解析几何 一道解析几何题的多种解法一道解析几何题的多种解法

　　【摘要】新课程理念倡导学生自主探究,下面的题目是我的一次作业练习,在批阅之后,出现了意想不到的结果,现整理成文以飨读者。　　【关键词】几何题；解法　　　　题目 已知圆C:（x-1)2+(y+2)2=9,是否存在斜率为1的直线l，使以l被曲线C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
　　一、设而不求
　　解 设直线l的方程为y=x+b,直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)。
　　由题意知OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0。（*）
　　即x1x2+(x1+b)(x2+b)=0，2x1x2+b(x1+x2)+b2=0。
　　由y=x+b,
　　(x-1)2+(y+2)2=9，消去y，得
　　2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0。
　　Δ=（2b+2)2-8(b2+4b-4)>0，
　　即b2+6b-90。
　　所以存在斜率为1的直线l，使以l被曲线C截得的弦AB为直径的圆过原点，它们的方程为y=x+1或y=x-4．
　　二、抓关键点——弦AB的中点
　　直接法:设直线l的方程为y=x+b,AB的中点为D,
　　则CD⊥AB,得kCD=-1,直线CD方程为x+y+1=0,
　　由x+y+1=0,
　　y=x+b，得D-b+12,b-12。
　　在Rt△ACD中,AC=3,CD=|3+b|2,AD=DO=
　　b+122+b-122。
　　由勾股定理,AC2=CD2+AD2。
　　即9=b+322+b+122+b-122,解得b=1或-4。
　　所以存在斜率为1的直线l，直线l的方程为y=x+1或y=x-4．
　　间接法: 设直线l的方程为y=x+b, AB的中点D(a,b)。
　　由CD⊥AB,得b+2a-1=-1。
　　(1)
　　在Rt△ACD中,AC=3,CD=(b+2)2+(a-1)2,AD=DO=a2+b2。
　　由勾股定理,AC2=CD2+AD2,
　　即9=(b+2)2+(a-1)2+a2+b2。
　　(2)
　　联立(1)(2)解得a=-1
　　b=0或a=32,
　　b=-52。
　　当a=-1,
　　b=0时,直线l的方程为y=x+1;
　　当a=32,
　　b=-52时,直线l的方程为y=x-4．
　　三、借助曲线系
　　解 设直线l的方程为y=x+b。
　　以AB为直径的圆可设为(x-1)2+(y+2)2-9+λ(x-y+b)=0,
　　即x2+y2+(λ-2)x+(4-λ)y-4+λb=0,圆心为2-λ2,λ-42。
　　由圆心在直线l上得2-λ2-λ-42+b=0。
　　(1)
　　由以AB为直径的圆过原点得-4+λb=0。
　　(2)
　　联立(1)(2)解得λ=4,
　　b=1或λ=-1,
　　b=-4。
　　所以存在斜率为1的直线l，直线l的方程为y=x+1或y=x-4．
　　四、线段AB可看作两圆的公共弦
　　解 设以AB为直径的圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0。
　　由以AB为直径的圆过原点得F=0。
　　两圆方程相减可得公共弦AB所在直线方程为
　　(D+2)x+(E-4)y+4=0。
　　由圆心-D2,-E2在直线AB上得(D+2)×-D2+(E-4)×-E2+4=0。
　　(1)
　　又由于直线AB的斜率为1，可得-D+2E-4=1。
　　(2)
　　联立(1)(2)解得D=2，
　　E=0或D=-3，
　　E=5。
　　当D=2，
　　E=0时,直线l的方程为y=x+1；
　　当D=-3,
　　E=5时,直线l的方程为y=x-4．
　　事实上,在现行教学理念下,多给学生一些自主学习的时间,学生会给我们很多惊喜。