[“老师，这个方法好奇怪”]老师快拔出来好痛好奇怪
在平常的数学教学中，我们经常会见到些很巧妙的解法，给人以优美、简洁、流畅之感，的确是一种美的享受。在享受美的同时，稍有不慎，就会发生“意外”。有时如能很好的加以利用，深入的挖掘它背后的东西，也会有意想不到的收获。下面就从最近遇到的一个问题谈谈这一资源的利用。
问题：若cosx+2sinx=- 则tanx=( )
A.2 B.-2 C. D. -
[分析]：处理此题有多种解法，在让学生对解法进行评价和比较时，学生们对其中一种解法评价很高，也就是利用导数求解的方法，该法显得干净利落，很有创意。详细解答如下：
解：对等式两边求导得: -sinx+2cosx=0即tanx=2.答案选A
面对这一解法，有学生当场就提出质疑：这方法有问题。面对着突如其来的“发难”，学生们表情各异，惊愕、怀疑…….。学生的这一质疑，老实说是我在备课时没有预料到的.
我就停下来，让学生发表高见，看到底有什么问题
学生1：如cosx+2sinx=-2则tanx=( )（称为变式1），照上述解法结果却与原问题答案相同。
对于更一般性的：如 cosx+2sinx=k,则tanx（称为变式2）的值也相同，其实大家都知道这些题结果肯定是不同的。
这一质疑在学生中引起了不小的震动。
于是我就干脆停下原有的教学安排，顺势引导学生来研究、探讨这个方法到底有什么问题。
为了弄明白、搞清楚这一问题，下面我们把整个讨论过程展示出来。
教师：问题出在哪里呢？是用导数的方法错了？还是同学的扩展、推广错了？（经过短暂的寂静）
学生2：我们应该首先弄清处导数概念的含义是什么？
学生3：为什么要弄清概念的意义？导数不就是斜率吗？
学生2：。第一，对于等式成立，两边求导是否成立？第二，两边求导的意义是什么？只有弄清概念的意义，才知道为什么求导。以及求导的意义，是我们必须解决的最主要，也是最关键的问题。
教师：说的好。
同学们好像受到老师的鼓励，讨论更激烈，也更深入。
学生4：从现有的知识可以知道，导数是函数的切线的斜率。对于方程右边恒为零，难道左边的斜率也一定是零吗？
学生5：对于原问题，可以考虑借组函数的思想:设 =cosx +2sinx， = - 。则y= 与y= 图形交点的横坐标就是原问题的解，而交点就是 函数的极小值，即 =0，
教师：所以，就可以得出一个结论，求导的方法并不是对问题1两边求导而是因为原问题中等式的解x“恰好”使得 =cosx +2sinx的导数为0，因此x满足 =0，从而得到 =0，即-sinx+2cosx=0到此，问题终于真相大白。
教师：那么，注意到了- 为 =cosx +2sinx的极值这一点，我们可以得到一个普遍的变式。
已知mcosx+nsinx= ，则tanx=_______请同学们来推导推导。
一会儿学生写出了解答。
解：—mcosx+nsinx=0，所以tanx= 。可以做以下证明mcosx+nsinx= .sin(x+ )= 且tan =
所以sin(x+ )= 1，x+ = +k ,x= + k - ,tanx=tan( + k - ) =cotx=
学生7：对上述过程，我们可以发现关键因素就是所求方程的值“恰好”为函数极值点的横坐标，从而可以转化导数为0进行求解。
教师：把他抽象出来，用更一般的语言表述：
如果方程 =m,并且y= 的极值为吗m那么有 =0.
如果 y= 的极值不为m,我们有如何转化。
如果方程 =m.并且y= 在y= 于y=m交点处的切线斜率k那么有 =k从而简化计算。
教师：今天同学们做得很好，不但掌握了解决问题的具体方法，而且明白了解法产生的根本原因，即知其然，也知其所以然。同学们还有什么感受？
学生：只要我们用心去专研，无限风光却实在险峰；真的还有一种登高临绝顶，一览众山小的感觉啊。
教师：总结的好，谢谢大家的参与、合作。
在课后的反思中写道：本题是一道小题目，但颇具特色，玲珑剔透！题目设计巧妙，看似简单。但很具探索性，通过师生的共同努力，完成的很圆满。虽然原定的计划没完成，但收获颇多。
正如章建跃教授所言，“概念是思维的细胞，数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道已！从教育与发展心理学的观点来看，将凝结在数学概念中的数学家思维活动打开，以典例为载体引导学生展开分析实例的属性，抽象概括共同本质属性、归纳得出问题本质所在”.变老师讲题目的“背景、思想、应用”为学生自己去完成。多给学生阐述不同见解的机会，也使课堂多一份激情，学生多一份热爱和执着，真的很值。
本节课把解题课变成了一堂渗透新教学原理，师生合作交流的探究课、大家共同学习的发展课，学生成了课堂的主人，构建了自己的知识网络，培养了学生的数学品质。这不正是我们新课改所提倡和发扬的吗！