代数式与x的取值无关【约束条件下二元代数式取值范围的求法】

　　二元代数式是指含有两个变量的代数式，其中两个变量在约束条件的限制下，求二元代数式取值范围问题，因其背景（载体）形式丰富多样，涉及的知识点较多，综合性较强，故解法也较多．笔者就此类问题作了一些探究，下面分方法举例予以说明，以供大家参考．
　　
　　1 函数法
　　
　　评析：一般地，若能将约束条件变为用其中一个变量表示另外一个变量，代入二元代数式，就可以将二元问题转化为函数问题处理，但要注意所得新函数的定义域．
　　
　　2 参数法
　　
　　评析：一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常便于使用曲线的参数方程，将二元变量转变为一元变量，利用三角函数的知识求解．
　　
　　3 换元法
　　
　　评析： 通过整体换元，将约束条件和所求问题中的二元代数式有机的联系起来，使问题得以顺利解决．
　　
　　4 待定系数法
　　
　　评析：若约束条件和所求问题中的二元代数式结构（形式）相同或相似时，可利用待定系数法，将所求二元代数式用约束条件中的二元代数式表示，再利用不等式的运算性质求解．
　　
　　5 均值不等式法
　　
　　评析：利用均值不等式是求约束条件下二元代数式取值范围的主要方法，但要注意等号成立的条件（即“一正，二定，三相等，四取等号”）必须满足，缺一不可．
　　
　　6 数形结合法
　　
　　对于例3可用数形结合（线性规划）的方法求解：
　　解析：本题的实质是：已知实数a,c满足不等式组－4≤a－c≤－1,
　　－1≤4a－c≤5. 求9a－c的最值，此即线性规划问题，因此可以用线性规划的方法求解．又目标函数为
　　f(3)=9a－c，即c=9a－f(x)，作出可行域，如图2所示．由图可知，目标函数c=9a－f(x)分别在A、C处取得最小值和最大值．
　　由4a－c=－1,
　　a－c=－1. 得A(0,1)，
　　由a－c=－4,
　　4a－c=5. 得C(3,7)，
　　
　　评析：通过数形结合，将求约束条件下二元代数式取值范围问题，转化为平面解析几何中求直线的纵截距、斜率或有关距离的最值问题．此方法呈现的是问题的本质规律和数学的内在美，具有直观、简洁的特点．
　　
　　7 判别式法
　　
　　评析：将动点到定直线的距离所得二元代数式的最值问题，转化为曲线与直线相切的位置关系问题，一般可用二次方程的判别式求解．
　　
　　8 导数法
　　
　　对于例6可用导数的几何意义求解.
　　解析：求椭圆上的动点到定直线的距离所得二元代数式的最小值问题，可转化为利用导数，去求椭圆上切线斜率等于已知直线斜率的切点问题．
　　
　　评析：将动点到定直线的距离所得二元代数式的最值问题，转化为利用导数的几何意义，去求曲线上切于一点的切线斜率问题，此法是对求直线斜率思想方法的丰富和有益补充．
　　
　　“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文