x
⎨
⎩y (0) =1=y "(0) =1
解：对y (x ) 的Laplace
变换记做L (s ) ，依据Laplace 变换性质有
1
…（5分） s +1
s 2L (s ) -s -1-5(sL (s ) -1) +4L (s ) =
整理得
11
+
(s +1)(s -1)(s -4) s -11111
…（7分） =-++
10(s +1) 6(s -1) 15(s -4) s -1151
=++
10(s +1) 6(s -1) 15(s -4)
L (s ) =
1-x 5x 14x
e +e +e …（10分） 10615
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y (x ) =
六、（6分）求
f (t ) =e
+∞
-βt
(β>0) 的傅立叶变换，并由此证明：
cos ωt π-βt
d ω=e 22⎰0β+ω
-βt
-i ωt
解：F (ω) =⎰e e
-∞
+∞
dt (β>0) --------3分
F (ω) =⎰e
-∞
-i ωt βt
e dt +⎰e -i ωt e -βt dt (β>0)
+∞
+∞
=⎰e
-∞
(β-i ω) t
dt +⎰e -(β+i ω) t dt (β>0)
=
e
(β-i ω) t 0
-
-∞
e
-(β+i ω) t +∞
(β>0)
F (ω) =
112β+ =2 (β>0) ------4分 2
-i +i β+ω
+∞
1f (t ) =
1=⎰
-∞
e i ωt F (ω) d ω (β>0) - -------5分
⎰
+∞
-∞
e i ωt
2β
d ω (β>0) 22
β+ω
=
⎰2β
1
+∞
2
ββ+ω
2
-∞
(cosωt +i sin ωt ) d ω (β>0)
=
⎰
+∞
cos ωt i
ω +
β2+ω2βsin ωt
⎰-∞β2+ω2ω (β>0)
+∞
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f (t ) =
2β
π
⎰
+∞
cos ωt
ω (β>0) ， -------6分 22
β+ω
+∞
cos ωt π-βt
d ω=e 22⎰0β+ω
«复变函数与积分变换»期末试题简答及评分标准（B ）
填空题（每小题3分，共计15分）
（）；2. Ln (-1-i ) 的
）；3.
f (z ) =
1
1+z 2
，
f (7) (0) =（ 0 ）；
z -sin z 1
f (z ) =f (z ) =Re s [f (z ), 0]=4． ，（ 0 ） ；5． ，
z 2z 3
Re
s [f (z ), ∞]=（ 0 ）；
二．选择题（每小题3分，共计15分）
1．解析函数
f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 的导函数为（ ）；
（A ）
f "(z ) =u y +iv x ； （B ）f "(z ) =u x -iu y ；
（C ）
f "(z ) =u x +iv y ； （D ）f "(z ) =u x +iu y .
C
2．C 是正向圆周z =2，如果函数f (z ) =（ ），则f (z ) d z =0．
3z 3z 3
（B ）； （C ）； （D ）. 22
z -1(z -1) (z -1)
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3．如果级数∑c n z n 在z =2i 点收敛，则级数在
n =1
∞
（A ）z =-2点条件收敛 ； （B ）z =-2i 点绝对收敛； （C ）z =1+i 点绝对收敛； （D ）z =1+2i 点一定发散． ４．下列结论正确的是( )
（A ）如果函数f (z ) 在z 0点可导，则f (z ) 在z 0点一定解析；
(B) 如果f (z ) dz =0, 其中C 复平面内正向封闭曲线, 则f (z ) 在C 所围成
C
的区域内一定解析；
（C ）函数f (z ) 在z 0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z -z 0的幂级数，而且展开式是唯一的；
（D ）函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、
v (x , y ) 在该区域内均为调和函数．
5．下列结论不正确的是（ ）． （A ）、n z l
是复平面上的多值函数； (B ) 、cosz 是无界函数；
z (C ) 、sin z 是复平面上的有界函数；（D ）、e 是周期函数．
三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）
2
2
2
2
（1）求a , b , c , d 使f (z ) =x +axy +by +i (cx +dxy +y ) 是解析函数，
解：因为f (z ) 解析，由C-R 条件
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∂u ∂v ∂u ∂v ==- ∂x ∂y ∂y ∂x
2x +ay =dx +2y ax +2by =-2cx -dy ,
