[有限元法基本原理与应用]管理基本原理的应用
有限元法基本原理与应用
班级 机械2081 姓名 方志平
指导老师 钟相强
摘要：有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限
个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分
方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，
借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
关键词：有限元法；变分原理；加权余量法；函数。
Abstract：Finite element method is based on the variational principle and the weighted
residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite
number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the
interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the
variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by
means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential
equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it
constitutes a different finite element method.
Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method;
function。
引言 有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值
模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单
元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函
数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似
解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里
兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分
为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计
算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来
划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权
函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计
算域内选取N
个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上
令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数
组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插
值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插
值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。
单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标
是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越
来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐
标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更
高阶插值函数等。
1.1 有限元单元法的基本思路
弹性力学解法的问题弹性力学解法的问题在于：不论是应力函数解法数解法、扭转函数解
法、挠曲函数解法、还是基于最小势能原还是基于最小势能原理的瑞利－李兹等方法，其困
难在于如何给出一个在全求解区给出一个在全求解区域上均成立的试探函数。
在有限单元法里在有限单元法里，这个问题通过定义分片插值的位移或应力函数得到了巧妙
的解决。
对于任意单元对于任意单元(i,j,m)
，，以结点位移以结点位移(u,u ,u )
待定系数，可以给出该单元的插值函数：
线性代数方程组的求解在数学上是极其容易的。
为
也就是说有限元法通过单元离散和最小势能原理小势能原理，避开了微分方程直接求避微分
方程直接求解在数学上的困难，把定解条件下的微分方程组的求解巧妙地转化为线性方程组
的运算，实现了任何复杂弹性力学问题轻易分析计算。
1.2有限元单元法求解问题的的基本步骤 1. (1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初
边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。
(2) 区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干
相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工
作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节
点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。
3) 确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插
值条 件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于
各单元具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。
(4) 单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼
近；再将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单
元中各节点的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。
(5) 总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定
法则进行累加，形成总体有限元方程。
(6) 边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边
界条件)、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界
条件， 一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需
按一定法 则对总体有限元方程进行修正满足。 (7) 解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量
的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。
1.3求解计算结果的整理和有限元法后处理
有限元方程是一个线性代数方程组，一般有两大类解法，一是直接解法，二是迭代法。直接
法有高斯消元法和三角分解法，如果方程规模比较大时，可用分块解法和波前解法。迭代法
有雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和超松弛迭代法等。
通过选用合适的的求解法求解经过位移边界条件小处理的公式后，得到整体节点位移列阵，然后根据单元节点位移由几何矩阵和应力矩阵得到单元节点的应变和应力，对于非节点处的
位移通过形函数插值得到，再由几何矩阵和应力矩阵求得相应的应变和应力。
应变要通过位移求导得到，精度一般要比位移差一些，尤其对于一次单元，应变和应力在整
个单元内是常数，应变和应力的误差会比较大，尤其单元数比较少时，误差更大，因此对于
应力和应变要进行平均化处理：
（1） 绕节点平均法，即依次把围绕节点所有单元的应力加起来平均，以此平均应力
作为该节点的应力。
（2） 二单元平均法，即吧相邻的两单元的应力加以平均并以此作为公共边的节点出
的应力。
整理并对有限元法计算结果进行后处理，一是要得到结构中关键位置力学量得数值（如最大
位移、最大主应力和主应变，等效应力等）；二是得到整个结构的力学量得分布（根据计算
结果直接绘制位移分布图，应力分布图等）。三是后处理要得到输入量和输出量之间的响应
关系。
梁的有限元建模与变形分析
计算分析模型如图1所示。
NOTE：要求选择不同形状的截面分别进行计算。
梁承受均布载荷：1.0e5 Pa
图1 梁的计算分析模型
梁截面分别采用以下三种截面（单位：m）：
矩形截面： 圆截面： 工字形截面：
B=0.1，H=0.2 R=0.1 w1=0.2，w2=0.2，w3=0.2，
t1=0.05，t2=0.05，t3=0.05
梁的弹性模量为：200GPa，泊松比为：0.3。试用ANSYS求该梁的挠度及应力分布（包含
轴向应力），画出梁的弯矩图和剪力图。
（1）单元类型定义后，设置梁类型与实常数。
（2）设置材料属性。
（
3）建立几何模型。
（4）创建线并划分网格与单元。
(5)
施加载荷与约束。
（6）求解。
参考文献
1 张晋红，吴凤林 有限元法及其应用现状【J】。机械管理开发，2009,4
2 樊杰，赵铁，徐清洁 有限元法的一般思想【J】。科技情报开发与经济，2008,3
3 杨桂通 弹性力学【M】北京：高等教育出版社，1998
4 邵敏 有限元法基本原理和数值方法[M]。北京：清华大学出版社，1997
5 傅永华 有限元法分析基础【M】。武汉：武汉大学出版社，2003