a =2, d =2, ，a =-2c , 2b =-d , c =-1, b =-1,
给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
（2）．
C
1
d z ．其中C 是正向圆周z 2
z (z -1)
=2；
解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程
1
在复平面内只有两个奇点z 1=0, z 2=1，分别以z 1, z 22
(z -1) z
因为函数f (z ) =
为圆心画互不相交互不包含的小圆
c 1, c 2
且位于c 内
1
C (z -1) 2z d z =C 1
11(z -1) 2d z d z + C 2(z -1) 2z
11
"=2πi () +2πi z z =1(z -1) 2
1
3z
=0
z =0
z e
d z ，其中C 是正向圆周z =2； （3）．计算C
(1-z )
解：设f (z ) 在有限复平面内所有奇点均在：z
z =2
f (z)dz =-2πi Re s [f (z ), ∞]=2πic -1 -----（5分）
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1
31z 21z z e z e 111111=-=-z 2(1++++ )(1++++ ) 23231(1-z ) z 2! z 3! z z z z 1-z
=-(z 2+z +111111++ )(1++++ ) 2232! 3! z 4! z z z z
811+) =- 32! 3! c -1=-(1+1+
z =28f (z)dz =-2πi 3
(z 2-1)(z +2) 3
（4）函数f (z ) =在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有(sinπz ) 3
极点，请指出它的级.
f (z ) 的奇点为z =k , k =0, ±1, ±2, ±3, ，∞
3z =k , k =0, ±1, ±2, ±3, 为（sin πz ）=0的三级零点，
z =±1, 为f (z ) 的二级极点，z =-2是f (z ) 的可去奇点，
z =0, 2, -3, ±4 ，为f (z ) 的三级极点；
∞为f (z ) 的非孤立奇点。
给出全部奇点给5分。其他酌情给分。
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四、（本题14分）将函数f (z ) =
朗级数； 1在以下区域内展开成罗z 2(z +1)
（1）0
（1）0
解：（1）当0
111f (z ) =2=[]" z (z +1) (z +1) (1-(z +1)
∞∞1n -1n ""=n (z +1) []=[(z +1) ]而 ∑∑(1-(z +1) n =0n =0
f (z ) =∑n (z +1) n -2 --------6分
n =0∞
（2）当0
11f (z ) =2=z (z +1) z 2
∞n n (-1) z ∑n =0∞
=∑(-1) z n -2 -----10分
n =0
（3）当1
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12
f (z ) =11=z 2(z +1) z 3(1+1)
z
1n ∞n 1(-) =(-1) ∑∑n +3 --------14分 z z n =0n =0∞1f (z ) =3z
五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题
⎧y ""(x ) +2y "(x ) -3y (x ) =e -x
⎨ "y (0) =0, y (0) =1⎩
解：对y (x ) 的Laplace 变换记做L (s ) ，依据Laplace 变换性质有
1 …（5分） s +1s 2L (s ) -1+2sL (s ) -3L (s ) =
整理得
s +2 …（7分） (s +1)(s -1)(s +4) L (s ) =
131y (x ) =-e -x +e x -e -3x …（10分） 488
六、（本题6分）求⎧1t ≤1f (t ) =⎨的傅立叶变换，并由此证明： t >10⎩
⎧πt
ω0⎪0t >1⎩
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解：F (ω) =⎰+∞
-∞e -i ωt f (t ) dt
F (ω) =⎰e -i ωt dt -------2分 -11
e =-i ω-i ωt 1=i
-1e -i ω-e i ωω=2sin ωω----- 4分
1f (t ) =2π
=⎰+∞-∞e i ωt F (ω) d ω ----------- 5分 π⎰
11+∞-∞e i ωt sin ωωd ω =π⎰2+∞sin ω-∞ω(cosωt +i sin ωt ) d ω =π⎰+∞sin ωcos ωt
0ωω + π⎰i +∞sin ωsin ωt
-∞ωω
+∞sin ωcos ωt ω d ω=π2f ⎧πt 1⎩
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14